盛啟輝，萬(wàn) 茜，王小梅，劉 倩，李 宇

（航空工業(yè)洪都，江西 南昌，330024）

0 引言

線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)要求可轉(zhuǎn)化為期望極點(diǎn)，再根據(jù)期望極點(diǎn)的位置，利用狀態(tài)反饋、輸出反饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置。但是，對(duì)于一個(gè)確定的狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置問(wèn)題，當(dāng)采用不同的方法去求解時(shí)，可以得到不同的狀態(tài)增益，即其解不存在惟一性。特征結(jié)構(gòu)配置不但配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，而且還配置它們的重?cái)?shù)并同時(shí)配置閉環(huán)特征向量，因而可以更加準(zhǔn)確地掌握系統(tǒng)的性能。特征結(jié)構(gòu)配置的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在于，通過(guò)適當(dāng)選取設(shè)計(jì)參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)期望性能的控制系統(tǒng)[1-2]。本文運(yùn)用輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置設(shè)計(jì)了無(wú)人機(jī)飛行控制系統(tǒng)的控制律，對(duì)極點(diǎn)和特征向量進(jìn)行了期望的配置，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)模態(tài)的解耦。

1 輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置

1.1 特征結(jié)構(gòu)配置分析

線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

其中A為系統(tǒng)的狀態(tài)陣，反映系統(tǒng)固有運(yùn)動(dòng)特性；B為控制陣，反映輸入量對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響；C為輸出陣，確定了系統(tǒng)的輸出狀態(tài)量。x為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)向量，u為系統(tǒng)的輸入向量，y為系統(tǒng)的輸出向量，x0為初始值，t0為初始時(shí)間。

則系統(tǒng)的解為x(t)=eAtx0。

若用A的特征向量和特征值表示，特征系統(tǒng)方程為

其中特征向量V與特征值λ分別為：

特征向量V是狀態(tài)空間的基本集，狀態(tài)空間的任一向量可表示為系統(tǒng)特征向量的線(xiàn)性組合，這些特征向量稱(chēng)為系統(tǒng)的右特征向量。同樣，系統(tǒng)還存在左特征向量W，并滿(mǎn)足

式中，WT=[W1…W2…Wn] 。

系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)方程為

系統(tǒng)自由響應(yīng)的每個(gè)解與三個(gè)量有關(guān)：確定響應(yīng)衰減速率或增長(zhǎng)率的特征值、確定響應(yīng)形狀的特征向量和確定加入自由響應(yīng)的每個(gè)初始狀態(tài)；強(qiáng)迫響應(yīng)與確定的外作用輸入有關(guān)。不同的特征值及相應(yīng)的特征向量和外作用輸入直接影響系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程，系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)反映了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模態(tài)和外作用對(duì)輸出的影響。

時(shí)域響應(yīng)中的自由響應(yīng)部分可寫(xiě)成

式(8)和式(9)表明系統(tǒng)的響應(yīng)可由其特征值和特征向量進(jìn)行描述，因此如能改變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)，將能改善系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。

1.2 輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置

選取系統(tǒng)所期望的一組閉環(huán)特征值λ，進(jìn)行輸出反饋極點(diǎn)配置的控制律形式為[3-4]

K為反饋增益矩陣。

則系統(tǒng)閉環(huán)方程

對(duì)于特征值λi和特征向量Vi，有

假設(shè)系統(tǒng)的期望特征值λ與狀態(tài)矩陣A的特征值不等，因此(λiI-A)的逆存在。

設(shè)向量 zi=KCVi，Ni=(λiI-A)-1B，

那么Vi=Nizi。

特征向量Vi必須位于Ni的列張成的子空間中，一旦期望的特征值已確定，Ni的分布空間便限定了閉環(huán)特征向量的選取。而期望的特征向量不屬于預(yù)先規(guī)定的子空間而不能到達(dá)，此時(shí)需用最可能到達(dá)的特征向量來(lái)代替理想特征向量該可達(dá)向量是在Ni的列張成的子空間上的投影，使所求的特征向量盡可能靠近期望的特征向量。

式中，Vij是指定元素，×是未指定元素即無(wú)約束元素。

定義重新排序算子{·}Ri

式中，li是由中指定元素組成的向量，di是由中未指定元素組成的向量。

將向量Ni中的諸行重新排列，并與中重排序的元素一一對(duì)應(yīng)，Ni形式如下

因反饋增益陣滿(mǎn)足KCVa=Z，Va和Z的列數(shù)與輸出變量個(gè)數(shù)相同，求解式（16）可得反饋增益矩陣K。

2 無(wú)人機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)

無(wú)人機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)方程：

無(wú)人機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)模態(tài)可分為兩個(gè)縱向短周期、一個(gè)縱向長(zhǎng)周期，期望每個(gè)模態(tài)起主導(dǎo)作用的分別是攻角、俯仰角速率和俯仰角，期望特征向量為：

運(yùn)用輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置方法得到的無(wú)人機(jī)俯仰姿態(tài)保持系統(tǒng)的反饋增益矩陣：

無(wú)人機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的仿真模型如圖1所示。

俯仰角輸入指令為0.1754rad(10°)，無(wú)人機(jī)俯仰角響應(yīng)曲線(xiàn)如圖2所示。系統(tǒng)能快速跟蹤俯仰角輸入指令信號(hào)，俯仰角響應(yīng)無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)無(wú)誤差，系統(tǒng)上升時(shí)間不大于1.0s，調(diào)節(jié)時(shí)間不大于2.0s。

圖1 無(wú)人機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)仿真模型

圖2 無(wú)人機(jī)俯仰角曲線(xiàn)

圖3是無(wú)人機(jī)俯仰角速率曲線(xiàn)，俯仰角速率在0.6s達(dá)到最大，約為 0.27rad/s，1.5s接近 0.0rad/s。

圖3 無(wú)人機(jī)俯仰角速率曲線(xiàn)

圖4和圖5分別是無(wú)人機(jī)攻角和升降舵偏轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)，攻角1.0s內(nèi)的增量約0.13rad/s，升降舵偏轉(zhuǎn)角的最大增量約0.44rad/s。

圖4 無(wú)人機(jī)攻角曲線(xiàn)

圖5 無(wú)人機(jī)升降舵偏轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)

3 無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)

無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程：個(gè)滾轉(zhuǎn)和一個(gè)螺旋，期望每個(gè)模態(tài)起主導(dǎo)作用的分別是側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角速率、滾轉(zhuǎn)角、偏航角速率，期望特征向量為：

運(yùn)用輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置方法得到的無(wú)人機(jī)俯橫側(cè)向姿態(tài)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的反饋增益矩陣：

無(wú)人機(jī)的橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)模態(tài)可分為兩個(gè)荷蘭滾、一

無(wú)人機(jī)的橫側(cè)向進(jìn)行協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)的仿真模型如圖6所示。

圖6 無(wú)人機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)仿真模型

滾轉(zhuǎn)角輸入指令為0.52356rad(30°)，無(wú)人機(jī)滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線(xiàn)如圖7所示。系統(tǒng)能快速跟蹤滾轉(zhuǎn)角輸入指令信號(hào)，滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)無(wú)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)無(wú)誤差，系統(tǒng)上升時(shí)間不大于1.5s，調(diào)節(jié)時(shí)間不大于2.0s。圖8是滾轉(zhuǎn)角速率曲線(xiàn)，滾轉(zhuǎn)角速率0.5s內(nèi)的增量約0.51rad/s，5s后接近0.0rad/s。

圖7 無(wú)人機(jī)滾轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)

圖9、圖10分別是無(wú)人機(jī)偏航角速率和偏航角曲線(xiàn)，無(wú)人機(jī)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎過(guò)程中，偏航角速率隨著滾轉(zhuǎn)角變化，跟蹤滾轉(zhuǎn)指令信號(hào)過(guò)程中，偏航角速率的增量達(dá)到0.06rad/s，滾轉(zhuǎn)角達(dá)到穩(wěn)態(tài)，偏航角速率約為0.022rad/s，偏航角隨著無(wú)人機(jī)轉(zhuǎn)彎，10s內(nèi)變化了0.25rad/s。

圖8 無(wú)人機(jī)滾轉(zhuǎn)角速率曲線(xiàn)

圖11是無(wú)人機(jī)側(cè)滑角曲線(xiàn)，滾轉(zhuǎn)角跟蹤指令信號(hào)過(guò)程中，側(cè)滑角變化0.0085rad，滾轉(zhuǎn)角達(dá)到穩(wěn)態(tài)，側(cè)滑角約-0.003rad，協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎過(guò)程中側(cè)滑角實(shí)現(xiàn)了零保持。

圖12、圖13分別是無(wú)人機(jī)副翼和方向舵偏轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)。副翼偏轉(zhuǎn)角最大增量約0.16rad，穩(wěn)態(tài)值約0.0025rad。方向舵偏轉(zhuǎn)角最大增量約0.11rad，穩(wěn)態(tài)值約0.008rad。

圖9 無(wú)人機(jī)偏航角速率曲線(xiàn)

圖10 無(wú)人機(jī)偏航角曲線(xiàn)

圖11 無(wú)人機(jī)側(cè)滑角曲線(xiàn)

圖12 無(wú)人機(jī)副翼偏轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)

圖13 無(wú)人機(jī)方向舵偏轉(zhuǎn)角曲線(xiàn)

4 結(jié)論

通過(guò)輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置設(shè)計(jì)了無(wú)人機(jī)的控制律，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)部的解耦，消除不同姿態(tài)參數(shù)之間耦合作用，實(shí)現(xiàn)了不同運(yùn)動(dòng)模態(tài)最重要狀態(tài)變量的主導(dǎo)作用。仿真結(jié)果表明，俯仰角能快速跟蹤指令信號(hào)，橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎控制實(shí)現(xiàn)了滾轉(zhuǎn)角快速跟蹤指令信號(hào)、無(wú)人機(jī)快速轉(zhuǎn)彎以及零側(cè)滑保持，具有較好的飛行動(dòng)態(tài)性能。