韓丕功

(1. 中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院, 北京 100190； 2. 中國科學(xué)院大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)

1 歷史背景

下述三維不可壓縮Navier-Stokes方程描述了黏性不可壓縮流體的運(yùn)動規(guī)律.

(1) ?tu-νΔu+(u·)u=-p+f, (x,t)∈3×(0,T),

其中ν>0表示流體的黏性系數(shù),u=(u1,u2,u3)(x,t),p=p(x,t)分別表示流體運(yùn)動在時(shí)空點(diǎn)(x,t)處的速度場和壓強(qiáng),f表示給定的外力向量場函數(shù). 方程(1)～(2)分別表示Newton流體力學(xué)的動量守恒和質(zhì)量守恒(即不可壓縮條件). 在恒溫的情況下, 若速度場適當(dāng)光滑, 利用方程(1)～(2), 可以推導(dǎo)出不可壓縮流體的能量守恒方程, 即能量守恒是動量守恒和質(zhì)量守恒的推論. 這些方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部壓力的變化和耗散黏滯力(產(chǎn)生于分子的相互作用)以及引力之間的關(guān)系.

1821年, 法國橋梁工程師Navier在講授工程學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)時(shí), 開始思考與流體有關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 1827年, 他以適當(dāng)分子模型為基礎(chǔ), 只考慮了不可壓縮流體的流動, 建立了一個(gè)方程, 不幸的是, Navier的數(shù)學(xué)推導(dǎo)很快被發(fā)現(xiàn)有缺陷, 但是基于工程師的直覺, Navier最后的結(jié)論依然正確. 隨后, 由于Poisson (1831年提出可壓縮流體的運(yùn)動方程), de Saint Venant, 特別是Stokes等獨(dú)立提出黏性系數(shù)為一常數(shù)的形式, 他們以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ), 給出了正確的推導(dǎo). 在推導(dǎo)過程中, 他們對流體作了幾個(gè)假設(shè). 第一個(gè)假設(shè)是流體是連續(xù)的. 這強(qiáng)調(diào)它不包含形成內(nèi)部的空隙, 例如, 溶解的氣體氣泡, 而且它不包含霧狀粒子的聚合. 第二個(gè)假設(shè)是所有涉及到的場, 全部是可微的, 如壓強(qiáng)、速度、密度及溫度等. 此外, 控制體積可以在空間中固定, 也可能隨著流體運(yùn)動. 這個(gè)方程組被后人合稱為Navier-Stokes方程. 圖1生動地表示出Navier-Stokes方程導(dǎo)出的過程(根據(jù)牛頓(Newton)第二定律).

圖1 牛頓(Newton)第二定律導(dǎo)出Navier-Stokes方程的過程

Fig.1 The process of Navier Stokes equation derived from Newton’s second law

通常情況下, 考慮的流體密度變化不大, 一般假定密度不變, 即密度為常數(shù). 當(dāng)時(shí)沒人了解這個(gè)方程的重大意義, 直到一百多年后, 人們才意識到: 這個(gè)方程從誕生起, 就開啟了一個(gè)新的時(shí)代.

到了19世紀(jì)末, 人們終于開始觸及流體運(yùn)動最核心的本質(zhì), 關(guān)于流體運(yùn)動(Navier-Stokes方程)的完整理論開始初步形成. 從理論上講, 有了包括Navier-Stokes方程在內(nèi)的基本方程組, 再加上一定的初始條件和邊界條件, 就可以確定流體的流動. Navier-Stokes方程是由一組二階非線性非標(biāo)準(zhǔn)拋物型和一階橢圓型偏微分方程組成的混合型方程組, 方程組本身不能做任何的改動, 求解非常困難和復(fù)雜, 求出該方程的精確解是幾乎不可能的, 在求解思路或技術(shù)沒有進(jìn)一步發(fā)展和突破前, 只有在某些十分簡單的特例流動問題上才能求得其精確解. 例如, 求得精確解的最簡單情況是平行流動, 這方面代表性的流動是圓管內(nèi)的哈根-泊肅葉(Hagen-Poiseuille)流動和兩平行平板間的庫埃特(Couette)流動. 此外, 在部分情況下, 可以簡化方程而得到近似解. 例如，當(dāng)雷諾數(shù)(Reynolds number)充分大時(shí), 繞流物體邊界層外的黏性力遠(yuǎn)小于慣性力, 此時(shí)方程中黏性項(xiàng)可以忽略, 將Navier-Stokes方程簡化為理想流動中的歐拉(Euler)方程; 而在邊界層內(nèi), Navier-Stokes方程又可簡化為邊界層方程等. Navier-Stokes描述了大量對學(xué)術(shù)和經(jīng)濟(jì)有用現(xiàn)象的物理過程, 特別是在計(jì)算機(jī)問世和迅速發(fā)展以來, Navier-Stokes方程的數(shù)值求解有了較大的發(fā)展, 人們不僅能準(zhǔn)確地制作出天氣預(yù)報(bào), 還可以在飛行器和車輛的設(shè)計(jì)、血液循環(huán)的研究、電站的設(shè)計(jì)、污染效應(yīng)的分析, 以及在生活、環(huán)保、火箭發(fā)射、航空航天、國防軍工、石油勘探、水利工程、電氣工程, 甚至醫(yī)療器械等方面都發(fā)揮了中流砥柱的作用. Navier-Stokes方程現(xiàn)已成為非線性偏微分方程、數(shù)值分析和動力系統(tǒng)研究的推動力量, 是當(dāng)今非線性科學(xué)研究中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題.

Navier-Stokes方程概括了黏性不可壓縮流體流動的普遍規(guī)律, 因而在流體力學(xué)中具有特殊意義. 自然界中大量的流體模型, 例如，具有熱傳導(dǎo)效應(yīng)的流體動力學(xué)模型、磁流體動力學(xué)模型、海洋動力學(xué)模型以及描述血液在動脈和靜脈中的流動等管道流的數(shù)學(xué)模型, 其主部均為Navier-Stokes方程. 盡管Navier-Stokes方程已經(jīng)被提出近兩百年, 但是數(shù)學(xué)上卻一直無法找到它的精確解. 目前取得的重大科技突破都源自于計(jì)算機(jī)的近似模擬計(jì)算, 因此, 破譯Navier-Stokes方程解的密碼將帶來對流體運(yùn)動本身最深刻的認(rèn)知, 從而推動科技文明跨入新的時(shí)代. 正如一篇散文里所寫, 起伏的波浪跟隨著正在湖中蜿蜒穿梭的小船, 湍急的氣流跟隨著現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行. 數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信, 無論是微風(fēng)還是湍流, 都可以通過理解Navier-Stokes方程的解, 來對它們進(jìn)行解釋和預(yù)言. 雖然Navier-Stokes方程是19世紀(jì)寫下的, 筆者對它們的理解仍然極少. 挑戰(zhàn)在于對數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展, 以能解開隱藏在Navier-Stokes方程中的奧秘.

美國Clay研究所在2000年把三維不可壓縮Navier-Stokes方程具有有限能量光滑初值整體正則解的存在性或在有限時(shí)間內(nèi)爆破列為七個(gè)“千禧難題”(又稱世界七大數(shù)學(xué)難題)之一. 2002年, Fefferman專門為這個(gè)千禧難題作了介紹和評論, 并斷言: 如果沒有新的分析工具和數(shù)學(xué)思想, 這個(gè)問題是很難完全解決的. 此外, Smale (Fields獎(jiǎng)得主)均把該模型作為本世紀(jì)需要解決的重大問題之一.

“研究三維不可壓縮Navier-Stokes方程光滑解的整體存在性和穩(wěn)定性, 為航空航天飛行器、外形氣動布局、氣候異常環(huán)流解、海洋層流的運(yùn)動等科學(xué)問題研究提供理論基礎(chǔ). ”(摘自國家數(shù)學(xué)交叉中心網(wǎng)站)

李大潛等在《物理學(xué)與偏微分方程》專著中寫道:“Navier-Stokes方程是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的非線性方程組, ……, 具有極大的重要性, ……. 預(yù)期在今后相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi), 無論在理論上還是在數(shù)值解法上, 都將是非常熱門的研究對象.”

目前, 國際上許多著名數(shù)學(xué)家都對Navier-Stokes方程進(jìn)行了廣泛深入的研究, 獲得了許多豐富的、重要的成果. 例如，Caffarelli (美國科學(xué)院院士, Wolf獎(jiǎng)得主), Fefferman (美國科學(xué)院院士, Fields獎(jiǎng)得主), Lions (法國科學(xué)院院士, Fields獎(jiǎng)得主), Nirenberg (美國科學(xué)院院士, Abel獎(jiǎng)得主), Temam (法國科學(xué)院院士), Tao (Fields獎(jiǎng)得主), Giga (ICM45分鐘報(bào)告), Schonbek (美國), Sohr (德國)等.

2 存在性

筆者首先給出幾類弱解的定義. 考慮Navier-Stokes方程的Cauchy問題(n≥2):

(1)

(u·)u·v)(x,)dxd=

如果弱解u滿足下述能量不等式, 即對幾乎處處的時(shí)間t∈[0,∞), 包括t=0, 成立

則稱u為問題(1)的Leray-Hopf弱解.

如果弱解u滿足強(qiáng)能量不等式, 即對于幾乎所有的s≥0, 包括s=0, 以及所有的t≥s, 成立

則稱u為問題(1)的湍流解(turbulent solution).

(|u|2+2p)u·φ)dxd+

則稱(u,p)為問題(1)的適當(dāng)弱解(suitable weak solution).

關(guān)于不可壓縮Navier-Stokes方程的Cauchy問題, 真正系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論研究始于20世紀(jì)30年代. Leray[1]在1934年的開創(chuàng)性工作中, 建立了黏性不可壓縮流體力學(xué)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ). Leray首次構(gòu)造了在二維、三維情形下, 問題(1)存在具有有限能量的一類整體弱解，并且當(dāng)初始向量函數(shù)光滑時(shí), 存在常數(shù)T0≥δ>0, 使得弱解在時(shí)間區(qū)間(0,δ)∪(T0,∞)內(nèi)是光滑的. Leray還進(jìn)一步分析了他所構(gòu)造的弱解u關(guān)于時(shí)間的可能奇異點(diǎn)集合的Hausdorff測度估計(jì), 即

1951年, Hopf[2]證明了問題(1)在三維情形下具有有限能量整體弱解的存在性. 因此,Navier-Stokes方程的弱解通常也稱之為Leray-Hopf弱解.

Temam[3]在其專著中, 利用Galerkin方法、弱收斂定理和緊性理論, 也證明了問題(1)在二、三維情形下存在整體弱解且滿足能量不等式, 即Leray-Hopf弱解的存在性.

1984年, Kato[4]利用Picard序列方法, 假定初始函數(shù)u0在L3范數(shù)意義下比較小, 證明了問題(1)在三維情形下存在整體光滑解(關(guān)于時(shí)空變量), 也就是通常所說的Navier-Stokes方程的Cauchy問題存在整體光滑的小解.

3 正則性

迄今為止, 在三維情形下, 盡管已有很多重要的結(jié)果, 但是問題(1)的Leray-Hopf整體弱解的正則性仍然不清楚, 目前仍然是流體力學(xué)理論中的一個(gè)基礎(chǔ)性的公開問題.

Foias[5]、Lions等[6]、Prodi[7]和Serrin[8-9]對n維Navier-Stokes方程Cauchy問題的Leray-Hopf弱解u的正則性進(jìn)行了系統(tǒng)的研究, 建立了如下正則性準(zhǔn)則, 即

如果u∈Ls(0,∞;Lq(n)),其中,

(2)

則u關(guān)于時(shí)空點(diǎn)(x,t)是光滑的, 即u∈C∞(n×(0,∞)), 這里n≥2.

需要指出的是, 如果Leray-Hopf弱解u在端點(diǎn)空間L∞(0,T;L3(3))中, 長期以來一直都不清楚u是否是正則的. 2003年, 利用拋物方程的倒向唯一性定理和連續(xù)性方法, 在L∞(0,T;L3(3))中, Escauriaza等[11]證明了Leray-Hopf弱解u的正則性, 當(dāng)然也是唯一的. 這在Navier-Stokes方程解的正則性研究方面是一個(gè)重要的進(jìn)展和突破, 即

如果u∈L∞(0,T;L3(3)),則u∈C∞(3×(0,T)).

Escauriaza等[11]在建立上述正則性的過程中, 所用的創(chuàng)新方法主要是爆破分析技巧和下面兩個(gè)重要的引理.

引理1 (Backward uniqueness) 記QR=(3BR(0))×(-1,0),R>0. 假定u,?tu,2u∈L2(QR)且

(|?+u(x,t)-Δu(x,t)|≤C1(|u(x,t)|+

|u(x,t)|≤C2eC3|x|2, ?(x,t)∈QR;

u(x,0)=0, ?x∈3BR(0).

則u(x,t)≡0,?(x,t)∈QR.

注在上述引理1中不需要邊值條件.

引理2(Unique continuation) 記DR=BR(0)×(-1,0),R>0. 假定u,?tu,2u∈L2(DR)且

(|?+u(x,t)-Δu(x,t)|≤C4(|u(x,t)|+

u(x,t) (|x|2-t)-k∈L∞(DR), ?k∈,

則u(x,t)≡0,?(x,t)∈BR.

關(guān)于三維不可壓縮Navier-Stokes方程, Scheffer[12-14]從1976年起發(fā)表了一系列論文, 開始研究適當(dāng)弱解的奇異點(diǎn)集合的結(jié)構(gòu), 即部分正則性問題. 這里稱時(shí)空點(diǎn)(x,t)是可測函數(shù)v的奇異點(diǎn), 是指在(x,t)的任何一個(gè)小鄰域Q上, ‖v‖L∞ (Q)=∞. 反之, 時(shí)空點(diǎn)(x,t)為函數(shù)v的正則點(diǎn).

設(shè)(u,p)滿足Navier-Stokes方程(經(jīng)典或廣義意義下). 令

uλ(x,t)=λu(λx,λ2t),pλ(x,t)=λ2p(λx,λ2t),

則(uλ,pλ)滿足Navier-Stokes方程. 這是不可壓縮Navier-Stokes方程本身具有的獨(dú)特性質(zhì)——伸縮不變性. 充分利用這一伸縮不變性, Caffarelli等[15]在1982年證明了適當(dāng)弱解的奇異點(diǎn)集的一維Hausdorff測度為零, 這是一個(gè)極為深刻的結(jié)果, 首次揭示了所有可能的時(shí)空奇異點(diǎn)只能分布在一根時(shí)空軸線上. 到目前為止, 這是關(guān)于部分正則性問題方面最好的研究結(jié)果. 需要說明的是, 在文獻(xiàn)[15]里, 定義了一類適當(dāng)弱解, 他們在有界區(qū)域上, 利用磨光函數(shù)的性質(zhì), 還證明了這類整體適當(dāng)弱解確實(shí)是存在的. 確切地講, 記Qr=Qr(x0,t0)為時(shí)空點(diǎn)(x0,t0)的拋物鄰域, 即

Qr={(x,t)∈3×(0,∞)│|x-x0|<

r,t0-r2

假定X?3×1,k為非負(fù)整數(shù). 定義(詳情見文獻(xiàn)[15])

其中

可知Fk是正則的Borel測度. Hausdorff測度Hk也是用類似的方式定義, 只是在上述定義中的Qri被3×1中任意的閉子集合(其直徑不超過ri)代替. 顯然,k≤C(k)k.

記S?3×(0,∞)為三維Navier-Stokes方程適當(dāng)弱解的所有可能的時(shí)空奇異點(diǎn)構(gòu)成的集合. Caffarelli等[15]證明了1(S)=0.

注關(guān)于三維Navier-Stokes方程正則性研究, 相對于文獻(xiàn)[15]的結(jié)果, Tian等[16]在1999年給出了一些新的充分必要條件(在伸縮不變意義下). 例如, 其中一個(gè)假設(shè)條件是弱解旋度的局部L2范數(shù)適當(dāng)小, 另外一個(gè)是速度場的局部L2行為小條件假設(shè). Lin[17]在1998年利用調(diào)和函數(shù)的性質(zhì), 極大地簡化了Caffarelli-kohn-Nirenberg的證明過程, 得到了同樣的正則性結(jié)果.

Constantin等[18]在1993年給出了一個(gè)幾何正則性準(zhǔn)則, 即如果旋度比較大時(shí), 旋度的方向是Lipschitz連續(xù)的, 則Leray-Hopf弱解是正則的. 具體表述如下:

記ω=×u表示速度場u的旋度,表示向量ξ(x+y,t)在向量ξ(x,t)的垂直方向上的投影.

假定存在常數(shù)Ω>0和ρ>0, 使得如果|ω(x,t)|>Ω和|ω(x+y,t)|>Ω,x,y∈3,0≤t

則Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解u在3×(0,T)上光滑的.

下面簡單介紹Navier-Stokes方程自相似解方面的研究結(jié)果, 這也是Leray[1]在1934年的論文中關(guān)注的一個(gè)重要問題.

假定(u,p)是三維Navier-Stokes方程的解, 則(ul,pl)也滿足Navier-Stokes方程(方程的伸縮不變性), 這里

ul(x,t)=l-1u(xl-1,tl-2),pl(x,t)=

l-2p(xl-1,tl-2).

如果成立: (u,p)=(ul,pl),?l>0, 則稱(u,p)是Navier-Stokes方程的自相似解.

容易驗(yàn)證自相似解(u,p)可以寫成如下形式:

u(x,t)=λ(t)U(λ(t)x),p(x,t)=

這里U(y)=(U1,U2,U3)(y),P(y)定義在3上, 且滿足如下橢圓方程:

-ΔU+aU+a(y·)U+(U·)U+

1934年, Leray[1]提出Navier-Stokes方程的自相似解問題.

三維Navier-Stokes方程是否存在具有整體有限能量的自相似弱解? 即是否存在自相似弱解u, 滿足如下有限能量

1996年, Necas等[19]證明: 如果U∈L3(3), 則U≡0.

該結(jié)論表明: 三維Navier-Stokes方程具有有限能量的自相似解只能是平凡解, 從而解決了Leray最初提出的自相似解問題. 這是因?yàn)長3(3)在伸縮意義下是不變空間, 即對幾乎處處的t>0, 成立‖u(t)‖L3=‖U‖L3. 另一方面, 利用Sobolev嵌入定理和內(nèi)插不等式, 可知對幾乎處處的t>0, 成立u(t)∈L3(3).

Tsai[20]進(jìn)一步證明: 若U∈Lq(3),3

4 衰減性

1934年, Leray[1]在其開創(chuàng)性的工作中, 對不可壓縮Navier-Stokes方程建立了二、三維整體弱解的存在性, 并首次提出弱解u的能量是否大時(shí)間衰減到零? 即當(dāng)t→∞時(shí), 下述衰減是否成立，

‖u(t)‖L2→0.

這是一個(gè)十分困難且極具挑戰(zhàn)性的公開問題, 需要新的思想及創(chuàng)新性的方法產(chǎn)生. Leray提出的這個(gè)公開問題經(jīng)過五十余年后才被Schonbek[21], Wiegner[22]和Kajikiya等[23]分別獨(dú)立解決, 所用方法主要是Schonbek創(chuàng)立的Fourier分離技巧,Wiegner建立的基本不等式以及 Miyakawa等建立的譜分析方法.

(1)Schonbek[21]利用Fourier分離技巧(現(xiàn)在也稱Schonbek方法), 以及Kajikiya等[23]利用譜分析方法, 分別獨(dú)立證明了Navier-Stokes方程的Cauchy問題存在Leray-Hopf弱解, 其能量不僅衰減到零, 而且還給出了衰減速率, 即

定理1設(shè)u0∈Lσ2(n)(n≥2). 則問題(1)存在Leray-Hopf弱解u, 滿足下面性質(zhì):

(i)當(dāng)t→∞時(shí), ‖u(t)‖L2(n)→0.

和線性熱方程的解eΔtu0比較, 定理1中得到的結(jié)果是最佳的. 事實(shí)上, 還有如下結(jié)果：

定理2如果u是定理1中得到的弱解，則

上述兩個(gè)定理中的常數(shù)C僅依賴于n,‖u0‖L2 (n)和‖u0‖L1 (n),eΔtu0表示具有初值n)的線性熱方程的解.

(2)Wiegner[22]研究帶外力函數(shù)的n維不可壓縮Navier-Stokes方程Cauchy問題湍流解(自然也是Leray-Hopf弱解)的能量衰減估計(jì), 即

(3)

其中，f=f(x,t)表示給定的外力場函數(shù).

Wiegner[22]首先建立了如下基本不等式:

假設(shè)u是上述問題(3)的湍流解. 則存在固定常數(shù)Cn>0, 使得對于任何函數(shù)g∈C([0,∞),+),t≥0, 成立

其中，

這里u0(t)表示具有相同初值條件(a,f)的熱傳導(dǎo)方程組的解, 即

利用上述基本不等式, 結(jié)合一些積分不等式, Wiegner[22]對任意的湍流解(自然也是Leray-Hopf弱解)建立了最優(yōu)的L2-大時(shí)間衰減速率, 即

(2)進(jìn)一步假定

‖u0(t)‖L2(n)+(1+t)‖f(t)‖L2(n)≤

則對任意的t≥0, 成立

(3)對任意的t≥0, 成立

注假定f≡0,a∈L1(n)∩Lσ2(n). 由卷積形式的Young不等式可知,

‖u0(t)‖L2(n)=‖etΔa‖L2(n)≤

(3)′‖u(t)-u0(t)‖L2(n)≤

注和線性熱方程基本解比較, 結(jié)合(3)′中的結(jié)論, 可知上述(2)′中的衰減速率是最優(yōu)的.

Schonbek[24]還進(jìn)一步系統(tǒng)地研究了Leray-Hopf弱解的L2下界大時(shí)間漸近行為, 給出了很多深刻的結(jié)論; Borchers等[25-26]分別在經(jīng)典的上半空間和外區(qū)域上建立了Leray-Hopf弱解的L2(上界)大時(shí)間漸近行為, Stokes算子在這兩類經(jīng)典區(qū)域上生成有界的解析算子半群; 此外, Borchers等[27]利用譜分析方法, 在一般的無界區(qū)域上, 給出了Leray-Hopf弱解的L2長時(shí)間衰減行為, 這是目前唯一的衰減結(jié)果, 主要困難在于不清楚由Stokes算子在一般無界區(qū)域上生成的算子半群是否滿足Lq-Lr估計(jì), 而Lq-Lr估計(jì)是研究Leray-Hopf弱解能量衰減的基本工具. 自從L2的衰減問題解決后, 人們開始在更一般的Lr空間里研究解的大時(shí)間漸近行為. 例如, Kato[4]對Navier-Stokes方程的Cauchy問題, 在Lr空間里證明了小初值整體光滑解的存在性, 并給出了Lr長時(shí)間漸近行為; Fujigaki等[28]在半空間建立了類似的衰減結(jié)果; He等[29-30], Han[31-33]在外區(qū)域上建立了各種情形的Lr(包括一、二階和高階導(dǎo)數(shù)情形)衰減性質(zhì).

上半空間作為一類經(jīng)典區(qū)域, 具有特殊的結(jié)構(gòu). 例如, 平坦結(jié)構(gòu)可以使用廣義Fourier 變換作為研究工具. 一般講, 對于標(biāo)準(zhǔn)的偏微分方程, 其研究(如正則性)都是先把研究的區(qū)域, 通過單位分解局部化, 再通過拉伸、旋轉(zhuǎn)等方式(光滑的同構(gòu)映射)轉(zhuǎn)換為上半空間, 然后再進(jìn)行分析研究, 最后把半空間上得到的結(jié)果再逆同構(gòu)映射回去. 這種標(biāo)準(zhǔn)的研究方法對Navier-Stokes方程是失效的, 因?yàn)镹avier-Stokes方程是一類橢圓和拋物組成的混合型方程組. 盡管在上半空間上已有眾多的衰減研究結(jié)果, 但在端點(diǎn)空間中研究不可壓縮Navier-Stokes解的長時(shí)間漸近行為一直沒有任何結(jié)果, 這是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的困難問題. 主要困難來源于上半空間的邊界是非緊的, 通常所用方法在這類空間上不再適用 (如 Stokes算子的Lq-Lr估計(jì)在q=r=1時(shí)不成立); 同時(shí), 在外區(qū)域(邊界是緊的)上建立端點(diǎn)衰減結(jié)果中所使用的方法, 在研究半空間情形時(shí)也是失效的. 近幾年, 在半空間情形下, Han[34-36]系統(tǒng)地研究并建立了Navier-Stokes方程的解在L1范數(shù)意義下的大時(shí)間漸近行為(包括解關(guān)于空間變量的一、二階導(dǎo)數(shù)). 所用的研究方法主要是對Navier-Stokes方程的對流項(xiàng)找到了一種新的、有效的分解. 即

P((u·)u)=(u·)?i?j(uiuj),

結(jié)合Hardy空間, 利用廣義Fourier變換、延拓理論等作為基本工具, 最終可以在端點(diǎn)空間中建立期望的衰減結(jié)果.

5 一些公開問題

到目前為止, 關(guān)于三維Navier-Stokes方程, 還有很多挑戰(zhàn)性的公開問題.

考慮如下三維Navier-Stokes方程的初邊值問題:

(4)

這里Ω是3的區(qū)域,ν>0為黏性系數(shù), 0

5.1 千禧問題

關(guān)于Cauchy問題(4)的Leray-Hopf弱解正則性問題, 美國Clay研究所在2000年將其列為七大千禧問題之一, 懸賞一百萬美元. 即三維不可壓縮Navier-Stokes方程Cauchy問題具有有限能量光滑初值整體正則解的存在性或在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

到目前為止, 該問題仍未得到解決. 該千禧問題的撰寫者, Fields獎(jiǎng)得主Fefferman在2002年斷言: 如果沒有新的分析工具和數(shù)學(xué)思想, 這個(gè)問題是很難完全解決的.

5.2 黏性系數(shù)極限問題

當(dāng)黏性系數(shù)ν→0時(shí), 問題(4)的Leray-Hopf弱解uν是否(在某種意義下)收斂到下述Euler方程的解ue:

(5)

目前, 上述收斂問題(5)也是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的公開問題. 1984年, Kato[37]關(guān)于上述收斂問題只是給出了一些等價(jià)條件.

若Ω=n(n=2,3), 上述結(jié)論(5)成立, 見文獻(xiàn)[38],n=2;見文獻(xiàn)[39],n=3.

當(dāng)Ω?n(n=2,3)為有界區(qū)域時(shí), 適當(dāng)調(diào)整Navier-Stokes方程的解uν, Euler方程的解ue滿足的邊界條件后, 目前已有很多收斂結(jié)果. 例如:

uν,ue滿足邊值條件uν,ue|?Ω=0, 簡單的能量估計(jì)表明, 結(jié)論(5)是正確的.

Iftimie等[40]證明:

Iftimie等[41]證明了如下收斂速率: 當(dāng)ν充分小時(shí), 成立

Masmoudi等[42]證明了如下收斂結(jié)果:

Xiao等[43]給出如下收斂結(jié)果: 存在T1≤T(二維情形下,T1=T), 成立

當(dāng)Ω≠n(n=2,3), 從uν,ue分別滿足的邊界條件:上推斷, 當(dāng)ν→0時(shí), 會產(chǎn)生邊界層, 收斂估計(jì)問題(5)應(yīng)該是不正確的, 詳情參見Constantin[44]的綜述性文章. 目前的猜測是, 當(dāng)ν→0時(shí),uν→v+ue(某種意義下), 其中v滿足邊界層方程.

5.3 一般無界區(qū)域上的衰減問題

假定Ω是具有一定光滑性(例如:Ω∈C2,α,0<α<1)的一般無界區(qū)域, 研究問題(4)的解在Lr(r≠2)空間范數(shù)意義下的大時(shí)間漸近行為.

注目前只有r=2情形的衰減結(jié)果, 即 Borchers等[27]利用譜分析方法建立的Leray-Hopf弱解的L2衰減結(jié)果, 盡管衰減速率不是最優(yōu)的, 但卻是目前唯一的衰減結(jié)果.

5.4 定常Navier-Stokes方程的Leray問題

考慮定常Navier-Stokes方程:

(6)

這里Ω是3中的有界區(qū)域.

這是Leray[45]在1933年關(guān)于定常Navier-Stokes提出的一個(gè)公開問題, 到目前為止已有八十余年悠久歷史, 至今仍未得到解決, 即著名的Leray問題. 完全解決Leray問題, 需要在理論上有大的突破、方法上有大的創(chuàng)新. 對Leray問題的研究取得任何新的進(jìn)展, 都具有非常重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值, 都會引起國內(nèi)外同行的極大關(guān)注.