張玉虎

[摘? 要] 平面向量是高中新課標教材新增的重要內(nèi)容，是有效連接代數(shù)與幾何的橋梁，已經(jīng)成為高考數(shù)學命題的一個熱點，向量等和線為求解向量系數(shù)和問題打開了一種嶄新的解題空間，體現(xiàn)出考生的良好學科素養(yǎng).

[關鍵詞] 向量;等和線;高考題

平面向量是新課標教材新增內(nèi)容之一，具有有效溝通代數(shù)和幾何的橋梁作用，向量也是人們解決數(shù)學問題的一種重要數(shù)學工具. 在高考數(shù)學中向量既是一個必考知識點，也是一個創(chuàng)新命題的切入點，考題?？汲Ｐ拢以诮鼛啄甑目碱}中對知識的綜合性和靈活性考查增強，相應難度有所提升，如2017年全國卷Ⅱ、全國卷Ⅲ，向量題就被安排在選擇題的第12題.因此，教師在指導學生對平面向量進行復習時，要重視回歸教材，指導學生對教材中向量的定理、例題、習題展開適當?shù)奶骄颗c思考，以拓展知識和能力，其中從平面向量基本定理探究出的向量等和線就是一個重要例子，利用向量等和線求解向量線性運算中系數(shù)和問題，比建系轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解更顯自然和流暢，有效降低了知識綜合性要求與運算能力要求.

[?]向量等和線定理的探究

若過點P作AB的平行線l，在平行線l上任取一點Q，OQ交AB于點Q，由平行線間對應線段成比例定理知=k，同樣也可得x+y=k，即平行線l上任意點恒有x+y=k，稱平行線l為等和線. 從而可得：在向量起點相同的條件下，所有與AB平行的直線上的點為終點的向量，共基底的系數(shù)和為定值. 定值的大小只與起點到等和線的距離成正比，如圖2.

（1）當?shù)群途€與起點O在AB的兩側(cè)時，k∈（1，+∞）;

（2）當?shù)群途€在起點O與AB之間時，k∈（0，1）;

（3）當?shù)群途€與AB在起點O的兩側(cè)時，k∈（-∞，0）;

（4）當?shù)群途€與AB重合時：k=1;

（5）當?shù)群途€恰好過起點O時：k=0.

[?]向量等和線的應用

1. 求共起點向量線性運算的系數(shù)和

從向量等和線定理可知，求線性系數(shù)和問題就是在等和線上取一特殊點求=k.

例1：（2017年全國卷Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（? ）

A. 3 B. 2 C.D. 2

解析：如圖3，作圓C與BD平行的切線l，設切點為P，

連接AP交BD于P1，則直線l為使λ+μ取得最大值的等和線，

此時==3，故選A.

例2：（2009年安徽卷）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖4所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若=x+y（x，y∈R），則x+y的最大值為________.

解析：在圓弧AB上過C點作AB的所有平行線中，當平行線與圓弧AB相切時離圓心最遠，此時等和線的k取得最大值，結(jié)合圓心角可計算得kmax=2.

2. 求非共起點向量線性運算的系數(shù)和

由于高中階段所學向量均為自由向量，把向量平移是相等向量，所以在用等和線求解問題時，若兩向量的起點不同，可以將向量平移實現(xiàn)起點重合.

例3：（2013年江蘇卷）設點D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC. 若=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），則λ1+λ2的最大值為________.

解析：如圖5，過點A作=，延長AF與BC交于點M.

由于∥且點D為AB的中點，從而E也為BM的中點，

所以F也為AM的中點，可得DF∥BC，因此λ1+λ2=，也為最大值.

3. 求向量線性運算系數(shù)的線性關系式

有時候所求解的可能是系數(shù)的一般線性關系式，而非系數(shù)和，考慮到向量可以通過數(shù)乘運算將向量進行同向或者反向伸長、壓縮，所以從理論上講，所有系數(shù)的線性關系式，都可以通過改變向量的基底，將所求系數(shù)的線性關系式變?yōu)閮蓚€新的基向量的系數(shù)和.

求x+3y可轉(zhuǎn)化為以，為基底的系數(shù)和. 如圖6，當點C在點A處時，經(jīng)過k=1的等和線;當點C在點B處時，經(jīng)過k=3的等和線，這兩個值就是等和線最近與最遠的值，所以系數(shù)和k的取值范圍為[1，3]，故選C.

4. 求基底為變化向量的系數(shù)線性系式

當基向量的終點是變化的，使系數(shù)和μ+λ=1的等和線也是變化的，所以滿足條件的的等和線也相應保持平行變化，從而求解問題的關鍵在于探求保持平行變化中滿足條件的等和線位置.

當點P在半圓弧AB上變化時，以，為基向量的值為1的等和線PD′相應發(fā)生改變，從而過E點的等和線EE′也跟隨改變. 通過觀察知當P運動到P′點時，值為1的等和線PD′與過E點的等和線EE′重合，此時2x+y的最小值為1，故選C.

[?]向量等和線的推廣

與向量等和線相對應的還有向量的等差線、等積線和等商線，各自定義分別如下：

1. 向量的等差線

平面內(nèi)一組基底，及任一向量，設=λ+μ（λ，μ∈R），點C為線段AB的中點，若點P在直線OC上或在平行于OC的直線上，則λ-μ=k（定值），反之也成立. 我們把直線OC以及與直線OC平行的直線稱為向量的等差線，如圖8.

2. 向量的等積線

平面內(nèi)一組基底，及任一向量，設=λ+μ（λ，μ∈R），若點P在以直線OA，OB為漸近線的雙曲線上，則λμ=k（定值），反之也成立. 我們把以直線OA，OB為漸近線的雙曲線稱為向量的等積線.

3. 向量的等商線

平面內(nèi)一組基底，及任一向量，設=λ+μ（λ，μ∈R），若點P在過O點（不與OA重合）的直線上，則=k（定值），反之也成立.

我們把過點O的直線（除OA外）稱為向量的等商線，如圖9.

對直線OC上任意一點都恒為定值，不妨過點A作AC1∥OB交OC于點C1，再過點C1作B1C1∥OA交OB于點B1，由已知可得AC1=OB1=，從而=+=+，即此時m=1，n=.

所以定值=3，故選B.

從以上對歷年向量高考題的解題分析可以看出，向量的等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關系問題，將系數(shù)和的代數(shù)式運算轉(zhuǎn)化為了距離的比例運算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效直接的體現(xiàn). 向量的等和線法將復雜的不等式問題、范圍問題、數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為簡單、直接、操作方便的點到直線距離問題，很多時候用相似即可迅速解決，提高了做題時間效率和正確率，提升了學生的學習熱情和學習興趣，也是素養(yǎng)立意的高考命題原則的體現(xiàn).