王勇躍

[摘 要]數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系的，數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練也離不開對(duì)這些聯(lián)系與區(qū)別的理解、辨析與應(yīng)用。數(shù)學(xué)活動(dòng)要培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，但絕不可以輕視“求同”。異中求同，同中求異，是引領(lǐng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力很有效的策略之一。異中求同則易通，同中求異方為通。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系通了，才有可能轉(zhuǎn)化為能力，才有利于提升能力，最終才能真正達(dá)成提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的大目標(biāo)。

[關(guān)鍵詞]求同;求異;數(shù)學(xué)思維能力;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）17-0039-02

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是相互聯(lián)系的，每個(gè)年級(jí)段的數(shù)學(xué)教材的編排就是依據(jù)這種聯(lián)系以及各階段兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練也離不開對(duì)這些聯(lián)系與區(qū)別的理解、辨析與應(yīng)用。因此，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中要培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，但絕不可以輕視“求同”。異中求同，同中求異，才是引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效策略。

一、 異中求同，有利于知識(shí)的傳授與思維的發(fā)展

1.求同，新舊知識(shí)遷移的“橋梁”

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，常常遇到這樣一些案例：教師將已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行專題復(fù)習(xí)后，相關(guān)的新的知識(shí)只要一呈現(xiàn)，很快就有一半或以上的學(xué)生“無(wú)師自通”。這實(shí)際上是知識(shí)遷移的作用。遷移的基礎(chǔ)是學(xué)生能很快找到新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。因此，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)善于捕捉這些聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生辨析這些聯(lián)系，借此輕松地、有深度地理解和掌握新知識(shí)。

如在教學(xué)分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算中的簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，先系統(tǒng)地將整數(shù)、小數(shù)的四則混合運(yùn)算中的簡(jiǎn)便運(yùn)算的幾種典型題型讓學(xué)生自練后再思考討論：運(yùn)用了哪些運(yùn)算定律或計(jì)算法則？然后教學(xué)新知，“無(wú)師自通”者必然眾多。

2.求同，化解難點(diǎn)的“解藥”

小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是教與學(xué)的難點(diǎn)。筆者在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的過程中鼓勵(lì)學(xué)生“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題學(xué)好了，就等于后面的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題學(xué)好了”;到了教學(xué)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，則常常提醒學(xué)生“把百分?jǐn)?shù)看作分?jǐn)?shù)的一種特殊形式，把百分之幾看作幾分之幾去理解題意”。盡管說法不完全科學(xué)，但是，學(xué)習(xí)了這兩塊知識(shí)之后，學(xué)生都深深感到確實(shí)如此——二者同樣且必須找準(zhǔn)單位“1”，同樣且必須理解數(shù)量關(guān)系（誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾或百分之幾，誰(shuí)比誰(shuí)多或少幾分之幾或百分之幾），等等。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，信心十足，一舉兩得;學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，則“似曾相識(shí)”，輕車熟路。

例題：

①8千克花生仁能榨花生油2千克，那么油廠里每千克花生仁能榨油多少千克？花生仁的出油率是百分之幾？要榨花生油1千克需要多少花生仁？

②9.6千克花生仁能榨花生油2.4千克，那么油廠里每千克花生仁能榨油多少千克？要榨花生油1千克需要多少花生仁？

③[32]千克花生仁能榨花生油[38]千克，那么油廠里每千克花生仁能榨油多少千克？要榨花生油1千克需要多少花生仁？

在學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘除法時(shí)，類似例②和例③的問題中的“究竟用誰(shuí)除以誰(shuí)”常常困擾著不少學(xué)生。如果我們善用“求同”，用例①來(lái)鋪墊，再引導(dǎo)學(xué)生把這些“分?jǐn)?shù)”“小數(shù)”看成整數(shù)，問題自然很容易就能化解。

針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的層次不同，教師首先要自己牢固樹立“異中求同”的意識(shí)，梳理、厘清各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的表層的或本質(zhì)的聯(lián)系，并嫻熟地運(yùn)用于具體的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力必然會(huì)得到不斷的提升。

3.求同，開啟創(chuàng)新思維的“鑰匙”

數(shù)學(xué)教學(xué)中，若學(xué)生的思維得不到發(fā)展，特別是創(chuàng)新思維得不到有效的開啟，這樣的教學(xué)是不成功的;而創(chuàng)新常常與“求異”相關(guān)聯(lián)，但“求異”的前提必須先“求同”，這是基礎(chǔ)，更關(guān)鍵所在。這就要求教師在具體的教學(xué)實(shí)踐中必須精心鉆研教材、設(shè)計(jì)方案，有意識(shí)地讓這些不同的知識(shí)點(diǎn)——異，不同程度地彰顯其不同層面上的相通之處——同，同時(shí)努力創(chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生思維，使其生疑，釋疑;再生疑，再釋疑……直至茅塞頓開。

筆者在教學(xué)圓柱體體積公式的推導(dǎo)時(shí)預(yù)設(shè)了如下教學(xué)方案：

第一，知識(shí)鋪墊。（1）正方形、長(zhǎng)方形、圓的面積怎樣求？它們的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？（突出“圓”如何化歸為“長(zhǎng)方形”）（2）正方體、長(zhǎng)方體的體積又如何求？長(zhǎng)方體的體積公式又是如何推導(dǎo)出來(lái)的？（花這么多時(shí)間“鋪墊”，就是為了激活、點(diǎn)化，使學(xué)生漸漸領(lǐng)悟求同的數(shù)學(xué)思想并生疑：“圓柱體能否用類似的化歸思想來(lái)求算體積呢？”）

第二，提出問題：圓柱體體積如何求？（幫助學(xué)生提出假想，導(dǎo)入第二步——知識(shí)探究）前面的鋪墊，既回顧了舊知，又激活了學(xué)生思維;更重要的是滲透了“求同”的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)積極主動(dòng)地探索、挑戰(zhàn)自我拓展了空間。

二、同中求異，有利于強(qiáng)化思維訓(xùn)練與能力培養(yǎng)

1.求異，提升思維能力的檔次

數(shù)學(xué)是思維的體操。通過這一“體操訓(xùn)練”，可起到“強(qiáng)思健維”的作用，促進(jìn)思維能力得到提升，筆者認(rèn)為“同中求異”在這一“體操訓(xùn)練”中，不失為一劑良方。在具體的課堂教學(xué)實(shí)踐中，可通過分析、綜合，剖析出不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系與區(qū)別。

譬如，通分與約分，二者“同”在依據(jù)（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)），“異”在操作方法（分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的兩個(gè)方面——“同時(shí)擴(kuò)大”和“同時(shí)縮小”）;分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題與分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題，二者“同”在等量關(guān)系，“異”在具體解法（根據(jù)已知、未知，選擇乘、除法或方程方法——這里實(shí)際上是順、逆思維的問題）。

又如，比、分?jǐn)?shù)、除法，三者“同”在基本性質(zhì)、商不變的性質(zhì)相通，是質(zhì)的相同，“異”則是表達(dá)形式的不同。

若能長(zhǎng)此以往地進(jìn)行比較，學(xué)生的思維自然會(huì)得到強(qiáng)化;更重要的是，這種訓(xùn)練常常促使學(xué)生立足于思維的制高點(diǎn)——這若干個(gè)“同”中之“異”，盡管千變?nèi)f化，卻能使人將來(lái)龍去脈“盡收眼底”。這種感覺，必然能催生學(xué)生的積極思維與學(xué)習(xí)自信。

2.求異，加速數(shù)學(xué)能力的形成

以一道判斷題和一道思考題的拓展課堂為例，展示如何通過“求異”加速學(xué)生數(shù)學(xué)能力的形成。

判斷題：正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體的體積都可以用V=Sh 來(lái)計(jì)算。

經(jīng)過綜合分析，結(jié)論是顯而易見的。

思考題：圖1是一個(gè)底面是半圓的木料，求其體積。（單位：分米）

大部分學(xué)生看題后無(wú)從入手，但有一名學(xué)生提出：如果把它看成是由底面直徑10分米、高12分米的圓柱形木料沿底面直徑和高一劈為二得來(lái)的，就可以先求出整個(gè)圓柱的體積再除以2，列式為〔（10÷2）?×3.14×12〕÷2 。其他學(xué)生都拍手叫好。

此時(shí)，另一位學(xué)生提出：也可先求出底面半圓的面積，再乘以高，即〔（10÷2）?×3.14÷2〕×12 。問其所以然，他回答：“憑直覺。因?yàn)檎襟w、長(zhǎng)方體、圓柱體的體積都可以用V=Sh 來(lái)計(jì)算，半個(gè)圓柱也應(yīng)該可以，雖然它們的底面形狀不同，可哪種形狀都有底面積S?！?/p>

好一個(gè)“直覺”！課堂的生成與拓展是課前教師無(wú)法預(yù)設(shè)的。受到第二位學(xué)生的啟發(fā)，另一位學(xué)生立馬擺出了理由：假設(shè)這半個(gè)圓柱的底面積是S，高為h，可借與它等底等高的整圓柱來(lái)求體積：V =（2S·h）÷2 = Sh。這恰恰驗(yàn)證了第二位學(xué)生的說法。

教師馬上提出：假設(shè)這半個(gè)圓柱的底面形狀不是半圓，而是直角三角形、平行四邊形、梯形（如圖2、3、4），同樣能用公式V=Sh來(lái)計(jì)算嗎？有學(xué)生說：“底面是不規(guī)則圖形時(shí)照樣可以運(yùn)用這個(gè)公式計(jì)算，因?yàn)樵俨灰?guī)則的形狀都能切割拼湊成規(guī)則的形狀，而這些多變的底面，切割前后的面積大小不變……”如此生成，始料未及！面對(duì)學(xué)生，當(dāng)教師肯定了他們的結(jié)論并道明這個(gè)結(jié)論等他們讀了高中后會(huì)更清楚時(shí)，他們驚奇且得意！

總而言之，教學(xué)的技巧不在于預(yù)設(shè)，而在于教師能否在具體的教學(xué)活動(dòng)中始終心系“促成學(xué)生個(gè)體科學(xué)素養(yǎng)的提高”這一大目標(biāo)，在學(xué)生不知不覺中對(duì)若干個(gè)子目標(biāo)做出相應(yīng)的調(diào)整和變動(dòng)，靈活地把握課堂生成性資源，為學(xué)生提供展示思維、交流觀點(diǎn)的時(shí)空，最終達(dá)到“以學(xué)論教”的境界。

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是使學(xué)生通過知識(shí)的學(xué)習(xí)、思維的訓(xùn)練，最終提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;而數(shù)學(xué)能力的形成與提高過程，能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展卯足后勁。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，憑借教材，異中求同則易通，同中求異方為通。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系通了，才有可能轉(zhuǎn)化為能力，才有利于提升能力，最終才能真正達(dá)成提升學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的大目標(biāo)。

（責(zé)編 羅 艷）