筅江蘇省揚州市朱自清中學 余 雷

一、中國南宋著名數(shù)學家楊輝的教學思想概述

近讀丁石孫、張祖貴先生著作（見參考文獻［1］），其中對中國古代數(shù)學教育的闡述中，重點介紹了南宋末年的著名數(shù)學家楊輝（約13世紀中時期人，字謙光，杭州人），文中特別提到楊輝重視數(shù)學的普及教育工作，主張數(shù)學教育與學習要循序漸進，熟讀審思.在數(shù)學教學上，他主張誘導學習者積極學習，從而提高計算能力；強調(diào)通過習題的演算，來領(lǐng)會個中奧秘，認為“好學君子，自能觸類而考”，從而達到學習的要求.最為難得的是，他對做好數(shù)學習題與學習基礎(chǔ)理論的關(guān)系，以及按什么標準選擇習題有深刻的認識，強調(diào)“夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設(shè)一題”“題繁難見法理，定撰小題驗法理，義既通雖用繁題了然可見也”.以上數(shù)學教育原則到今天仍是十分重要的.

由以上讀書筆記，筆者聯(lián)想到當下數(shù)學教學領(lǐng)域的習題選擇（即選題），本文結(jié)合近年來所見、所為、所思，談?wù)務(wù)n堂教學中例題與習題的選擇.

二、例題與習題選編的案例分享

案例1：七年級就要重視“視為整體”的訓練.

題1：已知關(guān)于x的方程x3+x=13+1的解為x=1；x3+x=23+2的解為x=2；x3+x=（-3）3+（-3）的解為x=-3.

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

（1）觀察上述方程及解的特征，直接寫出關(guān)于x的方程x3+x=43+4的解為______；

（2）猜想關(guān)于x的方程x3+x=a3+a的解為______；

（3）利用（2）中猜想到的結(jié)論，求解關(guān)于x的方程（x-1）3+x=（a+1）3+a+2的解.

思路概述：前兩問都可直接寫出答案，第（3）問需要對方程進行整理、變形，比如，［（x-2）+1］3+［（x-2）+1］=（a+1）3+（a+1），將x-2視作一個整體，對應(yīng)等式右邊的整體a+1，即可得x-2=a+1，即x=a+3.

教學意圖：從七年級開始就可訓練學生“視為整體”的解題策略，這也是用字母表示數(shù)、列代數(shù)式之后考查較高能力水平的題型.七年級上學期教材中也經(jīng)常有將“a+b”或“10m+n”看成一個整體這樣的訓練，而且到八年級學習乘法公式之后，就需要識別、套用公式，如將哪些部分或整體視作公式中的a或b；到九年級學習一元二次方程的求根公式、根的判別式，二次函數(shù)的圖像的頂點公式，等等，都需要靈活切換視角，要有“視為整體”的眼力.

案例2：八年級幾何教學要關(guān)注經(jīng)典問題.

題2：【閱讀回顧】教材“實驗與探究”曾對三角形中邊與角之間的不等關(guān)系進行研究，我們確認了以下性質(zhì)：在一個三角形中，較大邊（或較大角）所對的角（或邊）相應(yīng)也較大.簡稱“大邊對大角”“大角對大邊”.

【性質(zhì)運用】（可以借助以上性質(zhì)參與下列問題的推理的證明）

如圖1，△ABC中，AB=AC，AD是頂角∠BAC的外角平分線，點P在射線AD上（不包括端點A），連接PC、PB.

（1）求證：PC＜PB；

（2）判斷∠ABP與∠ACP的大小，并說明理由.

思路概述：（1）方法1：在△BPC中，可證出∠PBC＜∠PCB，于是BP＞CP，即獲證.

圖1

圖2

圖3

方法2：如圖2，作AE⊥BC于點E，交BP于點Q.在△CPQ中，CQ+PQ＞PC，而CQ=BQ，于是BQ+PQ＞CP，即獲證.

（2）在BA的延長線上取AC′=AC，連接PC′.先證△APC△APC，得∠AC′P=∠ACP，PC=PC′，于是BP＞PC′.在△BPC′中，由“大邊對大角”得∠ABP＜∠AC′P，問題得解.

教學意圖：八年級上學期主要學習平面幾何中的一些難點章節(jié)，如三角形全等、等腰三角形等特殊圖形的性質(zhì)，當前很多教輔資料上的這類平面幾何習題盲目選用各地中考真題，加重學生學習負擔，因為很多中考平面幾何題都是經(jīng)過圖形變換之后或者是由幾何畫板等電腦軟件動態(tài)變換之后得出的一些奇異性質(zhì)，簡單把這類平面幾何難題“下放”在八年級上學期進行訓練，學生苦不堪言，對平面幾何教學產(chǎn)生不良導向.而像教材上經(jīng)典的幾何性質(zhì)，如等邊對等角、等角對等邊，其有很大的拓展與推廣空間，比如，將其“一般化”為“大邊對大角”“大角對大邊”，這類問題不但能訓練學生做一題、會一類，使得經(jīng)典問題、經(jīng)典圖形的教學功能得到大大提升，同時向?qū)W生傳遞、滲透了研究幾何的方法與套路（善于從特殊走向一般）.

案例3：定長線段圍平面圖形的面積最大問題.

【教材習題】分別用定長為a的線段圍成矩形和圓.哪種圖形的面積更大？

改編習題：分別用定長為a的線段圍成矩形和圓.

（1）求所圍成的矩形的面積的最大值；（用含a的式子表示）

（2）哪種圖形的面積更大？為什么？

思路概述：（1）設(shè)所圍成的矩形的長為x，則寬為-x..S矩形=x所以當x=時（此時矩形恰為正方形），矩形面積取得最大值

（2）圍成的圓面積更大，理由如下.由題意得圍成的圓的半徑r=S圓=πr2=因為大于矩形面積的最大值所以圍成的圓面積更大.

教學意圖：用定長線段圍圖形是小學階段就熟悉的問題背景，而且小學時學生就積累了相關(guān)的最值經(jīng)驗，比如，用定長為a的線段圍成的矩形中正方形的面積最大，而所有圍成的平面圖形中，圓的面積最大.該題在九年級教材上二次函數(shù)一章中，結(jié)論學生都記得，但是在說明理由時常常不太嚴謹，比如，對所圍成的矩形中正方形最大缺少演算步驟，沒有用二次函數(shù)解析式、配方求最值的方式.為學生設(shè)計鋪墊式問題，也是積極踐行楊輝數(shù)學教學思想中提出的“夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設(shè)一題”.

三、關(guān)于習題選擇的進一步思考

1.教師要修煉識別“好題”的專業(yè)功夫

教師需要有很多專業(yè)基本功，其中善于識別“好題”應(yīng)該是一項重要的專業(yè)基本功.能從眾多習題中，一眼識別那些“表述簡潔、思想深刻、富有發(fā)展、解法多樣”的好題確實不是一件容易的事，需要老師們在平時教學研究過程中勤于解題，歸類收集，整理存檔.這樣堅持五年以上（甚至需要更長的時間積淀），才能對一些“好題”有較好的識別“眼力”.

2.將“好題”改編成“問題”驅(qū)動教學

在教學研究的基本問題（教什么，怎么教，教誰）中，“教什么”永遠是第一位的.而數(shù)學教學離不開數(shù)學習題，要精選那些“好題”很不容易，在此基礎(chǔ)上，還要求教師善于結(jié)合教情、學情，將好題改編成“問題”，以便運用“問題”驅(qū)動教學進程，進行所謂的“問題驅(qū)動”教學.“習題”到“問題”，一字之別，卻是教學理念和教學價值觀的重大轉(zhuǎn)換，值得大家仔細玩味.

3.古代數(shù)學家教育智慧需要挖掘和實踐

如參考文獻［1］中介紹所見，中國古代數(shù)學家有很多先進的教育智慧與實踐經(jīng)驗，值得認真學習，特別需要挖掘整理.作為一線教師，并不是數(shù)學史、中國古代數(shù)學史研究專業(yè)出身，但是可以借鑒一些文獻研究中的經(jīng)驗，積極付諸教學實踐.像本文中的識別“好題”，將“好題”改編打磨成“問題”驅(qū)動課堂教學，就可看成是踐行楊輝數(shù)學教學思想的一些努力.當然，我們的實踐剛起步，認識很不到位，期待更多的同行積極行動，豐富案例研究，加深我們對古代數(shù)學家的教育智慧的實踐與理解.