姚杳

[摘? 要] 僅僅滿足于文化知識(shí)與技能傳遞的課堂教學(xué)往往會(huì)忽略學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的觀察與發(fā)現(xiàn)，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)教會(huì)學(xué)生觀察、比較、分析并使學(xué)生在教師的不斷指導(dǎo)下逐步鍛煉出發(fā)現(xiàn)、探討、創(chuàng)造以及適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的能力.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)現(xiàn);觀察;比較;化簡(jiǎn)

僅僅滿足于文化知識(shí)與技能傳遞的課堂教學(xué)往往著眼于學(xué)生的學(xué)習(xí)和繼承，自主思考與創(chuàng)造是不被重視的，這一與高效課堂教學(xué)理念相違背的教學(xué)行為自然不能激發(fā)學(xué)生探索的欲望和創(chuàng)造的潛力，但事實(shí)上，培養(yǎng)富有時(shí)代精神與創(chuàng)造性思維的人才才是當(dāng)今教育教學(xué)應(yīng)該完成的使命. 因此，教師應(yīng)善于轉(zhuǎn)變角色并使學(xué)生更加樂(lè)意在學(xué)習(xí)中進(jìn)行合作、交流與創(chuàng)造.

美國(guó)的數(shù)學(xué)教育家普遍認(rèn)為自己的發(fā)現(xiàn)才是真正的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)造性思維是數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)法推卻的責(zé)任，因此，教師在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中都應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造更多探索發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)并促進(jìn)學(xué)習(xí)意義的真正實(shí)現(xiàn). 由此可見，教師的教與學(xué)生的學(xué)在數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中是相互統(tǒng)一的，那么這種發(fā)現(xiàn)的課堂教學(xué)應(yīng)該怎樣構(gòu)建才能獲得良好的效果呢？

[?]注重觀察與比較

引導(dǎo)學(xué)生在解題中進(jìn)行觀察與比較并從中發(fā)現(xiàn)題中各種量的關(guān)系是非常有必要的. 比如，筆者在三角函數(shù)求值問(wèn)題的教學(xué)中往往要求學(xué)生面對(duì)問(wèn)題不要急于動(dòng)筆，常常要求學(xué)生首先對(duì)已知與未知之間的聯(lián)系進(jìn)行觀察，特別是角和角之間的關(guān)系，也就是說(shuō)經(jīng)常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考已知角和未知角之間的相互表示. 如α=（α+β）-β=+=（α-β）+β等等;又如+α和-α、+α和+2α的關(guān)系. 解題中的觀察與比較具體運(yùn)用以下例題進(jìn)行說(shuō)明：

為方程x2+px+q=0的兩個(gè)根，則p，q之間關(guān)系怎樣？

這是文科班的一節(jié)復(fù)習(xí)課，很多人會(huì)對(duì)課堂容量之大產(chǎn)生疑問(wèn)，事實(shí)上，這節(jié)課不僅完成預(yù)設(shè)內(nèi)容的教學(xué)，還獲得了很好的效果，筆者以為這主要是因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)過(guò)程中真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者的緣故，教師在“知”、“能”并重的理念下引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行了觀察、發(fā)現(xiàn)與比較并因此令學(xué)生獲得了很好的解題思路與方法.

[?]注重化簡(jiǎn)

事實(shí)上，不同數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以在“回歸”二字上進(jìn)行總結(jié)與歸納. 比如，立體幾何應(yīng)該回歸到結(jié)構(gòu)圖與平面幾何的內(nèi)容;解析幾何應(yīng)該回歸到坐標(biāo)與方程、定義、曲線的方程等內(nèi)容;排列組合應(yīng)該回歸到枚舉的內(nèi)容;三角函數(shù)應(yīng)該回歸到定義、單位圓、圖像、公式等四個(gè)工具的使用;函數(shù)則應(yīng)該回歸到定義域、賦值等內(nèi)容;數(shù)列應(yīng)該回歸到等差、等比、基本量等內(nèi)容;不等式則應(yīng)該回歸到方程、性質(zhì)、觀察法的運(yùn)用等內(nèi)容. 總之，包括高考題在內(nèi)的各類題目事實(shí)上都是課本上的定義、定理、公理變化所得，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生看清題目本質(zhì)并將問(wèn)題回歸到最根本的環(huán)節(jié)上來(lái)，回歸到最原始的地方，以此便能清晰地窺得解題最需要解決的根本性的內(nèi)容，簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是將復(fù)雜化為簡(jiǎn)單.

公式較多、內(nèi)容較雜的三角函數(shù)知識(shí)是每年高考的重點(diǎn)，也是很多高三數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)感覺(jué)頭疼的內(nèi)容，筆者在怎樣教會(huì)學(xué)生解決此類問(wèn)題的方法時(shí)也頗費(fèi)心思，最終在引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立解決此類題目時(shí)獲得了新的思路：引導(dǎo)學(xué)生在少量經(jīng)典題型中觀察、總結(jié)和比較，使學(xué)生能夠在有限的練習(xí)中獲得對(duì)自己解題有用的東西. 筆者遵循這一思路在復(fù)習(xí)教學(xué)中進(jìn)行了三角函數(shù)的復(fù)習(xí).

1. 公式的處理

筆者要求學(xué)生在課前就對(duì)S（α+β）與C（α+β）這兩個(gè)基本公式進(jìn)行自主復(fù)習(xí)并給學(xué)生布置了以下問(wèn)題：你能在這兩個(gè)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行其他公式的推導(dǎo)與變形嗎？經(jīng)過(guò)復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，這樣復(fù)習(xí)的效果與逐個(gè)復(fù)習(xí)公式的效果相比確實(shí)好了很多，學(xué)生在獨(dú)立推導(dǎo)的過(guò)程中不知不覺(jué)就運(yùn)用到了倍角、半角、誘導(dǎo)公式等諸多內(nèi)容，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)本身就是一種有效的自主復(fù)習(xí)，筆者在此基礎(chǔ)上及時(shí)給予了一定的補(bǔ)充并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各個(gè)公式進(jìn)行了變式的嘗試，使學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)、探索的過(guò)程中對(duì)公式的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)進(jìn)行了有意義的復(fù)習(xí). 比如，公式tan（α+β）=可以變形成tanα+tanβ=tan（α+β）·（1-tanαtanβ），此公式有何特點(diǎn)呢？又如，tan（α-β）=可以變形成tanαtanβ=-1，應(yīng)該怎樣用這一變形求tan[（i+1）α]tan（iα）？很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩正切乘積正好就是上述公式的變形，將（n+1）α與nα代入后也正好就是數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法. 筆者又鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)其他公式的各種變形進(jìn)行推導(dǎo)，學(xué)生表現(xiàn)得異常積極并給出了很多的公式變形.

2. 對(duì)“1”的處理

對(duì)“1”的處理在很多三角函數(shù)的問(wèn)題中都相當(dāng)重要. 筆者在公式的處理時(shí)提出過(guò)以下問(wèn)題：哪一個(gè)特殊值在所有公式中出現(xiàn)得最多呢？學(xué)生立馬聯(lián)想到“1”. 筆者又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“1”在公式中的特殊表現(xiàn)進(jìn)行了討論，學(xué)生最終得出了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、特殊角的三角函數(shù)值、倍半角公式這三類公式中的“1”的特殊表現(xiàn)，學(xué)生在充分認(rèn)識(shí)到“1”的作用的同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題中隱含的“1”，比如中有4個(gè)“1”，靈活代換即能化簡(jiǎn).

由此可見，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析和概括，教會(huì)學(xué)生在觀察、比較、分析中進(jìn)行歸納、類比與推斷，使學(xué)生能夠在充分的觀察、思考與分析中尋求合理的問(wèn)題或資料、簡(jiǎn)便的處理方法，使學(xué)生在教師的不斷指導(dǎo)下逐步鍛煉出發(fā)現(xiàn)、探討、創(chuàng)造以及適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的能力.