于悅海 周 正 李晗菲 于茗雅 李佳恒
(北京一零一中學(xué)初三7班 100091)
數(shù)學(xué)課上我們碰到了這樣的問(wèn)題:
問(wèn)題黑板上兩個(gè)點(diǎn)A,B,距離大于直尺或三角板的最長(zhǎng)邊,如何用尺規(guī)作圖把A,B兩點(diǎn)用直線連起來(lái)?
首先,我們需要確定幾種位置關(guān)系的作法:
引理1 任兩點(diǎn)連線段的垂直平分線(中點(diǎn))
圖1
引理2 作任一角的平分線
圖2
特別地,作180°角的角平分線即過(guò)角的頂點(diǎn)作角兩邊所在直線的垂線.(留給讀者一個(gè)問(wèn)題,如何過(guò)直線l外一點(diǎn)作直線l的垂線?如果這點(diǎn)與直線的距離大于圓規(guī)的最大半徑呢?)
引理3 過(guò)直線l外一點(diǎn)P作直線l的平行線
圖3
如圖3,在直線上任意取A,B兩點(diǎn),以B為圓心,AP長(zhǎng)為半徑畫弧,以P為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C、D,連接PC,PC即為所求的直線的平行線.如果這點(diǎn)與直線的距離大于圓規(guī)的最大半徑,則可重復(fù)此作法作與點(diǎn)P距離較小的平行線,直至尺規(guī)足夠作出已知直線的平行線的過(guò)點(diǎn)P的平行線.
下面給出三種尺規(guī)作法和一種近似作法:
作法1中心對(duì)稱法
圖4
如圖4,過(guò)點(diǎn)A作兩條射線使得兩條射線都足夠接近點(diǎn)B并且點(diǎn)B在兩條射線之間(如何作到盡量接近?),借助引理3,過(guò)點(diǎn)B作這兩條線的平行線,得到平行四邊形AMBN.在四條射線取四個(gè)點(diǎn)C,D,E,F(xiàn)使得AC=AD=BE=BF(使C,D,E,F(xiàn)的距離盡量小,以至用尺子或圓規(guī)可以夠到).連接CD,EF.容易看出△CAD?△FBE.
圖5
易證,△CAD與△FBE關(guān)于AB的中點(diǎn)Q成中心對(duì)稱,于是連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)CF,DE,交點(diǎn)即為對(duì)稱中心Q(成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段一定經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心且被對(duì)稱中心平分).于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連AQ,BQ.若AQ距離依然過(guò)大以至于無(wú)法連接,即重復(fù)上面的方法即可.
所需工具:引理3,中心對(duì)稱的性質(zhì),平行四邊形的判定及性質(zhì).
類似作法:如圖5,只作一組平行線AC,BF,截取AC=BF,連CF,CF的中點(diǎn)Q即為AB的中點(diǎn).這樣需要再借助引理1.
作法2矩形對(duì)角線法
圖6
如圖6,過(guò)A作一條射線AM盡量接近B,利用平行線的作法作出過(guò)B的這條線的平行線BN,借助引理2過(guò)A作BN的垂線,過(guò)B作AM的垂線.此時(shí)四邊形AMBN為矩形(有三個(gè)角都是90°).借助引理1作AM,BN的中點(diǎn)C,D并連接CD.作CD的中點(diǎn)Q,分別連接AQ,BQ即可.(證明Q為矩形對(duì)角線方法的過(guò)程見(jiàn)圖7)
圖7
如圖,M、N分別是AD,BC中點(diǎn),Q是MN中點(diǎn)
證Q是矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)
過(guò)Q作PR∥AD,交AB于P,DC于R.
∴四邊形AMPQ,DMQR,BNQP,CNQR都是矩形
∴MQ=NQ=AP=BP=DR=CR
∴PR垂直平分AB,CD.
∴AQ=BQ=CQ=DQ
設(shè)∠AOB為x,∠COB為y
則∠ACD=∠CDB=y,∠CAD=∠AOB=x
∵x+y=90°
∴2x+2y=180°
∴(180°-2x)+(180°-2y)=180°
即∠AQC=180°
∴Q在AC上,同理Q也在BD上
∴Q在對(duì)角線交點(diǎn)上
所需工具:引理3,矩形判定及性質(zhì),引理1.
作法3中位線法
圖8
如圖8,分別過(guò)A,B作兩條射線,兩條射線交于C,由引理1作AC,BC中點(diǎn),記為M,N,連接MN,則MN是三角形ABC〗的中位線,此時(shí)只需由引理3過(guò)B作MN的平行線并延長(zhǎng)即可連接AB.(留給讀者一個(gè)問(wèn)題,如果M,N距離大到無(wú)法連接呢?)
所需工具:引理1,中位線定理,引理3.
作法4一次函數(shù)近似作圖法(不屬于尺規(guī)作圖)
圖9
如圖9,以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,由引理2,過(guò)點(diǎn)B分別向x軸,y軸作垂線,點(diǎn)B的坐標(biāo)可在坐標(biāo)軸上近似讀出為(m,n).將(m,n)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx,將一次函數(shù)(正比例)解析式求出,畫出一次函數(shù)圖象即可.
所需工具:引理2,一次函數(shù).