安徽省無為第三中學(xué)城北校區(qū)(238300) 朱小扣

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍(lán)云波

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和考點(diǎn),筆者發(fā)現(xiàn)利用兩個(gè)課本上的兩個(gè)常用不等式,進(jìn)行放縮,可以迅速破解導(dǎo)數(shù)問題.本文通過探討其在五類導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用,以期對(duì)同學(xué)們備戰(zhàn)高考有所幫助.現(xiàn)分析如下,供大家參考.

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

2個(gè)常用的放縮不等式:

(1)指數(shù)放縮:ex≥x+1,x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

(2)對(duì)數(shù)放縮:lnx≤x-1,x∈(0,+∞),當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

二、命題規(guī)律揭示

1.判斷導(dǎo)數(shù)的恒正或恒負(fù)

例1當(dāng)x＞1時(shí),ex≥x2+bx+1恒成立.則b的取值范圍是____.

解析當(dāng)x＞1時(shí),ex≥x2+bx+1恒成立.則.令,則0.所以h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,故h(x)＞h(1)=e-2,所以b≤e-2.

點(diǎn)評(píng)本題解答過程中,通過常用不等式可以迅速判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù),省去了大量的繁瑣討論,使問題順利求解.

2.結(jié)合變量分離求參數(shù)的范圍

例2當(dāng)x≥0時(shí),恒成立,則a的取值范圍是( )

A.(-∞,1] B.(-∞,e] C.D.(-∞,0]

解析(1)當(dāng)x=0時(shí),0≥0,a∈R.

(2)當(dāng)x＞0時(shí),,由得a≤1.

綜合(1)(2)得a≤1(用洛必達(dá)法檢驗(yàn)也可得到a≤1)故選A.

例3(2016年廣東預(yù)賽)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)遞增,則a的取值范圍為____.

解析題設(shè)即f′(x)=ex-1-2ax≥0恒成立,當(dāng)x=0時(shí),對(duì)任意a∈R,滿足f′(x)=0;當(dāng)x＞0時(shí),可得,而,所以,綜上知a的取值范圍為.

點(diǎn)評(píng)本題解答過程中,結(jié)合使用了分離參數(shù)的思想方法,通過兩個(gè)常用放縮不等式,可以秒殺此類題.因此利用放縮不等式是求參數(shù)的范圍問題的一大利器.

3.利用橋梁構(gòu)造兩個(gè)不等式

例4(2018年衡水金卷)已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若f(x)有極值點(diǎn),求證:必有一個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi);(2)求證:對(duì)任意x＞1,a＞-1,有.

證明(1)過程略.

(2)由a＞-1,x＞1,得a+x＞x-1＞0,得,所以.故只需證.只需證

由ex＞x+1(x/=1)且以x-1換x得:ex-1＞x,由lnx＜x-1(x/=0)且以換x得:,同時(shí)乘以得:.綜上,原不等式得證.

點(diǎn)評(píng)本題兩個(gè)常用不等式為命題背景,通過構(gòu)造橋梁及兩次證明,考察了同學(xué)們對(duì)兩個(gè)常用不等式掌握能力及對(duì)兩個(gè)常用不等式的深度理解.

4.推廣常用放縮不等式

例5(2018年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試)已知f(x)=ax+lnx+1.

(1)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)對(duì)任意的x＞0,f(x)≤xe2x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a＜-1時(shí),函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn),當(dāng)a=-1或a≥0時(shí),函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn),當(dāng)-1＜a＜0時(shí),函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)(過程略).

(2)因?yàn)閒(x)=ax+lnx+1,所以對(duì)任意的x＞0,f(x)≤xe2x恒成立,等價(jià)于在(0,+∞)恒成立.當(dāng)x＞0時(shí),有xe2x=elnxe2x=elnx+2x≥lnx+2x+1(公式ex≥x+1),所以,即a≤2.所以a的取值范圍是(-∞,2].

例6(2016年山西四校第二次四校聯(lián)考)已知函數(shù).

(1)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)證明:f(x)＞1.

解析(1)曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=e(x-1)+2(過程略).

點(diǎn)評(píng)例5直接利用常用不等式放縮難度較大,但通過xe2x=elnxe2x進(jìn)而進(jìn)行放縮,使問題順利解決,例6是利用得出,從而使得題目簡化.這些題均體現(xiàn)了對(duì)所學(xué)知識(shí)必須活學(xué)活用,不能刻板.同時(shí)這樣命題,也能考察同學(xué)對(duì)知識(shí)能力的創(chuàng)新運(yùn)用.

5.常用不等式的延拓

從兩個(gè)常用不等式出發(fā),可以延拓得到了另外五個(gè)高考中多次運(yùn)用的重要公式,過程如下:

除此之外還要掌握如下不等式(可以用求導(dǎo)來證明,過程略):

①當(dāng)x＞1時(shí),;

②當(dāng)0＜x＜1時(shí),;

總結(jié)以上列舉了利用常用不等式,放縮解決導(dǎo)數(shù)題的類型,并推廣了常用不等式.在近幾年的各類考試中,以常用不等式為背景的試題屢見不鮮,且?？汲Ｐ?應(yīng)引起足夠的重視.與此同時(shí)在解決類似的問題時(shí),應(yīng)多角度,多思維的去考慮.方法和技巧也不能生搬硬套,必須自己嘗試、自己領(lǐng)悟,在解題中達(dá)到自身水平的提高.