丁彥恒

(1.中國科學院 數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院, 北京 100190； 2.中國科學院大學 數(shù)學科學院, 北京 100049)

0 引 言

變分原理是自然界事物遵從的客觀法則.世界是由物質(zhì)構(gòu)成的，萬物處于永不停息的運動中.運動是物質(zhì)的根本屬性和存在方式.運動自然的和力及能量緊密聯(lián)系.運動能量泛函的變分對應著事物的拉格朗日方程，即所謂的數(shù)學模型，它描述事物的狀態(tài)，諸如存在性、演化性，等等.因此，變分理論是研究事物的重要方法.

變分學歷史悠久，它的起源可追溯到16世紀最速曲線問題. 史上許多大數(shù)學家都在這一領(lǐng)域做出了非常大的貢獻，如伯努力、歐拉、柯西、拉格朗日、牛頓和萊布尼茨、龐加萊、希爾伯特，等等.

變分方法是含著金鑰匙出生的，它激勵著數(shù)學的發(fā)展——助力經(jīng)典理論、孕育新的學科.特別如：實分析 (Lebegue 測度與積分)、 泛函分析 (強、弱拓撲，單調(diào)算子，Sobolev 空間)、偏微分方程 (橢圓型方程，存在性和正則性)、 幾何變分 (測地線， 極小曲面，調(diào)和映射，F(xiàn)insler 幾何: Garding, Vishik, Agmon, Douglise, Nirenberg, De Giorgi)、幾何測度 (極小子流形: J. Nash)、 變分不等式 (自由邊值問題: J. Moser, Stampacchia, Lions, Ladyzenskaya Uraltseva)、優(yōu)化控制 (R. Bellman, L.S. Portryagin, J. L. Lions)、 大范圍變分 (臨界點理論、Morse 理論、Floer 同調(diào)、辛容量)、有限元方法，等等.

變分學的發(fā)展對科學特別是自然科學發(fā)揮著日益重要的作用.譬如，物理學中的變分問題：Newton 方程、Hamilton 系統(tǒng)、Maxwell 方程 (電磁場)、Einstein 方程 (重力場)、Yang Mills 方程 (規(guī)范場)；幾何學中的變分問題：測地線、極小曲面、調(diào)和映射；其它學科如：Dirichlet 原理、電流分布、Riemann 映射定理、Weierstrass 反例、Schwarz 方法、 Neumann 方法、Poincare 方法.Hilbert 在 ICM1900 宣布的23個著名數(shù)學問題中有3個涉及變分方法，即第19(正則性)、第20(存在性)、第23(發(fā)展變分理論).

就變分學直面的泛函而言，一般分為兩類：

?(下方)有界泛函的變分方法 典型例:

-直接方法 經(jīng)典的變分理論表現(xiàn)在研究泛函的極值問題. 相當長時期內(nèi)常用直接變分方法, 其中一個代表性定理如是說.

設(shè)X是一個可分 Banach 空間的共軛空間 (例如，自反Banach 空間). 又設(shè)E?X是一個弱*序列閉非空子集. 若f:E→弱*序列下半連續(xù)且強制的 (即，?x∈E, 當時，f(x)→+∞), 則f在E上有極小值.

-Ekeland 變分原理 設(shè)(X,d)是一完備的度量空間，f:X→∪{+∞},f?+∞，下方有界，且下半連續(xù).若 ?ε>0,xε∈X使得則 ?yε∈X滿足

(1)f(yε)≤f(xε);

(2)d(yε,xε)≤1;

(3)f(x)>f(yε)-εd(yε,x)?x∈X{yε}.

? 無界泛函的變分方法 典型例:

- 近代變分法—臨界點理論 (參閱文獻[1-26]), 始于： 1973 年; 著力點： 上下方均無界的泛函的臨界點(非極值問題); 重要內(nèi)容包括：

° 極大極小方法;

° 指標理論;

° (無窮維) Morse 理論;

° 標志性工作：(山路定理 1973; Hamilton 系統(tǒng)周期解 1978; 對偶變分法 1978; 集中緊性原理 1984; 對稱攝動方法1984等); Floer 同調(diào) 1988;

° 強不定問題的變分方法.

1 變分框架

這里介紹的變分框架，是筆者及其合作者針對強不定問題建立的，但它對半定問題自然也是適用的.其原創(chuàng)點： 利用自共軛算子的絕對值構(gòu)造工作空間； 利用線性算子插值理論研究空間的嵌入性質(zhì), 利用算子的譜進行空間分解，進而給出非線性條件，得到泛函的規(guī)范結(jié)構(gòu)以適合應用臨界點理論[2,5,26]

考慮形如

Au=N(u),u∈H

(1)

的半線性方程，這里，H代表Hilbert空間，A是(無界)自共軛算子，其定義域(A)?H,N:(A)→H是(非線性)梯度映射，換言之，存在函數(shù)ψ:(A)?H→H使得N(u)=ψ(u). 形式上，式(1)的解是泛函

(2)

的臨界點，其中(·,·)H記H的內(nèi)積 (其對應的范數(shù)記作‖·‖H).一般而言，式(2)沒有提供足夠的信息.注意Φ僅定義于H的一個真子空間上，應用中很難對ψ給出可驗證的條件以保證式(1)的解的存在.例如，如何處理量子力學中的非線性Dirac 系統(tǒng)、力學中的無窮維 Hamilton系統(tǒng)、反應-擴散系統(tǒng)呢？需要選擇合適的工作空間E(既不能“太大”也不能“太小”)，在E上重新恰當?shù)乇硎睛凳沟盟呐R界點對應問題(1)的解、且具有易于研究的表達形式. 這就是建立變分框架(或變分原理).

以σ(A)、σe(A)及σd(A)分別記A的譜、本質(zhì)譜及有限重特征值集合.根據(jù)算子理論，Hilbert空間H具有正交分解：

H=H-?H0?H+,u=u-+u0+u+.

使得A在H-和H+分別是負定和正定的，H0是A的零空間.以{E(λ):λ∈}記A的譜族,U=I-E(0)-E(-0),|A|記A的絕對值，|A|1/2記|A|的平方根.由定義，U與A、從而與|A|1/2可交換.取E=(|A|1/2), 并在E上引進內(nèi)積

(u,v)E=(|A|1/2u, |A|1/2v)H+(u,v)H.

以‖·‖E記(·,·)E導出的范數(shù).則E有關(guān)于內(nèi)積(·,·)H和(·,·)E都正交的分解：

E=E-?E0?E+,u=u-+u0+u+

(3)

其中，E±=E∩H±與E0=H0.

設(shè)ψ∈C1(E,)且ψ′(u)=N(u) (在應用中，只要對非線性項作適當?shù)募僭O(shè)，就能滿足這一要求).在E上定義泛函

-ψ(u), ?u=u-+u0+u+∈E

(4)

則Φ∈C1(E,).進一步，當u∈(A)是Φ的臨界點時，它就是方程(1)的解. 事實上，對任何v∈E,

0=(|A|1/2u+, |A|1/2v+)H-

(|A|1/2u-,|A|1/2v-)H-(N(u),v)H=

(|A|(u+-u-),v)H-(N(u),v)H=

(|A|Uu,v)H-(N(u),v)H=

(Au-N(u),v)H.

注1式(3)直接來自σ(A)的分解.

(1)當0至多是A的有限重特征值時，為更方便起見，通常在E上定義下述等價內(nèi)積

(u,v)=(|A|1/2u,|A|1/2v)H+(u0,v0)H.

此時，以‖·‖記由 (·,·)導出的范數(shù)，Φ可表示為

(5)

(2)記σ-=σ(A)∩(-∞,0)和σ+=(0,∞), 當σ-由至多有限多個有限重特征值組成時，稱方程(1)為半定的；當σ-由無窮多個有限重特征值組成時，稱方程(1)為不定的. 此外稱方程(1)是強不定的，如果σ±各是無窮集；稱方程(1)是非常強不定(或本質(zhì)強不定)的， 如果σ±各含有本質(zhì)譜.

(3)注意: 由強不定性有dimE±=∞; 應用中要緊的是E的某種嵌入性質(zhì) (關(guān)聯(lián)到應用中非線性ψ的合適性).

現(xiàn)代臨界點理論初期，大都處理半定或強不定問題，20世紀90年代以來，人們越來越對強不定問題感興趣. 下面舉幾個本質(zhì)強不定問題的例子，限于篇幅，不具體討論例子中的非線性項需滿足的條件 (可參閱下一節(jié)關(guān)于 Dirac 方程的有關(guān)細節(jié)).

?Schr?dinger 方程. 考慮

-Δu+V(x)u=f(x,u)，u∈H1(n,)

(6)

假設(shè)V∈C(3且周期地依賴于x∈n，g(x,u)∈C(3×,). 方程(6)具有抽象形式(1)，其中H=L2(n,), 在H中A=-Δ+V是自共軛的,ψ(u)=N(u)(=g(;u))參見文獻[11,26-39].在infV<0的條件下, 當0?σ(A)時，(6)是本質(zhì)強不定的.

?Hamilton 系統(tǒng)的同宿軌. 考慮 Hamilton 系統(tǒng)，參見文獻[15-16,20,22,25,40]

(7)

系統(tǒng)(7)可表示為式(1)的形式：

Az=N(z).

?反應擴散系統(tǒng). 考慮下述(時間依賴)非線性系統(tǒng)參見文獻[12,17,28,34,41-44]:

(8)

(t,x)∈×n,G:×n×2m→,L是L2(×n,2m)中的對稱稠定算子.求解z=(u,v):×n→2m, 使得z(t,x)→0, (當|t|+|x|→∞). 置

令

則(8)可表示為(1)形式：

Az=N(z).

特別地，當L=(-Δ)s時就是所謂的分數(shù)階反應擴散系統(tǒng)，參見文獻[21].

注2觀察對于本質(zhì)強不定泛函(1)，由于一方面σe(A)∩(-∞, 0)≠?且σe(A)∩(0, ∞)≠?，從而導致E±都是無窮維的子空間，另一方面通常用以處理無界區(qū)域上的變分問題，而無界區(qū)域上的 Sobolev 型嵌入是非緊的，因之Φ一般不具有緊性(即常說的 Palais-Smale條件)，所以問題十分復雜.特別是不能應用Leray-Schauder度以判別所謂的“相交數(shù)”問題.在這方面筆者相對系統(tǒng)的工作，其原創(chuàng)點：引入“gage space” (非距離拓撲) 的Lipushitz正規(guī)性概念，建立Lipushitz 單位分解；建立局部凸拓撲線性空間上的常微分方程的柯西問題流的存在唯一性這一基礎(chǔ)性理論；獲得新的形變理論，把無窮維水平集依弱拓撲局部形變到有限維空間中.基于此，筆者得到了一系列新的Minimax 方法, 發(fā)展了指標、疇數(shù)理論及其他幾何拓撲方法，參見文獻[5,13,18].

2 非線性 Dirac系統(tǒng)

粒子物理學中出現(xiàn)的Dirac方程是由英國物理學家Paul Dirac提出的一種相對論下的復向量方程，其中×3上自由的(即無外力場)Dirac方程：

-i?tψ=ic×3→4,

已經(jīng)被公認為是用于描述帶有質(zhì)量的相對論電子的基本模型.方程中的c是光速，是Planck常數(shù)，m是帶電粒子的質(zhì)量，α1、α2、α3以及β是4×4的Pauli矩陣：

此處

這一自由模型很好地給出了自然界許多真實粒子的近似描述.為了更進一步地刻畫真實的粒子運動，就必須引入(新的)非線性項.一般說來，在非線性外力場下Dirac方程可表示為

-i?tψ=ic

(9)

此方程中出現(xiàn)的函數(shù)N(x)與ψF(x,ψ)來自于非線性粒子物理中的數(shù)學模型，主要用于逼近刻畫真實的外力場.其中，非線性耦合項ψF(x,ψ)刻畫了量子電動力學中的自耦合作用，給出了一個與真實粒子非常接近的描述.關(guān)于非線性項F的例子可以在標量自耦合作用理論中找到，它既可以是多項式型的也可以是非多項式型的函數(shù). 大量的非線性函數(shù)已經(jīng)被公認為是統(tǒng)一場論中合理的基本數(shù)學模型.

對于Dirac方程的研究，從變分學的角度講，人們關(guān)心形如ψ(t,x)=exp(iξt/)u(x)的穩(wěn)態(tài)解(也可稱為駐波解).于是在研究穩(wěn)定態(tài)問題中，一個自然的假設(shè)是

ψF(x,eiξφ)=eiξ,ψF(x,φ).

對所有的ξ∈和φ∈4成立.在此條件下，穩(wěn)態(tài)解ψ滿足方程(9)當且僅當函數(shù)u滿足方程

-ic

(10)

整理后并令α=(α1,α2,α3),

α·

就得到了如下的(一般型)穩(wěn)態(tài)Dirac方程 (a>0):

-iα·u+aβu+M(x)u=Gu(x,u)

(11)

或

-iα·u+aβu+M(x)u=Gu(x,u)

(12)

注3穩(wěn)態(tài)Dirac方程(11)吸引著眾多學者的關(guān)注.文獻中較早研究非線性Dirac方程(11)的工作只是自治系統(tǒng)，即M=ω是常數(shù)，G(x,u)=G(u)不依賴于空間變量x(參見文獻[45]) 研究所謂Soler模型，即G滿足

(13)

令

則式(11)呈式(1)的形式.此時σ(A)既無上界又無下界，且一般而言σe(A)∩(-∞,0)≠?，σe(A)∩(0,∞)≠?.這表明式(11)是非常強不定的.繼續(xù)前面的記號：令空間E=E-?E0?E+由式(3)定義，泛函Φ(u)由式(5)給出.

下面回顧關(guān)于非線性Dirac方程研究的主要方面及部分結(jié)果.先考慮=1的情形，參見文獻[5,13-14,35,45].

(1)關(guān)于A的譜, 有下述結(jié)論:

-σ(A)=σc(A)=(-a+ω,a+ω), 如果(V1):M(x)≡ω.

-σ(A)=σc(A)是一列兩兩無交的閉區(qū)間的并，如果(V2):M(x)關(guān)于xj是Tj>0周期的，j=1,2,3.

(3)關(guān)于非線性，?？紤]下述情形：

- 臨界: 當 |u|→∞時，G(x,u)～|u|3.

- 周期外力場: 即M(x) 和G(x,u)關(guān)于xj是Tj>0 周期的，j=1,2,3.

(4)關(guān)于解類型, 主要包括：

- 衰減型: 求解u∈H1(3,4) (或u:3→4滿足u(x)→0 (當|x|→∞)；(x,u)→+∞ (|u|→∞).

- 周期解：u(x+T)=u(x),T=(T1,T2,T3). 此時要求M(x) 和G(x,·)關(guān)于x都是T-周期的[32].

α·(-i·g(|w|)w.

在量子力學中，一個很自然的奇異擾動問題就是動力學方程的半經(jīng)典問題，其物理解釋就是對應原理，即當普朗克常數(shù)趨于零時所有量子力學的規(guī)律將回歸于經(jīng)典力學.作為對應原理的重要體現(xiàn)，量子理論中的兩大動力學方程(Schr?dinger, Dirac)的解在隨著消失過程中的漸進行為尤其值得關(guān)注.所謂的集中現(xiàn)象是指：在預先給定的集中集合以外，動力學方程的解隨著參數(shù)的消失而一致衰減到零.在這樣的定義下，從數(shù)學上來說，尋找并刻畫集中集合成為最本質(zhì)的問題.

早先對于帶小參數(shù)的變分問題，學者們主要關(guān)注非線性Schr?dinger方程的半經(jīng)典解，獲得了豐富的成果.而對于非線性 Dirac 方程的相關(guān)問題的研究，因為其研究比前者困難得多，直到2010年才由筆者突破強不定性引起的極大障礙得到第一個結(jié)果[19], 引發(fā)了一系列后續(xù)研究.

記ε=, 利用伸縮變換xεx，式(12)等價于

-iα·u+aβu+Mε(x)u=Gu(εx,u)

(14)

其中Mε(x)=M(εx). 為了反映M的性質(zhì)，取A0=-iα·+aβ.注意到σ(A)=σc(A0)=(-a,a)，因此,L2將有如下的正交分解：

L2=L+?L-,u=u++u-

(15)

(u,v)=(|A0|1/2u,|A0|1/2v)2

以及誘導范數(shù)‖u‖=(u,u)1/2.可以得到：對所有u∈E，

(16)

? 集中于非線性位勢的最大點集. 文獻[19]考慮

-iεα·w+aβw=W(x)g(|w|)w

(17)

假設(shè)(W):infW>0, lim sup|x|→∞W(x)

κ=maxW;

利用“山路型”導出、與極限方程的聯(lián)系、極限方程的性質(zhì)等.

假設(shè) (W),κ∞<κ, 且g(|w|)～|w|p-2,p∈(2, 3). 文獻[19]證明：

(1) (存在性)?ε>0充分小, 式(17)至少有1個最小能量解wε∈s≥2W1,s.

(2) (集中性) ?|wε|的最大值點xε，dist(xε,)→0 (ε→0), 使得 ?xε→x0, 序列uε(x)=wε(εx+xε)一致收斂于下述極限方程的最小能量解：

-iα·u+aβu=κg(|u|)u.

? 競爭型位勢. 文獻[30-31，36]考慮具有線性位勢，或同時具有線性和非線性位勢的情形：

-iεα·w+aβw+V(x)w=W(x)g(|w|)w

(18)

其中V,W∈C1(3,), max|V|0. 令G(|w|)=g(s)sds～|s|p(p∈(2,3)) 及

不失一般性，設(shè)W(xv)=maxx∈W(x)，V(xw)=minx∈V(x)，并置

文獻[30]證明：?ε>0充分小, 式(18)具有最小能量解wε∈s≥2W1,s滿足:

-iα·v+aβv+V(x0)v=W(x0)g(|v|)v

(19)

? 局部最小條件. 前述的半經(jīng)典結(jié)果都要求M(x)=V(x)I4滿足所謂“全局”性條件，一個自然的問題就是位勢函數(shù)M(x)=V(x)I4是否可以擺脫全局性條件. 文獻[14]回答了此問題，證明必然存在一個單峰解，且隨著的消失該解將集中于V(x)在Λ內(nèi)的最小值處.即取代假設(shè)?有界開集Ω?3使得

得到相應的結(jié)論.

? Maxwell-Dirac系統(tǒng). Dirac方程作為描述相對論電子的基本模型，對于真實粒子的運動描述依然存在一定的誤差.所謂的這些誤差，其來源就是粒子運動所產(chǎn)生的電磁效應對其自身的影響以及周圍粒子的相互耦合作用.為了將這樣的誤差考慮在內(nèi)，筆者將面對如下形式的復雜方程組Maxwell-Dirac 系統(tǒng):

(20)

其中，向量函數(shù)A=(A1,A2,A3):×3→3表示變化的磁場分布，A0=Q:×3→表示變化的電場分布,g代表非線性耦合.A,w遵循電動力學中的Maxwell方程組，真實地刻畫出帶電粒子高速運動下產(chǎn)生的電磁效應，利用伸縮變換u(x)=w(εx)，得到式(20)的等價問題

(21)

其中,Qε(x)=Q(εx)，Pε(x)=P(εx)，Aε(x)=A(εx)，Aε,k(x)=Ak(εx)以及

文獻[43]建立了式(23)解的存在性、指數(shù)衰減性、集中性. 文獻[37]則討論了它的解的多重性.

? Klein-Gordon-Dirac系統(tǒng). 考慮下述系統(tǒng)

(22)

這里,λ>0表示耦合系數(shù).方程組(22)通過Dirac場ψ與標量場φ之間的Yukawa作用，刻畫出Dirac方程與Klein-Gordon方程之間的耦合關(guān)系，描述了在介子影響下原子核之間的強作用力.作變換u(x)=φ(εx),V(x)=φ(εx), 式(22)等價于

(23)

- 所有基態(tài)解的集合在H1(3,4)×H1(3,)是緊的.

(i) |φε|有最大點xε，limε→0dist(xε,)=0，使得 (uε,Vε),uε(x)=φε(εx+xε)與在H1×H1中收斂到下極限方程的基態(tài)解：

(24)

? 自旋流形上Dirac方程的分歧現(xiàn)象和邊值問題.

設(shè)(M,g)是m-維的緊自旋流形，(M)是M上的自旋叢，

D:C∞(M,(M))→C∞(M,(M))

是Atiyah-Singer Dirac算子:

其中,{ej}1≤j≤m是TM上的一組局部正向標準正交基. 又設(shè)h:(M)→(M)是保持纖維的非線性映射.

★ 文獻[23]考慮下述方程:

μDψ(x)=ψ(x)+h(ψ(x)),x∈M

(25)

其中,ψ(x)∈C∞(M,(M))代表旋量叢的光滑截面.此方程可看作 Dirac 算子D的攝動特征值問題.在適當條件下證明在原點及無窮遠處出現(xiàn)分歧現(xiàn)象.

- 對任何 1/μk∈σ(D),k∈， (μk,θ) 是方程(25)的分歧點.

- 若 1/μk∈σ(D),k∈，h全連續(xù)，在W1/2,2(M,(M))中，h(ψ)=o(‖ψ‖) (‖ψ‖→∞). 則 (μk,∞) 是方程(25)在無窮遠處的一個分歧點. 此外，若加強適當對h的假設(shè)， 則μk有右鄰域λ使得，任給μ∈Λ{μk}, 方程(25)至少有一個非平凡解ψμ使得 ‖ψμ‖→∞ (μ→μk).

★ 文獻[24]研究下述邊值問題 (假設(shè)M具有光滑邊界?M):

(26)

這里BCHI記 Chirality 算子，P代表在該邊界條件下的Dirac算子. 該文證明了下述結(jié)果:

①方程(26)具有至少一個解；

②如果h還是奇的，則方程(26)具有無窮多對解 {±ψk}k, 其相應的能量序列趨于無窮 (k→∞).

3 交叉科學

前述例子及大量的事實讓人們看到，變分方法在交叉科學研究中發(fā)揮著十分重要的作用.

“所謂交叉學科是指自然科學和社會科學相互交叉地帶生長出的一系列新生學科”(錢學森)，通常指兩個或多個學科之間跨學科的綜合研究，是不同領(lǐng)域和不同學科在認識世界過程中，用不同角度和方法為解決共同問題產(chǎn)生的學科交融，經(jīng)過反復論證和試驗而形成的新的科學領(lǐng)域.20世紀下半葉，各類交叉學科的應用和興起為科學發(fā)展帶來了一股新風，許多科學前沿問題和多年懸而未決的問題在交叉學科的聯(lián)合攻關(guān)中都取得了可喜的進展.隨著越來越多交叉學科的出現(xiàn)及其在認識世界和改造世界中發(fā)揮作用的不辯事實，交叉學科在科學領(lǐng)域中的生命力都得到了充分的證明.

交叉科學則是指更為廣泛的科學交叉，即自然科學與社會科學的大交叉，探討的主題是自然科學之間且和社會科學的結(jié)合和滲透問題.1985年4 月，在錢學森、錢三強和錢偉長等學者的倡導下，在北京召開了全國首屆交叉科學學術(shù)討論會，提出了激動人心的口號：“迎接交叉科學的新時代！”.

一般而言，交叉科學分為四個層次:

? 學科的“內(nèi)部”交叉 交叉學科的最基本的類型即是一個學科內(nèi)的各個方向的內(nèi)部交叉.當學科發(fā)展到一定程度，子學科的建設(shè)呈現(xiàn)一定規(guī)模時，學科內(nèi)部方向的融合交叉可以拓展更多的研究領(lǐng)域，提示整個學科的科學水平.

? 學科間的“近距離”交叉 是在不同子學科背景下的合作.如數(shù)學與統(tǒng)計學、數(shù)學和力學等的交叉，這均屬于在一類的學科間的交叉.數(shù)學應用于其他學科是20世紀科學發(fā)展的突出特點，定量的方法被廣泛地應用于幾乎所有的學科 (自然科學、社會科學)，不斷實現(xiàn)真正的科學整體化發(fā)展.

? 學科間的“遠距離”交叉 如數(shù)學與中文、人口學與物理學、醫(yī)學與地質(zhì)學等等，也出現(xiàn)了學科交叉.學者在研究和探索過程中，有意或無意地發(fā)現(xiàn)原來相距很遠的學科間有一種可以相互推理或者是互為所用的極妙關(guān)系.交叉往往會解決一些較為棘手和尖端的科學問題.

? 人們以往所認識的交叉學科，大多是在自然科學學界內(nèi)或社會科學學界內(nèi)的研究.近些年來，研究兩界間交叉合作日益增多，逐步體現(xiàn)出以“把握學科前沿，促進學科交叉”的導向, 在思想上把社會科學和自然科學放在同等重要的地位.

交叉科學的重要性主要體現(xiàn)在:

①社會進步科學發(fā)展需要加強交叉科學.

②學科交叉點往往就是科學新的生長點、新的科學前沿，這里最有可能產(chǎn)生重大的科學突破，使科學發(fā)生革命性的變化.

③有利于綜合性地解決人類面臨的重大問題.交叉科學是自然科學、社會科學、人文科學、數(shù)學科學和哲學等大門類科學之間發(fā)生的外部交叉,以及本門類科學內(nèi)部眾多學科之間發(fā)生的內(nèi)部交叉所形成的綜合性、系統(tǒng)性的知識體系，因而有利于有效地解決人類社會面臨的重大科學問題和社會問題，尤其是全球性的復雜問題.這是交叉科學所能發(fā)揮的社會功能.

④國家對交叉科學的高度重視.

下面列舉一些交叉科學領(lǐng)域.變分理論在研究這些領(lǐng)域的某些方面已經(jīng)表現(xiàn)出重要作用及強大的生命力，而在某些方面則期待著原始性的創(chuàng)造性的工作出現(xiàn).

◆ 社會科學方面

? 經(jīng)濟學. 數(shù)學在經(jīng)濟學發(fā)展中起著重要作用.統(tǒng)計顯示，至2008年止的62 位諾貝爾經(jīng)濟學獎中有20位獲得過數(shù)學學位.大范圍變分是研究經(jīng)濟學的一個重要手段.

? 上層建筑學. 經(jīng)濟基礎(chǔ)決定上層建筑.數(shù)學和經(jīng)濟學的交叉自然延展為數(shù)學與上層建筑的交叉.

? 系統(tǒng)控制. 如優(yōu)化管理，國防指揮系統(tǒng)，運籌博弈，等.

? 復雜系統(tǒng). 復雜系統(tǒng)理論、預測科學、金融數(shù)學與風險管理、信息學、不確定性決策理論與方法.

? 哲學. 數(shù)學和哲學同是高度抽象的學問，有相同的思考方式，用數(shù)學去描述哲學大有可為.例如“無數(shù)偶然蘊含必然”，用大數(shù)據(jù)描述偶然，經(jīng)數(shù)學分析可前瞻必然或掌控必然的趨勢.

? 文學藝術(shù). 設(shè)想把各種描述感情的詞藻集成文庫，當寫詩詞小說時輸入該感情符號，讓電腦自動組合輸出成文該多美妙啊.數(shù)學的思想、方法和精神對于繪畫、做詩具有十分重要的意義. “越往前走，藝術(shù)就要科學化，同時科學也要藝術(shù)化”(福樓拜).“數(shù)學到了最后階段就遇到想象……于是數(shù)學也成了詩”(雨果).

◆ 自然科學方面

? 宇宙學. 宇宙起源、中微子、暗物質(zhì)與暗能量、多體問題、自旋流形.

? (無界)Hamilton控制.

? 力學系統(tǒng). 錢偉長曾說過力學就是變分. 19世紀前歷史上最著名的數(shù)學家同時也是頂尖的力學家，如19世紀前的阿基米德、牛頓、萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、柯西等. 在20 世紀科學日益成為專家在愈來愈窄的鄰域內(nèi)進行著的事業(yè)，鮮有如龐加萊、希爾伯特、柯爾莫哥洛夫等同時是數(shù)學家和力學家.

1)量子力學. 研究微觀粒子的運動規(guī)律的物理學分支學科，它主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論. 量子世界的調(diào)控與信息、能源、材料等技術(shù)的新突破. 特別如 Schr?dinger 方程、Dirac 系統(tǒng)的駐波與行波，描述Bose-Einstein 凝聚及光在非線性介質(zhì)的傳播等.

2)理論力學. 用拉格朗日力學和哈密頓力學的觀點處理牛頓力學問題，并加入混沌等較新的內(nèi)容.

3)電動力學. 主要研究電磁場的基本屬性、運動規(guī)律以及電磁場和帶電物質(zhì)的相互作用.包括：介質(zhì)中的場方程和邊值問題,有介質(zhì)存在時電磁波的傳播，以及電動力學對超導體、等離子體和晶體的電磁性質(zhì)的描述.

4)相對論. 關(guān)于時空和引力的理論，主要由愛因斯坦創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代物理學的基礎(chǔ).相對論極大地改變了人類對宇宙和自然的“常識性”觀念，提出了“同時的相對性”、“四維時空”、“彎曲時空”等全新的概念.

5)熱力學與統(tǒng)計物理. 研究熱運動的規(guī)律和熱運動對物質(zhì)宏觀性質(zhì)的影響.熱力學是熱運動的宏觀理論，統(tǒng)計物理是熱運動的微觀理論. 宏觀量是微觀量的某種統(tǒng)計平均值.

6)材料力學. 研究材料在各種外力作用下產(chǎn)生的應變、應力、強度、剛度、穩(wěn)定和導致各種材料破壞的極限.

7)流體力學. 變分法在研究流體力學方程中的Rayleigh-Taylor線性不穩(wěn)定問題中起著重要的作用. 針對具有重力場的三維非齊次不可壓縮 Navier-Stokes 方程組, 就是用的經(jīng)典變分法得到解的存在性.其方法還被推廣運用到其它更復雜的流體運動，例如,磁流體、粘彈性流、分層可壓縮磁流體、 無磁擴散效應的不可壓縮磁流體,等等.

? 生態(tài)學. 以數(shù)學的理論和方法研究生態(tài)學，它包括生態(tài)數(shù)學模型、生態(tài)系統(tǒng)分析、統(tǒng)計生態(tài)學、生態(tài)模擬等內(nèi)容.而今它在理論、實驗和應用研究方面都有著很大的進展.

? 生命科學. 生命起源、進化和人造生命

? 認知科學. 腦與認知科學及其計算建模

? 隨機微分方程的變分方法.

? 大數(shù)據(jù)科學. 建立與應用相應的山路定理.

? 楊-米爾斯(Yang-Mills) 存在性(“千禧難題”之五). 又稱規(guī)范場理論，是研究自然界四種相互作用(電磁、弱、強、引力)的基本理論，是由物理學家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來的.楊-米爾斯提出了楊-米爾斯作用量(規(guī)范勢的泛函). 作它的變分，就得到純楊-米爾斯方程. 楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)是在給定結(jié)構(gòu)群的聯(lián)絡(luò)空間上由曲率的平方模定義的泛函的臨界點．