上海電機學院文理學院 上海 201306

中值定理是《微積分》教學中的重點和難點。首先,中值定理本身內容比較多,也比較抽象。包括連續(xù)函數的介值定理,零點定理;包括微分中值定理里面的羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理;還包括積分中值定理。這些定理各有不同的條件和結論,但是它們有一個共同的特征。其結論均有相似的表述方式:在(a,b)內至少存在一點ξ,使得某個等式成立。即涉及到“中值”的存在性。由此可見,中值定理在含有中值的等式的證明題中有著廣泛的應用。

運用中值定理的證明題,是《微積分》解題中的一個難點。定理的選擇,思路的確定,都需要邏輯嚴密的思考。在具體的解題過程中,需要注意幾個方面,才能得出正確的解題思路。

一、關于函數的構建

運用中值定理,必然需要對某一個函數進行運作,而最后結論中涉及的那個運用了中值定理的函數不一定就是題設中給出的那個函數,因此,函數的構建是至關重要的一個步驟。比如,微分中值定理的結論,都是關于某個函數的導函數的一個等式。因此在運用微分中值定理的題目中,我們可以根據導函數的形式,去構建函數。

例1:設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,且f(a)=f(b)=0,則對于任意常數k,在(a,b)內至少存在一點ξ,使得f'(ξ)=kf(ξ)。

分析:根據題設的條件涉及到端點值相等的信息,考慮羅爾定理。因此,把結論改寫為f'(ξ)-kf(ξ)=0,等號左邊應該與某個函數的導函數有關。根據此導函數的形式,構建函數F(x)=e-kx f(x)。

證明:考慮輔助函數F(x)=e-kx f(x),其中k為任意常數。則因為f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,且f(a)=f(b)=0,所以F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理的條件,所以在(a,b)內至少存在一點ξ,使得F'(ξ)=e-kξf'(ξ)-ke-kξf(ξ)=0。而e-kξ≠0,所以f'(ξ)=kf(ξ)。

例2:設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,則在(a,b)內至少存在一點ξ,使得f(ξ)+ξf'(ξ)=

分析:根據題設的條件,考慮拉格朗日中值定理。又因為結論中出現的端點函數值形式為bf(b)與af(a),導函數形式為f(ξ)+ξf'(ξ),構建函數F(x)=xf(x)。

證明:考慮輔助函數F(x)=xf(x)。則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,所以F(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件,所以在(a,b)內至少存在一點ξ,使得F'(ξ)=。即f(ξ)+

例3:設函數f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內可導,且f(0)=0,若f(x)在[0,1]上不恒為零,則在(0,1)內至少存在一點ξ,使得f(ξ)f'(ξ)>0。

二、關于區(qū)間的選擇

運用中值定理,必然需要在某一個滿足定理條件的區(qū)間上進行使用,因此,區(qū)間的選擇也至關重要。既要與題設相關,又要滿足使用條件,有時還會在不同的區(qū)間上反復使用。

例4:設函數f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內除唯一的一點以外都可導,則在(a,b)內存在點c,d,使得f(b)-f(a)=[kf'(c)+(1-k)f'(d)](b-a),其中k∈(0,1)。

分析:f(x)在[a,b]上不滿足中值定理的條件,因此可以分為兩個小區(qū)間,在滿足條件的區(qū)間上分別使用拉格朗日中值定理。

證明:設f(x)在(a,b)內的不可導點為x0,在[a,x0]和[x0,b]上分別使用拉格朗日中值定理,則存在c∈(a,x0)和d∈(x0,b),使得f(x0)-f(a)=f'(c)(x0-a),f(b)-f(x0)=f'(d)(b-x0)。兩式相加,得到

例5:設函數在[a,b]上三階可導,且f?(x)≠0,證明:f(x)在(a,b)內至多有三個零點。

分析:題目涉及到函數的零點,考慮羅爾定理。又由于涉及到不止兩個零點,考慮在不同的區(qū)間上反復使用羅爾定理。

證明:用反證法。假設f(x)在(a,b)內有四個零點x1,x2,x3,x4,。對f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上分別運用羅爾定理,則存在ξ1∈[x1,x2],ξ2∈[x2,x3],ξ3∈[x3,x4],使得f'(ξ1)=0,f'(ξ2)=0,f'(ξ3)=0。再對f'(x)在[ξ1,ξ2],[ξ2,ξ3]上分別運用羅爾定理,則存在η1∈[ξ1,ξ2],η2∈[ξ2,ξ3],使得f″(η1)=0,f″(η2)=0。接著對f″(x)在[η1,η2]上運用羅爾定理,則存在ζ∈[η1,η2],使得f?(ζ)=0,與f?(x)≠0矛盾。所以f(x)在(a,b)內至多有三個零點。

三、關于定理的選擇

中值定理有很多,雖然表達方式都有關于中值的等式,但是細究還是各有特點。比如介值定理,零點定理是關于函數本身的等式;微分中值定理是關于導函數的等式;積分中值定理是關于積分表達式的等式。仔細分析題設中的等式,可以幫助我們正確選擇運用的定理。

例6:設函數f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,。證明:(1)存在η∈(,1),使得f(η)=η。(2)對于任意常數k,存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1。

分析:題目(1)涉及到關于函數的等式f(η)-η=0,且有區(qū)間端點值的信息,考慮零點定理。題目(2)涉及到關于導函數的等式[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]=0,且有區(qū)間端點值的信息,考慮羅爾定理。

證明(2):考慮輔助函數G(x)=e-kx[f(x)-x]。則G(x)在[0,η]上連續(xù),在(0,η)內可導,且G(0)=e0[f(0)-0]=0,G(η)=e-kη[f(η)-η]=0。由羅爾定理,存在ξ∈(0,η),使得G'(ξ)=e-kξ{[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]}=0。而e-kξ≠0,所以[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]=0。即f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1。

總之,運用中值定理進行證明,首先要熟練掌握各個定理的條件、結論。再根據題設的條件細加分析,注意以上提及的一些問題,這樣才能舉一反三,正確解題。