筅江蘇省南通田家炳中學(xué) 嚴(yán) 莉
不少地區(qū)都是以地級市為單位組織中考命題,所轄的各縣區(qū)在模擬考試中的命題導(dǎo)向往往都會精準(zhǔn)應(yīng)對中考試卷.這些模擬卷中常常會出現(xiàn)一些精彩的原創(chuàng)題、好題,如何發(fā)揮這些好題的講評功能,提高學(xué)生解題能力,讓學(xué)生從“解一題”走向“會解題”的能力發(fā)展呢?近期,筆者針對本地區(qū)一道模考題研發(fā)了一節(jié)“一題一課”考題講評課,取得了較好的講評效果,引發(fā)幾點思考,現(xiàn)整理成文,供研討.
考題:如圖1,△ABC的角平分線BD=1,∠ABC=120°,∠A、∠C所對的邊記分別為a、c.
(1)當(dāng)c=2時,求a的值;
教學(xué)預(yù)設(shè):由于第(1)問方法很多,教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生在小組內(nèi)交流、梳理不同解法后,再全班展示、互相學(xué)習(xí)不同解法.我們預(yù)設(shè)一些解法的思路,以便學(xué)生還沒有出現(xiàn)類似解法時進行思路的啟發(fā).
思路1:如圖2,過點A作AE⊥BD于點E.結(jié)合角平分線性質(zhì),在Rt△ABE中,∠ABE=60°,則BE=
圖2
由BE=BD,得點E與點D重合,則AD⊥BD.則a=c=2.
思路2:過點A作AH⊥BC于點H.結(jié)合外角∠ABH=60°,在Rt△ABH中,BH=c=1,于是可證△ABH△ABD,從而可得∠BDA=90°,進一步再證△ABD△CBD,問題獲得突破.
圖3
圖4
思路3:如圖4,過點D作DH⊥AB于點H.在Rt△BDH中,∠ABD=60°,BH=,于是AH=.在Rt△ADH中,可利用銳角三角函數(shù)求出∠ADH=60°.在Rt△BDH中,∠BDH=30°,則BD⊥AC,于是可證△ABD △CBD,從而問題獲解.
思路4:如圖4,過點D作DH⊥AB于點H,分別求出BH=.在Rt△ADH中,可利用銳角三角函數(shù)求出∠A=30°,于是由三角形內(nèi)角和可得∠C=30°,則BC=AB=2.
思路5:如圖5,過點D作DH⊥AB于點H,DG⊥BC于點G.分別求出BH=,DH=DG=.在Rt△ADH中,可利用銳角三角函數(shù)(或利用三角形相似)求出∠A=30°,于是由三角形內(nèi)角和可得∠C=30°,即BC=AB=2.這種思路比思路4要繁冗,教學(xué)中如果學(xué)生構(gòu)造了兩條垂線段,可以畫在黑板上收集起來,對這一小問來說有些思維回路,但是對后續(xù)問題的探索是有效的輔助線.
圖5
圖6
思路6:如圖6,過點D作DM//BC,交AB于點M.先證△BDM是等邊三角形,得BM=BD=1,于是AM=1,接下來有不少路徑,比如,由DM=AM=BM,可得∠ADB為直角,從而獲得思路貫通;或再證△ADM △ACB,根據(jù)對應(yīng)邊之比可得BC=2.
限于篇幅,我們不再展示其他思路.據(jù)本題的閱卷報告,該題多達20多種方法,教學(xué)時安排學(xué)生展示出5~8種即可,不必太多,有些路徑相近的可歸到一類解法,如果本質(zhì)上不一樣,要引導(dǎo)學(xué)生敘述它們的不同點,辨析解法的不同也是需要重點培養(yǎng)的能力.
問題“題干”不變.
(2)求△ABC的面積(用含a、c的式子表示即可);(要求:至少給出兩種不同解法)
(3)求證:a、c之和等于a、c之積.
教學(xué)預(yù)設(shè):在第(1)問充分探究多種解法之后,第(2)問表示△ABC的面積也有很多思路,學(xué)生應(yīng)該能想出多種方法,這里仍然安排學(xué)生進行多解展示交流.以下也預(yù)設(shè)幾種解法.
思路1:如圖7,過點A作AF⊥BD于點F,過點C作CG⊥BD于點G.
圖7
圖8
思路2:如圖8,過點C作CH⊥AB于點H,用含a的式子表示出CH=a.于是S△ABC=AB×CH=
圖9
以上兩種思路都是基于面積法,這時注意啟發(fā)學(xué)生對比兩種解答結(jié)果的不同,并檢查過程中有無錯漏,如果確認(rèn)無錯,進一步可將成果擴大得出考題第(3)問的解答.比如,通過上面兩種面積表示方法a,就可直接獲解.另外,學(xué)生還可以從上一問其他解法得出解答,這里再提及一種思路,如圖9,過點C作CE//AB,交BD的延長線于點E.可證出△BCE為等邊三角形,所以BE=EC=BC=a,所以DE=a-1.由△CDE△ADB,得所以整理可得a+c=ac.
【變式改編】定義:在△ABC的邊AC上取一點D,連接BD.當(dāng)時,稱線段BD為△ABC的“比例線”.
已知,如圖1,△ABC的“比例線”BD的長為1,且∠ABC=120°.
(1)當(dāng)AD=CD時,求BC的長.
(2)△ABC的內(nèi)角∠A、∠C所對邊是a、c.
①求證:a+c=ac.
(***供學(xué)有余力的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)***)
②分析a、c之和有沒有最小值.如果有,求出它的最小值;如果沒有,請說明理由.
教學(xué)預(yù)設(shè):第(1)問所給強化條件“點D恰為AC的中點”與原考題的第(1)問的強化條件是等價的,學(xué)生可以從不同角度進行突破,有效反饋這節(jié)課的講評效果.
(2)①對應(yīng)著上文考題的第(3)問,這里略去思路.
一題多解是不少經(jīng)驗型教師在解題教學(xué)時經(jīng)常進行的,但是一題多解不能只是簡單地展示一道習(xí)題的多樣化解法,甚至無度展示、炫耀不同解法,這對于提高解題教學(xué)效率無甚益處.我們認(rèn)為,要努力通過一題多解促進學(xué)生深刻理解與考題相關(guān)聯(lián)的不同知識點,這才是有意義的.上文考題的第(1)問雖然不難,但通過一題多解的展示、對話、互評,能促進學(xué)生理解角平分線、60°角、直角三角形、相似三角形、面積法等很多數(shù)學(xué)知識點之間的關(guān)聯(lián).可見開展一題多解的教學(xué),需要深刻理解考題的結(jié)構(gòu),還要想清不同解法對應(yīng)的關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識是否適合本課時的復(fù)習(xí)目標(biāo).
在上文“一題一課”教學(xué)設(shè)計中,我們最后給出了“變式再練”,通過改編設(shè)計成一道“新定義”習(xí)題,實質(zhì)上仍然是三角形的角平分線帶來的比例性質(zhì).結(jié)合學(xué)情,如果多數(shù)學(xué)生都能順利掌握所講評的問題,可相機給出拓展問題,讓學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)最后一問,這一問涉及高中“基本不等式”,但是優(yōu)秀學(xué)生利用八年級就學(xué)習(xí)過的配方法也可進行有效轉(zhuǎn)化.順便提及,這個拓展問題是受一道江蘇高考填空題的啟發(fā)而改編的.當(dāng)然,如果班級整體學(xué)情不好,對前面所講評的不同解法沒有充分消化理解,則這個拓展提升就不必呈現(xiàn),這也正是“相機教學(xué)”的又一內(nèi)涵.