姜文敏

（江蘇省南京市生態(tài)科技島小學，江蘇南京 210019）

引 言

《數(shù)學新課程標準》提出了四項基本技能：基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。其對于幾何圖形的學習目標為經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探究、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能[1]。由此可以看出，在幾何圖形的計算教學中，教師一定要讓學生形成自己的學習經(jīng)驗，使其通過自主探究活動獲得真知，從而提升教學效果。

一、引導大膽猜想，獲得初始的感性認識

任何偉大的定理都是從猜想開始的。由于新知識學生沒有接觸過，但不代表學生一無所知。這時，讓學生根據(jù)自己的已有知識，結合自己的理解進行大膽的猜想，是學生邁向知識殿堂的第一步。

教學片段一：

師：平行四邊形的面積怎樣計算？

生：平行四邊形的面積=底×高。

師：那么，等底等高三角形的面積如何計算呢？大家大膽猜測一下。

生：底×高。

師：大家比一比三角形的面積和平行四邊形面積的大小，三角形的面積能和平行四邊形一樣進行計算嗎？

生：底×高÷2。

師：底乘高算的是什么？為什么剛好要÷2？這正是這節(jié)課需要大家通過自己的實踐去探索的問題。

學生通過大膽的猜測，從感性上和真知拉近了距離，同時也為后面的實踐操作指明了方向。

二、經(jīng)歷操作過程，形成完整的學習經(jīng)驗

著名數(shù)學教育家弗萊登塔爾認為，應將數(shù)學作為一種活動來進行解釋和分析，建立在這一基礎上的教學方法，稱為再創(chuàng)造方法。教師要讓學生經(jīng)歷三角形面積的推導過程，還原面積推導的原始操作，這樣的過程也就是弗萊登塔爾認為的再創(chuàng)造過程。

教學片段二：

師：大家都會計算平行四邊形的面積了吧？雖然三角形的面積我們還不會算，但我們每人手里都有8個三角形，你能把它們變換成我們會計算面積的圖形嗎？分小組嘗試一下。（在8個三角形中，有3對是完全一樣的三角形，分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。還有2個是干擾圖形，和上面三組的三角形有點像，但又不完全一樣。這樣設計的目的是讓學生明白，只有完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形。）

學生開始動手拼平行四邊形，基本上都能用完全一樣的兩個三角形拼出一個平行四邊形。個別小組把干擾的平行四邊形通過剪的方式拼成了平行四邊形。學生通過自己的動手實踐操作，用兩個完全一樣的三角形拼出了平行四邊形，這樣獲得的感性認識特別深刻。同時，干擾圖形的出現(xiàn)也讓學生加深了對“兩個完全一樣的三角形”這樣的前提條件的認識。

三、分析歸納推理，探索面積計算真諦

生：底和高。

美國教育家布魯納指出，數(shù)學某些領域的知識，不是讓學生去銘記已有的結果，而是要教其如何參與知識的獲取過程。通過上面的案例可以看出，三角形面積計算的方法是學生通過自己主動參與學習，在教師的引導下一步一步獲得的。這樣的學習成果學生理解得透徹，掌握得扎實，在以后的學習中也能熟練運用，做到不犯或少犯錯誤。

四、由具象到抽象，幾何計算心中有圖

學生學習幾何知識的過程，就是要充分經(jīng)歷探索、觀察、操作以及思考、分析、推理的過程，取得豐富的感性經(jīng)驗，然后從實踐材料中得出需要的知識。

教學片段三：

師：請在表1中把三角形和組成的平行四邊形的條件都填寫進去。

表1 三角形拼成的平行四邊形

學生動手填寫，前三個是由兩個三角形拼成的，很好填寫。最后兩個是由一個三角形拼成的平行四邊形。（因為課堂時間的關系，最后兩個由獨立三角形拼成的平行四邊形，本節(jié)課暫不處理，不要求人人都能填寫出來。）

師：你是怎樣填寫的？為什么三角形的高是5厘米，平行四邊形的高也是5厘米。平行四邊形的底是6厘米，三角形的底也是6厘米。（突出是兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形。）

師：三角形的面積為什么是平行四邊形面積的一半呢？對于這個問題，教師可以多追問幾個同學，直到學生能順利答出：“兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，每個三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半”為止。

師：小組討論，比較三角形和平行四邊形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：三角形的底相當于平行四邊形的底，三角形的高相當于平行四邊形的高，三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師：由此，我們可以怎樣計算三角形的面積呢？

生：三角形的面積=底×高÷2。

師：底乘高計算的是什么？為什么要÷2？（多問幾個學生。）

生：“底×高”算的是兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，“÷2”是因為兩個完全一樣的三角形可以拼成平行四邊形，每個三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半，所以要÷2。（這里的推理要考慮到學生的實際情況，教師可以通過設問的方式引導學生進行推理。對于三角形的面積計算公式，教師一定要進行反復追問，使學生明確底×高求的是什么，為什么要÷2，這對學生理解和掌握三角形的面積計算方法很重要。）

師：計算三角形的面積只要知道什么條件即可？

學生空間觀念的形成正如范希爾夫婦所提出的，以描述為主。同時，也正向著理論的層面過渡。學生依據(jù)經(jīng)驗能夠確立圖形的性質(zhì)并使用這些性質(zhì)來解決問題，同時也可以初步利用演繹推理證明幾何關系。

通過仔細研究學生在計算三角形面積時忘記÷2的情況，為了避免此類問題的發(fā)生，筆者認為要做到以下兩點：

第一，心中有圖。學生在看到題目時，腦海中就會浮現(xiàn)出三角形的形象。這正如武俠小說里所說的劍客的三個層次。第一層次：手中有劍，心中有劍；第二層次：手中無劍，心中有劍；第三層次：手中無劍，心中無劍。真正的高手正是能做到手中無圖，心中無圖。

第二，逆向練習，加深認識。如“已知三角形的面積是20平方厘米，底是5厘米，高是多少厘米？”通過這種題目的練習，特別是學生在列出算式20×2÷5時，教師一定要反復追問學生：“20×2求的是什么？為什么要先×2？”

五、變化形象萬千，推演圖形計算的真知

我們在出示三角形時，一般都是標準的銳角三角形。在練習中，多數(shù)出現(xiàn)的也是這類看起來比較舒服的三角形。這樣長時間的潛移默化，會讓學生形成三角形就是這樣的感性認識，不利于學生對三角形計算方法的全面掌握。“題有千變，貴在有根”，這是我國著名數(shù)學家陳景潤先生在談起數(shù)學解題時對其學生說過的一句名言。因此，教師在進行三角形面積的計算時，就應該以三角形的面積計算為根，推演出多種變式類型，讓學生在復雜的選項中選出正確的解題方法[2]。

結 語

三角形的面積推導過程實際上是在學生進行操作以后，根據(jù)自己得到的數(shù)據(jù)進行觀察、比較、分析、推理的過程。其中，教師是參與者、引路人，千萬不能成為知識的灌輸者。因此，教師應積極設計教學情境，利用合理的問題引導學生逐步形成對知識的深刻認識。