陸峰

我們知道，在等差數(shù)列{an}中，有公差

那么am，an，am+n之間有什么關(guān)系呢？

性質(zhì)1：在等差數(shù)列{an}中，

設(shè)S，為等差數(shù)列{an}的前n項和，則

可知數(shù)列{Sn/n}也是等差數(shù)列.

根據(jù)性質(zhì)1有：

即

于是又有下面的性質(zhì)：

性質(zhì)2：在等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則對于m，n∈N，m≠n，有

數(shù)學(xué)的基本原則是：求真、求簡、求美，“對稱”是數(shù)學(xué)美的核心.上述兩個公式由于“對稱”而顯得簡單優(yōu)美，運(yùn)用它們解題時也會給人耳目一新的感覺，本文擷取幾例，供讀者參考.

例1在等差數(shù)列{an}中，am=n，an=m（m，n∈N*，m≠n），則am+n=_____.

解析本題可以先利用等差數(shù)列的通項公式求出基本量a1和公差d，然后再求am+n.如果利用性質(zhì)1會很簡潔.

由性質(zhì)1知，

則am+n-am=-n，

所以am+n=0.

變式1 在等差數(shù)列{an}中，S，是前n項和，Sm=n，S，=m（m，n∈N*，m≠n），則Sm+n=_____.

解析不少同學(xué)在遇到這道題目時往往感到棘手，字母較多，心生畏懼.注意到題目的特殊性，如果借助性質(zhì)2本題可以迎刃而解.

由性質(zhì)2知，

則Sm+n=-（m+n）.

例2等差數(shù)列{an}的前m項的和為30，前2m項的和為100，它的前3m項的和

為_____.

解析 由性質(zhì)2知，

故S3m=210.

變式2等差數(shù)列{an}的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前5m項

的和為_____.

解析 由例2得故S3m=210，則

故S3m=550.

以上幾例可以看出，等差數(shù)列這兩個優(yōu)美的性質(zhì)在解決相關(guān)問題時，能大大簡化解題過程，減少運(yùn)算量.

鞏固練習(xí)

1.若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且S8-S3=20，則S11的值為_____.

2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm=Sn（m，n∈N*，m≠n），則Sm+n=_____.

參考答案

1.44. 2.0.