徐怡鈞

一、通過折疊變換考查數(shù)學基礎(chǔ)知識的運用

例1將圖1所示的四邊形紙片ABCD的邊AD向邊AB折過去（其中AD＜AB），使得點D落在邊AB上D′處，折痕恰好為AC，如圖2；再將點A折向點C，使得A、C兩點重合，點D′恰好落在邊BC上，記為D″，如圖3。量得AD=7，AB=9，∠DAB=60°，則四邊形紙片ABCD的面積為____ 。

圖1

圖2

圖3

圖4

【解析】關(guān)于圖形的折疊問題，我們只需要將變換后的圖形還原，同時找到折痕并進行標識，利用軸對稱的性質(zhì)找出相等的量即可。

將圖3還原后得到圖4，由題意，AC和BE是折疊時的折痕。第一次對折可以發(fā)現(xiàn)，AC是∠DAB的平分線，即∠DAC=∠BAC；第二次對折可以發(fā)現(xiàn) BA=BC，因此∠BAC=∠BCA，從而∠DAC=∠BCA，從而得到AD∥BC。由于AD＜AB，BA=BC，所以AD≠BC，故四邊形ABCD是梯形。過點B作AD邊上的高BF，利用三角函數(shù)的知識可求得BF為，所以四邊形ABCD的面積為（7+9）=36

【點評】折疊時，重合的量相等，即對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。這往往是解決此類問題的通常思路。

二、通過旋轉(zhuǎn)變換考查坐標系中圖形位置的刻畫

例2矩形AOCD繞頂點A（0，5）逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到如圖5所示的位置時，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4。

（1）求AD的長。

（2）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線解析式。

圖5

【解析】本題是平面直角坐標系背景下的圖形旋轉(zhuǎn)，可根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及坐標系中點的坐標與線段長度之間的關(guān)系進行探索。（1）如圖6，連接AM，設(shè)OC=AD=m，由題意知，AB=CD=OA=5，BE=OC=m，故BM=m-2，DM=1。由AB2+BM2=AD2+DM2，得 52+（m-2）2=m2+12，求得 m=7，即AD=7。（2）如圖7，過點B作GH∥x軸，分別交OA、CD于G、H，由（1）可知AB=BM=5，易證△ABG≌△BMH。設(shè)G（0，n），則HC=OG=n，所以GB=MH=4-n，BH=AG=5-n，因為GH=GB+BH=9-2n，GH=OC=7，所以n=1，所以B（3，1），又因為D（7，5），A（0，5），從而求得過A、B、D三點的拋物線解析式為

圖6

圖7

【點評】許多幾何計算問題常?？梢酝ㄟ^設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)幾何圖形中存在的某種特定數(shù)量關(guān)系建立方程來解決。比如，利用全等、相似、勾股定理等都可以建立方程，從而解決問題。

三、通過運動問題考查對圖形變換本質(zhì)的理解和運用

例3如圖8，在平面直角坐標系內(nèi)，點C是反比例函數(shù)的圖像上的一個動點，過點C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、B，連接AB。

（2）連接OC，若點C在（1）中的雙曲線上運動，線段OC是否存在最小值？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由。

圖8

【解析】以函數(shù)為背景的運動型問題，需要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將基本數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達出來。（1）設(shè)CA=b，CB=a，由=16，可得ab=4，因為圖像位于第二象限，故k=-4。（2）OC存在最小值。不難發(fā)現(xiàn)，當點C為雙曲線與直線y=-x的交點時，OC最小，可求得C（1-2，2）、C（22，-2）。

【點評】（1）利用k的幾何意義來求解，這是最直接、最有效的方法。具體解答過程中利用完全平方公式的一個基本變式ab=以快速地解決問題。（2）直截了當?shù)乜疾榱诵D(zhuǎn)變換（雙曲線的中心對稱性）和軸對稱變換（雙曲線的軸對稱性）。同時，這也是一個數(shù)形結(jié)合的典型案例——隨著點C在雙曲線上運動，OC長的變化規(guī)律究竟如何？同學們可以試著用所學過的代數(shù)知識，來說明當點C在直線y=-x上時，OC取得最小值的理由。

在某種意義上，圖形的變換其實是數(shù)學基本模型和數(shù)學思想方法的集中營。抓住三種基本變換的本質(zhì)，把尋找對應(yīng)相等的幾何元素作為分析題目的“規(guī)定動作”，平時做好對常用數(shù)學模型和經(jīng)典問題背景的積累與歸類工作，對你解決圖形變換類問題會大有裨益。