周虹

[摘 要]估算是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的重要途徑，也是解決問題的一種重要策略。當(dāng)前，學(xué)生估算意識(shí)薄弱，估算方法欠缺，估算能力不足。通過“可視化估算”，完善第一學(xué)段估算的教學(xué)目標(biāo)，創(chuàng)新指導(dǎo)路徑，構(gòu)建立體評(píng)價(jià)，讓結(jié)構(gòu)可見，讓思維可見，讓興趣可見，以期提高學(xué)生的估算能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]可視化估算;第一學(xué)段;估算能力

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）17-0021-03

一、問題提出

估算能力是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)感的一個(gè)重要方面，課程標(biāo)準(zhǔn)中明確要求學(xué)生要在解決具體問題的過程中選擇合適的方法進(jìn)行估算，體會(huì)估算的實(shí)際價(jià)值。在實(shí)際教學(xué)中估算的教學(xué)卻不盡如人意：估算，小曲好唱口難開。

（一）問題再現(xiàn)

三年級(jí)上學(xué)期期末考試有一道題“每袋米49.8元，學(xué)校買19袋米，李叔叔帶了1000元錢，夠嗎？”，筆者執(zhí)教的班級(jí)的答題情況如下表所示：

此題正確率僅為48.9%，其中利用估算解決問題的僅為23.3%。學(xué)生挖空心思進(jìn)行計(jì)算，很多學(xué)生都列出算式49.8×19，苦于不會(huì)小數(shù)乘法而無奈放棄。

分析后發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致這個(gè)現(xiàn)象發(fā)生的原因是教師忽視對(duì)學(xué)生估算意識(shí)的培養(yǎng)，缺乏對(duì)學(xué)生估算方法的傳授，導(dǎo)致學(xué)生估算能力不足：學(xué)生不知道什么情況下運(yùn)用估算更簡(jiǎn)便，不知道應(yīng)該怎么估算;遇到具體問題情境，面對(duì)紛繁多樣的估算方法，學(xué)生不知道怎么估最合適，怎么寫估算的過程，進(jìn)而對(duì)估算拿捏不準(zhǔn)，心理上對(duì)估算缺乏安全感。

（二）問題分析

1.估算僅是一種技能

很多教師認(rèn)為估算只是一種技能，僅把估算看作一種具體的技能教給學(xué)生，缺乏對(duì)解決具體問題所對(duì)應(yīng)的估算策略的指導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生為了估算而估算，沒有形成估算為解決問題服務(wù)的意識(shí)，體現(xiàn)不了估算的價(jià)值。

2.教學(xué)從抽象到抽象

認(rèn)為估算能力無法在紙筆測(cè)試中檢測(cè)出來，所以將估算看成隱性教學(xué)目標(biāo)，缺乏對(duì)估算的研究，導(dǎo)致估算內(nèi)容和估算方法不可見。

3.評(píng)價(jià)只關(guān)注精確性

評(píng)價(jià)時(shí)只看結(jié)果，忽略過程;簡(jiǎn)單地用精算的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)去評(píng)價(jià)估算的結(jié)果，導(dǎo)致學(xué)生的估算學(xué)習(xí)完全違背了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，學(xué)生對(duì)估算沒有興趣。

二、可視化估算的概念

估算是在日常生活、測(cè)量中無法或沒有必要進(jìn)行精確計(jì)算和判斷時(shí)所采用的一種數(shù)學(xué)方法;是不借助計(jì)算工具，面對(duì)不同的問題情境，能通過合適、正確的估算方法，得出正確結(jié)論的一種方法。

可視化估算是指運(yùn)用情境、圖形、動(dòng)作等相關(guān)路徑，將抽象的估算直觀展現(xiàn)出來的一種教學(xué)方式。呈現(xiàn)的內(nèi)容既包括結(jié)構(gòu)、思維過程，又包括思考方法、思考路徑。通過可視化估算，使得“想象”“抽象”的估算變得“形象”和“具體”，讓估算觸手可及，有跡可循。

三、可視化估算：小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段估算的實(shí)踐策略

（一）完善估算目標(biāo)，讓結(jié)構(gòu)可見

構(gòu)建估算目標(biāo)體系一定程度上保證了估算結(jié)構(gòu)的科學(xué)性、完整性與序列性，有助于學(xué)生對(duì)估算內(nèi)容有更清晰的認(rèn)識(shí)。因此以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，在深入研究數(shù)學(xué)本質(zhì)與估算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，對(duì)第一學(xué)段估算目標(biāo)進(jìn)行重新構(gòu)建與完善。

1.整體架構(gòu)，適當(dāng)補(bǔ)充

要全面認(rèn)識(shí)和把握小學(xué)估算教學(xué)，必須明確課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于各學(xué)段估算內(nèi)容的具體要求，了解估算在小學(xué)各年級(jí)的分布情況，厘清估算在小學(xué)數(shù)學(xué)中的脈絡(luò)，把握前后知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別。

估算教學(xué)第一學(xué)段目標(biāo)為“能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用”。筆者認(rèn)為估算目標(biāo)需要整體架構(gòu)，適當(dāng)補(bǔ)充。如估算表征涉及的是估算思維過程的呈現(xiàn)，因此對(duì)于估算學(xué)習(xí)具有重要意義，需要在目標(biāo)中予以體現(xiàn)和關(guān)注。由此構(gòu)建了第一學(xué)段估算目標(biāo)，如下表所示：

將課程標(biāo)準(zhǔn)中的估算目標(biāo)與學(xué)段估算目標(biāo)分解到各冊(cè)中，有利于教師對(duì)估算教學(xué)內(nèi)容的整體把握，更有利于學(xué)生對(duì)估算內(nèi)容的掌握，發(fā)展其估算能力。

2.循序漸進(jìn)，螺旋上升

根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識(shí)積累，目標(biāo)應(yīng)螺旋上升，符合兒童由直觀到抽象、低級(jí)到高級(jí)、簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)知識(shí)由淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)的發(fā)展過程。如第一學(xué)段各冊(cè)教材都有“在實(shí)際情境中選擇合適的方法進(jìn)行估算”這一估算目標(biāo)，那么教學(xué)中教師如何把握各冊(cè)估算的要求？怎樣體現(xiàn)層次性與邏輯性？筆者在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)時(shí)努力體現(xiàn)螺旋上升的原則，如下圖：

目標(biāo)設(shè)定呈螺旋上升的趨勢(shì)，不僅反映學(xué)科知識(shí)的邏輯特點(diǎn)，還充分考慮到不同年齡層的學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與特點(diǎn)，每?jī)?cè)內(nèi)容都有內(nèi)在聯(lián)系，又層層遞進(jìn)，由淺入深。

3.突出核心，關(guān)注能力

估算在日常生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著十分廣泛的應(yīng)用，估算的一個(gè)目的就是服務(wù)生活。因此在目標(biāo)構(gòu)建過程中要突出核心，通過問題情境的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生在具體問題情境中學(xué)習(xí)估算，滲透估算意識(shí)，讓學(xué)生感受到估算也是一種解決問題的策略，逐步養(yǎng)成自覺運(yùn)用估算輔助解決問題或者做出決策的習(xí)慣，提高問題解決能力。

（1）增設(shè)有效情境，拓寬對(duì)估算應(yīng)用的認(rèn)識(shí)。除了設(shè)計(jì)多樣和有效的解決問題情境外，還可以設(shè)計(jì)如“比大小：63-18○59+17，8□-28○3□+4□”等練習(xí)，以提高估算的應(yīng)用性。

（2）增加估算經(jīng)歷，豐富估算經(jīng)驗(yàn)。在第一學(xué)段可讓學(xué)生感受估算的檢驗(yàn)功能，通過算前估和算后估，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

（3）增強(qiáng)估算優(yōu)越性的體驗(yàn)。如二年級(jí)下冊(cè)的練習(xí)題“需要1500把椅子，我有九百多把，你有七百多把，夠嗎？”，可讓學(xué)生用自己的方法解決，通過觀察、對(duì)比、追問等方式讓學(xué)生感受估算的優(yōu)越性和必要性。

（二）創(chuàng)新指導(dǎo)路徑，讓思維可見

1.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)情境，喚醒估算意識(shí)

什么時(shí)候精算，什么時(shí)候估算，對(duì)于學(xué)生來說很難做出判斷，因此需要教師對(duì)情境進(jìn)行加工，讓情境成為思維的引擎。學(xué)生在有效情境中才能理解為什么要估算，什么時(shí)候要用估算，怎么估算最合適，自主且自覺形成“估算是一種重要的解決問題策略”的想法，如右上圖所示：

[心算][筆算][借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)算][需要精確答案][需要計(jì)算][估算][需要近似答案][問題情境]

【案例1】教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“萬以內(nèi)加減法”時(shí)設(shè)計(jì)如下習(xí)題：李老師要買一臺(tái)打印機(jī)和一臺(tái)掃描儀。下面哪種情況下，估算比精算更有意義？

A.購(gòu)買前思考“帶1000元夠不夠？”。

B.購(gòu)買滿800元可抽獎(jiǎng)，能否抽獎(jiǎng)？

C.付款時(shí)思考大約需要幾百元。

D.收銀員收款，一共需要多少元？

分析：“下面哪種情況，估算比精算更有意義”這句話使得學(xué)生在解決具體問題之前必須先做出判斷：該精算還是估算？學(xué)生說出自己的想法后，教師可繼續(xù)追問“還有哪些情況使用估算比精算更有意義？”由此，學(xué)生產(chǎn)生估算需要，順理成章地進(jìn)行估算，這樣，思維在問題驅(qū)動(dòng)下得以充分激發(fā)。

2.精妙選擇數(shù)據(jù)，靈活運(yùn)用方法

教學(xué)過程中，教師要多設(shè)計(jì)估算的情境，增加學(xué)生估算的經(jīng)歷與經(jīng)驗(yàn)，才能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)估算的敏感度。值得一提的是，只有合適的數(shù)據(jù)，才能使估算方法呼之欲出。

【案例2】三年級(jí)上冊(cè)多位數(shù)乘法單元的兩道題：

（1）每張門票8元，29個(gè)同學(xué)參觀，帶250元夠嗎？

（2）每張門票8元，32個(gè)同學(xué)參觀，帶250元夠嗎？

第（1）題是讓學(xué)生運(yùn)用“進(jìn)一法”進(jìn)行估算并說說估算過程，使學(xué)生體會(huì)到估算的必要性。

第（2）題把數(shù)據(jù)29改成32，這時(shí)運(yùn)用“去尾法”估算，取估算值240進(jìn)行判斷，至此還沒有最終解決問題，需要進(jìn)一步思考。這里涉及估算的二次調(diào)整問題，對(duì)三年級(jí)學(xué)生來說沒必要。

因此，估算教學(xué)中除了需要設(shè)計(jì)好的情境，提出好的問題，更需要選取好的數(shù)據(jù)，這樣才能使學(xué)生自動(dòng)運(yùn)用估算方法，體驗(yàn)到估算的價(jià)值。

3.精細(xì)表征過程，動(dòng)態(tài)展現(xiàn)思維

符號(hào)語言是數(shù)學(xué)課中體現(xiàn)數(shù)學(xué)味的標(biāo)志之一，也是使學(xué)生估算可視化的重要途徑之一。估算表征就是估算思維過程的呈現(xiàn)，也就是估算時(shí)怎樣記錄和表達(dá)估算的思考過程。

（1）提前學(xué)，讓思維條理性呈現(xiàn)。人教版教材雖然第三冊(cè)就開始涉及估算，但是符號(hào)“≈”卻到第五冊(cè)才正式出現(xiàn)，因此提前認(rèn)識(shí)“≈”有助于學(xué)生更好地表征估算過程。同時(shí)在第一學(xué)段還要求學(xué)生理解“大約、大概、差不多”等詞語的意思，這有助于學(xué)生更好地通過語言表征過程。

（2）記下來，讓思維簡(jiǎn)潔性呈現(xiàn)。第一學(xué)段的學(xué)生以具體思維為主，且口頭語言表達(dá)能力優(yōu)于書面語言表達(dá)能力。教材中給出估算的過程時(shí)，均以對(duì)話式的語言描述為主，欠缺邏輯性、程序性，因此學(xué)生對(duì)于估算思路的呈現(xiàn)望而卻步。在第一學(xué)段教學(xué)中怎樣表征估算過程既簡(jiǎn)便又清楚？下面的做法值得參考：

教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的表征方式能夠很好地暴露和展示估算的思考過程，有利于估算的學(xué)習(xí)和教學(xué)，同時(shí)有利于研究估算及其教學(xué)。

（3）說出來，讓思維系統(tǒng)性呈現(xiàn)。對(duì)話是思維的外顯，深度對(duì)話可以讓過程展現(xiàn)出來，引領(lǐng)思維向縱深處發(fā)展。一說，鼓勵(lì)學(xué)生清晰、簡(jiǎn)潔、完整地解釋自己的思路、理由與估算策略;二辯，讓學(xué)生對(duì)他人的算法表達(dá)自己的想法;三悟，使學(xué)生體會(huì)到解決同一個(gè)問題可以有不同的方法，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行比較和優(yōu)化。學(xué)生只有不斷積累經(jīng)驗(yàn)，才能自我反思和調(diào)整原有的認(rèn)識(shí)，才會(huì)真正提高估算能力。

【案例3】二年級(jí)下冊(cè)“百以內(nèi)加、減法估算”練習(xí)：小雪和爸爸媽媽一起去參觀科技館。

方法一：把成人票看成40元，40+40=80（元），80+17=97（元），100元夠了。

方法二：把34估成40元，17元估成20元。40+40+20=100（元），100元夠了。

方法三：把34元看成35元，35+35=70（元），70+17=87（元），100元夠了。

方法四：把成人票看成30元，兒童票看成20元。30+30+20=80（元），100元夠了。

方法五：100元錢買兩張成人票后大約還剩30元，足夠買一張兒童票了。

方法一、二、三、四都是用“連加”的策略進(jìn)行估算，但對(duì)具體的數(shù)據(jù)有不同的處理方法：方法二、三是把三個(gè)數(shù)據(jù)都簡(jiǎn)化了;方法一只把其中一個(gè)數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化。方法五用的是先加后減再比的策略，先估出兩張成人票大約要70元，再口算100-70=30，最后比較30大于17，判斷100元錢夠了。

學(xué)生各抒己見，不僅能夠表示估算的過程，還能感受到估算方法的多樣性，體會(huì)到估算結(jié)果的不唯一性，讓思維過程可視。

（三）構(gòu)建立體評(píng)價(jià)，讓興趣可見

1.評(píng)價(jià)內(nèi)容科學(xué)多維

在估算過程中，學(xué)生面對(duì)同一問題所采取的策略不盡相同，因而估算結(jié)果往往不是唯一的，因此估算學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)不能以精確度作為評(píng)價(jià)估算結(jié)果的唯一標(biāo)準(zhǔn)，也不能簡(jiǎn)單地對(duì)估算結(jié)果進(jìn)行對(duì)錯(cuò)判斷，而是要全面、科學(xué)和及時(shí)地對(duì)學(xué)生估算學(xué)習(xí)中的估算意識(shí)、估算習(xí)慣，以及估算策略和結(jié)果做出評(píng)價(jià)：關(guān)注學(xué)生是否具有估算意識(shí)，估算的根據(jù)是否合理，估算策略方法是否科學(xué)，從而提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)估算、應(yīng)用估算的興趣。

2.評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)客觀多樣

根據(jù)實(shí)際問題選擇合理的估算策略，結(jié)果合理方為正確。也就是說，學(xué)生只要能夠解決實(shí)際問題，那這個(gè)估算結(jié)果就應(yīng)該是合理的。

【案例4】習(xí)題：學(xué)校組織二年級(jí)和三年級(jí)的學(xué)生去觀看電影，已知二年級(jí)有學(xué)生275人，三年級(jí)有學(xué)生426人，而學(xué)校放映室的座位一共只有620個(gè)，問放映室的座位是否足夠？

第一種方法：275估成270，426估成420，270+420=690，所以不夠。

第二種方法：275估成看成200，200+426=626，所以不夠;

第三種方法：275看成280，426看成430，280+430=710，比620多得多，所以不夠。

在估算教學(xué)中，估算方法是多樣的，沒有對(duì)錯(cuò)之分，只要能解決問題，這個(gè)估算結(jié)果就是合理的，不能以精確度作為唯一標(biāo)準(zhǔn)來評(píng)判估算結(jié)果。這樣才能讓學(xué)生覺得估算沒有那么難。

3.評(píng)價(jià)主體融合多元

估算的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)主體除了教師，還可以是同伴，讓學(xué)生表達(dá)自己的看法，在交流中進(jìn)一步融合，形成共識(shí)。評(píng)價(jià)不僅是對(duì)估算方法策略的再學(xué)習(xí)和再優(yōu)化，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

可視化估算，讓估算可見，不僅能讓抽象的估算形象化、直觀化，化抽象為具象，而且能讓學(xué)生的內(nèi)隱思維可視化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)估算和應(yīng)用估算的積極性。高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科的顯著特征，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要立足數(shù)學(xué)特性和學(xué)生身心特點(diǎn)，創(chuàng)新教學(xué)路徑，建立從抽象到直觀的紐帶，讓數(shù)學(xué)看得見，讓思維摸得著，以此提高學(xué)生解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新品質(zhì)，最終發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 陳麗蘭，劉鳴，曹景明.兒童估算策略選擇研究述評(píng)及展望[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（3）.

[2] 徐群飛.中美學(xué)生估算能力研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（1）.

[3] 張曉芳.幾何直觀：構(gòu)建“可視化”的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2018（8）.

[4] 宋偉軍.“思維可視化”視角下的小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展策略[J]. 新課程（小學(xué)），2018（5）.

（責(zé)編 童 夏）