黃飛敏

(中國科學院 數學與系統(tǒng)科學研究院， 北京 100190)

0 引 言

作為統(tǒng)計力學中的基本方程, 波爾茲曼方程有以下形式

(1)

其中,f(t,x,ξ)表示粒子在位置x和時間t具有速度ξ的分布, 這里Knudsen數ε>0與粒子的自由平均程成正比.

眾所周知,波爾茲曼方程[1]與宏觀的流體力學方程,如歐拉方程、納維-斯托克斯方程緊密相關.早在麥克斯韋爾和波爾茲曼時代, 人們就意識到了這些聯(lián)系.1912年希爾伯特提出了著名的希爾伯特展開，Enskog和Chapman分別在1916年和1917年相互獨立地提出了另外一種展開(后稱之為Enskog-Chapman展開).根據Knudsen數ε，希爾伯特展開和Enskog-Chapman展開均得到主要近似為可壓縮歐拉方程, 之后的項為可壓縮納維-斯托克斯方程.注意到以上只是形式展開, 嚴格的數學證明一直未得到解決, 部分原因是歐拉方程自身的適定性理論沒有得到解決.事實上，波爾茲曼方程的流體動力學極限與著名的希爾伯特第六問題密切相關.

本文簡要回顧了關于波爾茲曼方程流體動力學極限的研究工作.當歐拉方程具有光滑解時，波爾茲曼方程的流體動力學極限已有比較豐富的工作, 見Caflisch[2], Lachowicz等[3], Nishida[4]及Ukai等[5].但即使初值充分光滑, 歐拉方程的解通常會在有限時間內產生奇性, 比如激波和接觸間斷波[6], 因此，在奇異解情形下研究波爾茲曼方程的流體動力學極限是有意義的. 黎曼解是研究一般奇異解的基石, 最早由黎曼在1860年開始研究.黎曼當時研究了一維等熵氣體動力學方程組, 初值由2片常數組成, 由原點分開.這樣的初值后稱為黎曼初值, 對應的解稱為黎曼解.它不僅能捕獲解的局部和整體行為, 并且完全反映了非線性項的影響. 對于歐拉方程, 黎曼解包含三類基本波, 即激波、稀疏波和接觸間斷波.所謂的黎曼解由這三類基本波線性疊加而成.注意到這三類基本波擁有完全不同的性質, 即激波具有壓縮性, 稀疏波具有膨脹性, 接觸間斷波具有擴散結構.對這些基本波的研究完全依賴于波的基本性質, 因此，在由這些具有不同性質的基本波組成黎曼解的情形下, 從數學上嚴格驗證波爾茲曼方程的流體動力學極限是一個具有很大挑戰(zhàn)性的難題.

根據這些基本波的特有性質，單個基本波的流體動力學極限已被嚴格證明了, 如激波[7]、稀疏波[8]和接觸間斷波[9].由于以前研究這些基本波的方法嚴重依賴于波的特有性質且互不兼容, 因此，波的疊加情形仍然是一個具有挑戰(zhàn)性的公開問題.在文獻[10-11]中,筆者分別證明了稀疏波+接觸間斷波和激波+稀疏波疊加的情形.在文獻[1]中，利用研究激波的方法來統(tǒng)一研究三種基本波的疊加情形, 付出的代價就是稀疏波和接觸間斷波引起的誤差太大.為此引入了二類雙曲波分別克服稀疏波和接觸間斷波產生的困難.利用以上想法、精細的先驗估計及尺度變換方法,筆者在文獻[1]中對于一般黎曼解情形, 嚴格證明了波爾茲曼方程的流體動力學極限，并得到了關于Knudsen數ε的收斂速率.

1 波爾茲曼方程

考慮如下波爾茲曼方程

(2)

其中,ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)∈R3,x∈R,Q(f,g)為碰撞算子.筆者主要考慮硬球碰撞模型.同樣方法也可以應用到硬位勢模型.當ε趨于0時, 波爾茲曼方程(2)形式上收斂到以下可壓縮歐拉方程:

(3)

其中,

(4)

(5)

滿足

作如下微觀-宏觀分解[12-14]，即

f(t,x,ξ)=M(t,x,ξ)+G(t,x,ξ),

其中,

M=M[ρ,u,θ](t,x,ξ)=

(6)

為局部麥克斯韋分布,G(t,x,ξ)表示微觀量.

由于在一維空間使用拉格朗日坐標更方便, 作如下坐標變換, 即

(7)

仍記坐標參數為(t,x), 這樣方程(2)和(3)在拉格朗日坐標里分別變?yōu)?/p>

(8)

以及

(9)

2 黎曼問題

現在回顧歐拉方程組(9)的黎曼問題，即考慮初值

其中，u±=(u1±,0,0),v±,θ±>0為常數.眾所周知，以上黎曼問題包含了三種不同傳播速度的基本波, 即激波、稀疏波和接觸間斷波, 見文獻[6].給定右狀態(tài)(v+,u1+,θ+), 以下為相平面上關于左狀態(tài)(v,u1,θ)的曲線：

★接觸間斷波曲線：

CD(v+,u1+,θ+)={(v,u1,θ)│u1=u1+,

p=p+,v≠v+}

(10)

★i-稀疏波曲線i=1,3：

Ri(v+,u1+,θ+)={(v,u1,θ)│v

(11)

其中，s=s(v+,θ+),i為方程組(9)的第i-族特征速度；

★i-激波曲線i=1,3：

(12)

(13)

(14)

由于稀疏波在t=0具有奇性, 因此，在區(qū)間[h,T]上考慮波爾茲曼方程解的流體動力學極限, 其中，h>0為任意小常數,T>0為固定的任意常數.

3 主要定理

其中, 區(qū)域Σh,T={(t,x)│h≤t≤T,|x-s3t|≥h}, 常數Ch,T不依賴ε.

注由于以1-稀疏波、2-接觸間斷波和3-激波組成的解為黎曼解的典型情形, 定理1也適用于黎曼解的其他情形.

4 思 路

引入以下尺度變換

(15)

由于1-稀疏波、2-接觸間斷波和3-激波均為可壓縮歐拉方程組(9)的奇異解，正則性不高，則需要構造光滑的逼近稀疏波(VR1,UR1,ΘR1)、逼近接觸間斷波(VCD,UCD,ΘCD)和行波解(VS3,US3,ΘS3)[15]來代替相應的稀疏波、接觸間斷波和激波.又由于利用了研究激波的方法來統(tǒng)一研究波的疊加情形, 付出的代價就是由稀疏波和接觸間斷波引起的誤差太大.為了克服這些困難，引入二類雙曲波來分別克服稀疏波和接觸間斷波產生的困難，見文獻[1].設(V,U,E)為由這5種波組成的逼近復合波.圍繞逼近復合波, 定義以下擾動量

(16)

其中,行波解Fs3=M[VS3,US3,ΘS3]+Gs3.根據以上尺度變換, 波爾茲曼方程的流體動力學極限問題可以轉化為波爾茲曼方程的長時間穩(wěn)定性問題.特別是選擇零初值，即

(17)

以下是關鍵的先驗估計：

(18)

注意到式(18)的收斂速率比定理1中的收斂速率要快，本文得到了理想的先驗估計，即定理2.再結合局部存在性定理，成功證明了定理1, 見文獻[1].