王朝全，涂建輝，黨文強(qiáng)，崔敬忠

(1.蘭州空間技術(shù)物理研究所， 蘭州 730000；2.真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 蘭州 730000)

0 引言

基于多極線型阱的汞離子微波鐘由于不依賴于龐大、笨重的激光系統(tǒng)使得它重量輕、體積小，并且具有穩(wěn)定度高、漂移率小等特點(diǎn)，非常適合作為新一代星載原子鐘，可用于新一代導(dǎo)航系統(tǒng)、深空探測(cè)等項(xiàng)目[1-2]。1966年H.G.Dehmelt等人首次提出將離子阱技術(shù)應(yīng)用到頻標(biāo)上的想法[3]，并闡述了離子阱微波鐘的概念。世界上第一臺(tái)離子阱微波頻標(biāo)是1981年法國(guó)LHA實(shí)驗(yàn)室的M.Jardion 和C.Audion 在雙曲面Paul離子阱中研制成功的[4]。1989年，美國(guó)噴汽推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(JPL)首次提出用線型阱代替雙曲面阱的方案，開發(fā)出了檢測(cè)區(qū)和共振區(qū)合一的單區(qū)式線型阱并實(shí)現(xiàn)了汞離子的微波頻標(biāo)[5-6]。理論分析表明，對(duì)于相同量級(jí)的二階多普勒效應(yīng)，線型Paul阱可以比雙曲面Paul阱多囚禁20倍的離子[7]。1999年JPL又首次將多極線型阱應(yīng)用到了汞離子微波頻標(biāo)中[8]。與四極阱相比，多級(jí)線型阱等效囚禁勢(shì)相對(duì)較寬并且在很大范圍內(nèi)勢(shì)場(chǎng)平緩，離子云密度較低，離子的相互作用較小，二級(jí)多普勒頻移將更小[9]。目前國(guó)內(nèi)的主要研究單位有中國(guó)科學(xué)院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所、清華大學(xué)、航天五院504研究所等。中科院武漢物數(shù)所研究起步較早，并且對(duì)汞離子微波鐘的研究較為全面[10-11]。2013年他們采用最新研制的延展型線型阱結(jié)構(gòu)，使空間用的汞離子微波鐘的物理部分的體積減小到與銫束管相近。同年底，在國(guó)內(nèi)率先實(shí)現(xiàn)了線型阱囚禁汞離子微波鐘原理樣機(jī)的閉環(huán)鎖定。2014年他們又成功完成了線型阱囚禁汞離子的控制和檢測(cè)，并且觀察到了Ramsey振蕩譜線。

綜上所述，為實(shí)現(xiàn)汞離子微波鐘，線型阱中汞離子囚禁的研究是重要的。首先，線型離子阱幾何結(jié)構(gòu)，特別是桿電極半徑的優(yōu)化得到了研究[12-14]。研究表明，可根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定給出優(yōu)化參量，在一定程度上消除實(shí)際情況下離子囚禁中的非諧勢(shì)以及由此引起的離子微運(yùn)動(dòng)效應(yīng)。多極線型阱中囚禁勢(shì)的對(duì)稱性破缺已經(jīng)得到了實(shí)驗(yàn)證實(shí)，并利用數(shù)值模擬得到了合理解釋，這將進(jìn)一步提高設(shè)計(jì)離子阱中囚禁勢(shì)的合理性。對(duì)多極阱中穩(wěn)定電氣參數(shù)的研究是建立在離子阱幾何結(jié)構(gòu)確定的基礎(chǔ)上的，穩(wěn)定的電氣參數(shù)對(duì)于離子囚禁穩(wěn)定性和粒子運(yùn)動(dòng)軌跡比如微運(yùn)動(dòng)效應(yīng)影響較大。對(duì)于任意確定的離子阱結(jié)構(gòu)或尺寸，尋求與之匹配的穩(wěn)定電氣參數(shù)是必須要研究的。然而，對(duì)于多級(jí)阱而言，由于其囚禁方程的復(fù)雜性，無(wú)法得到穩(wěn)定區(qū)的解析解，只能通過(guò)囚禁方程得到數(shù)值解[9,15]。盡管如此，對(duì)多極阱中電勢(shì)場(chǎng)的數(shù)值分析以及近似贗勢(shì)模型的研究已有相關(guān)報(bào)道[16]。另外，囚禁離子冷卻問(wèn)題是實(shí)現(xiàn)高性能微波鐘必須考慮的，基于碰撞冷卻的緩沖氣體冷卻由于其簡(jiǎn)單可行、不受離子種類和能級(jí)結(jié)構(gòu)的限制在離子阱頻標(biāo)中得到了廣泛研究和應(yīng)用[17-19]。其中，緩沖氣體冷卻汞離子過(guò)程中引進(jìn)的碰撞頻移以及弛豫過(guò)程得到了尤為重要的研究[20-22]。

離子阱離子囚禁的仿真研究目前主要集中在離子阱微波鐘[9,17]、離子阱質(zhì)量分析器[15,23-24]以及基于離子阱的量子模擬等方面。研究方法主要有兩種，一種是基于四階龍科庫(kù)塔方法的Matlab數(shù)值計(jì)算[25]，這種方法計(jì)算較為精確，但是計(jì)算量很高，計(jì)算速度很慢，對(duì)于模擬時(shí)間較長(zhǎng)的離子囚禁并不適用；另一種是基于有限差分網(wǎng)格計(jì)算方法的離子光學(xué)仿真軟件，比如利用Simion軟件或者Comsol軟件來(lái)模擬離子囚禁等[26-27]。研究的離子阱類型主要有雙曲型Paul阱、線型Paul阱、矩形阱等。仿真研究在離子囚禁穩(wěn)定電壓、離子阱系統(tǒng)參數(shù)、離子冷卻條件等方面均對(duì)系統(tǒng)的性能優(yōu)化提供了有效指導(dǎo)[23-27]。盡管如此，目前在離子阱微波鐘方面仿真研究的線型離子阱多為四極阱，其目標(biāo)是為系統(tǒng)搭建提供設(shè)計(jì)支持，仿真研究?jī)H作為系統(tǒng)性能研究的一個(gè)前期準(zhǔn)備工作，而在離子阱質(zhì)量分析器方面仿真研究的離子阱結(jié)構(gòu)多為矩形阱,并不涉及多極阱。目前在離子阱微波鐘系統(tǒng)構(gòu)建層面一般還停留在利用四極阱或者有些涉及到十二極阱，因此其中的仿真研究作為一個(gè)前期工作也僅是針對(duì)四極阱和十二極阱開展?？傊瑢?duì)多極阱，尤其是十六極阱中離子囚禁問(wèn)題的系統(tǒng)性仿真研究還很少有文獻(xiàn)報(bào)道。

本文在1.1節(jié)中首先給出了在多極阱中無(wú)緩沖氣體條件下的離子囚禁理論，然后基于Matlab數(shù)值計(jì)算研究了十六極阱中汞離子囚禁的穩(wěn)定電壓和離子運(yùn)動(dòng)軌跡；在1.2節(jié)中首先給出了緩沖氣體對(duì)離子冷卻的理論，然后基于Matlab數(shù)值計(jì)算研究了緩沖氣體的種類、壓強(qiáng)和溫度等因素對(duì)離子冷卻的影響。在2.1節(jié)中基于Simion軟件仿真研究了十六極阱中不同電氣和幾何參數(shù)下汞離子囚禁的穩(wěn)定電壓和離子運(yùn)動(dòng)軌跡；在2.2節(jié)中基于Simion軟件仿真研究了緩沖氣體的種類、壓強(qiáng)和溫度等因素對(duì)離子冷卻的影響。在第3節(jié)中給出了本文研究的總結(jié)和討論。

1 數(shù)值分析

本節(jié)首先從理論上根據(jù)勢(shì)阱中囚禁勢(shì)滿足的拉普拉斯方程和牛頓第二定律推導(dǎo)出囚禁離子運(yùn)動(dòng)方程以及根據(jù)分子動(dòng)力學(xué)理論推導(dǎo)出緩沖氣體離子冷卻方程。然后利用Matlab分別數(shù)值求解以上方程，根據(jù)所得數(shù)值解研究無(wú)緩沖氣體和有緩沖氣體兩種情況下離子囚禁問(wèn)題。

1.1 簡(jiǎn)單條件下(無(wú)緩沖氣體)離子囚禁

本小節(jié)考慮無(wú)緩沖氣體時(shí)離子囚禁情況。首先根據(jù)勢(shì)阱中囚禁勢(shì)滿足的拉普拉斯方程和牛頓第二定律得出囚禁離子運(yùn)動(dòng)方程，然后依據(jù)該方程利用Matlab數(shù)值求解得出不同參數(shù)下該方程的解，從而研究無(wú)緩沖氣體時(shí)離子囚禁穩(wěn)定區(qū)及離子運(yùn)動(dòng)特征。

1.1.1囚禁離子運(yùn)動(dòng)方程

求解離子阱勢(shì)函數(shù)有多種方法，如復(fù)變函數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)展開、贗勢(shì)模型等[3,12,20,28-30]。在無(wú)窮級(jí)數(shù)展開方法中高階項(xiàng)對(duì)計(jì)算勢(shì)阱的修正將直接影響汞離子的微運(yùn)動(dòng)。盡管如此，實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)電極半徑和阱半徑的比率為某個(gè)值時(shí)高階項(xiàng)修正可以被補(bǔ)償[12]。本文中由于十六極線型阱的囚禁空間是電荷無(wú)源的，因此可以利用求解拉布拉斯方程的方法來(lái)推導(dǎo)十六極阱的勢(shì)函數(shù)，進(jìn)而由牛頓第二定律得出十六極阱中離子的運(yùn)動(dòng)方程。在極坐標(biāo)系下，假設(shè)勢(shì)函數(shù)為Φ(r,θ)，則對(duì)應(yīng)的拉布拉斯方程可以表達(dá)為[9]

(1)

利用分離變量法可以得到方程式(1)的通解為

(2)

式(2)中，A,B,C,D為常數(shù)。對(duì)于十六極阱，若桿電極所加電壓為Φ0=U0-V0cos (Ωt)，其中U0為直流電壓，V0為射頻電壓，則式(1)的邊界條件為

(3)

式(3)中，r0為阱半徑，即阱中心到桿電極表面的距離。將式(3)邊界條件帶入方程式(1)，得到囚禁空間勢(shì)場(chǎng)函數(shù)為

(4)

(5)

(6)

1.1.2第一穩(wěn)定區(qū)及離子運(yùn)動(dòng)

首先利用Matlab編程，采用四階龍科庫(kù)塔方法對(duì)離子運(yùn)動(dòng)方程式(6)進(jìn)行數(shù)值求解，得出汞離子囚禁穩(wěn)定區(qū)并對(duì)在十六極阱中的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行理論研究。此時(shí)，方程式(6)中的m=199×1.67×10-27kg為汞離子質(zhì)量，qe=1.602×10-19，C為汞離子所帶電量。另外，設(shè)置十六極阱中心(原點(diǎn))到桿電極的距離r0=5.0 mm。首先研究十六極阱中離子囚禁的第一穩(wěn)定區(qū)(所加射頻場(chǎng)圓頻率以Ω=3.14 MHz為例)，設(shè)置的穩(wěn)定條件為囚禁時(shí)間大于2 ms。通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到結(jié)果如圖1所示。

圖1 十六極阱中第一穩(wěn)定區(qū)

從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，比較于四極阱和雙曲面型阱中穩(wěn)定區(qū)的特征[9]，十六極阱的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與四極阱中第一穩(wěn)定區(qū)的解析解有著相同的形狀特征，其穩(wěn)定區(qū)都是關(guān)于直流電壓U0=0 V(即a=0)對(duì)稱，而與雙曲面型阱中第一穩(wěn)定區(qū)解析解的形狀有明顯不同。這主要是由于兩種離子阱的結(jié)構(gòu)不同造成的。雙曲面型阱中電極結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性以及所形成勢(shì)場(chǎng)分布的對(duì)稱性在徑向(r方向)和軸向(z方向)兩個(gè)方向上并不相同。而在四極或十六極的線型阱中電極結(jié)構(gòu)對(duì)稱性以及勢(shì)場(chǎng)分布對(duì)稱性在x軸和y軸兩個(gè)方向上是相同的。另外，在圖1中可以看到，這里數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果雖然可以給出第一穩(wěn)定區(qū)的基本輪廓和特征，但并不能得到完美的第一穩(wěn)定區(qū)(即在穩(wěn)定區(qū)輪廓內(nèi)有穩(wěn)定點(diǎn)遺漏)，這是因?yàn)樵谑鶚O阱中穩(wěn)定區(qū)對(duì)參數(shù)的依賴更加敏感，這種敏感性在非解析解的情況下例如數(shù)值計(jì)算或者軟件模擬時(shí)表現(xiàn)的更為突出。圖1中穩(wěn)定區(qū)輪廓內(nèi)的漏點(diǎn)正是對(duì)數(shù)值計(jì)算中的時(shí)間步長(zhǎng)、計(jì)算精度等因素敏感性的體現(xiàn)。因此，由于這種較強(qiáng)的參數(shù)敏感性，實(shí)際中將很難達(dá)到數(shù)值計(jì)算與解析解的完美符合。除此之外，十六極阱的這種參數(shù)敏感性在實(shí)際的物理設(shè)計(jì)中也將表現(xiàn)出來(lái)，例如在實(shí)驗(yàn)中十六極阱對(duì)實(shí)際物理參數(shù)設(shè)計(jì)的偏差容忍度將比四極阱時(shí)小得多或者說(shuō)十六極阱將對(duì)物理參數(shù)的要求更加苛刻。出現(xiàn)這種情況的原因從方程層面講是由于在四極阱中離子運(yùn)動(dòng)方程在x和y方向是獨(dú)立的，而在十六極阱中離子運(yùn)動(dòng)方程在x和y方向并不是獨(dú)立的，而是相互影響的。從物理角度講是由于四極阱中僅存在四極矩勢(shì)場(chǎng)，而在十六極阱中除了四極矩以外還將激發(fā)多極矩勢(shì)場(chǎng)。設(shè)計(jì)中由于有阱形缺陷和囚禁場(chǎng)不純等因素將導(dǎo)致高階非諧勢(shì)的存在，非諧勢(shì)對(duì)囚禁的離子具有加熱效應(yīng)，囚禁離子會(huì)從外界(主要是囚禁場(chǎng))吸收能量使得離子動(dòng)能增加，溫度上升，當(dāng)離子的動(dòng)能增加到大于囚禁場(chǎng)的勢(shì)阱深度時(shí)，離子就會(huì)被拋出阱外。特別是多極阱中的高階非諧勢(shì)對(duì)離子的加熱效應(yīng)更加明顯，且越遠(yuǎn)離阱中心非諧勢(shì)越強(qiáng)，這是十六極阱對(duì)參數(shù)依賴更加敏感的物理原因(高階非諧勢(shì)會(huì)使離子運(yùn)動(dòng)加速、溫度升高，這將導(dǎo)致一方面離子無(wú)法被長(zhǎng)期穩(wěn)定囚禁，另一方面由于離子被加速，會(huì)增大多普勒頻移，而使光譜展寬)。

在十六極阱中的穩(wěn)定區(qū)內(nèi)接著研究汞離子的運(yùn)動(dòng)軌跡。為了方便這里選擇Ω=3.14 MHz時(shí)穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的一對(duì)穩(wěn)態(tài)電壓U0=5 V，V0=400 V情況，將設(shè)定條件帶入方程式(6)，借助Matlab軟件，利用四階龍科庫(kù)塔數(shù)值迭代方法求解得到離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示。本文數(shù)值求解時(shí)的時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)定為10-8s(注：步長(zhǎng)太大會(huì)降低方程的求解精度，步長(zhǎng)太小會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)誤差)。

圖2 第一穩(wěn)定區(qū)內(nèi)離子穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)

從圖2中可以看到，在2 ms內(nèi)離子在x和y方向上的運(yùn)動(dòng)均是穩(wěn)定的，離子的運(yùn)動(dòng)仍然是宏運(yùn)動(dòng)和微運(yùn)動(dòng)的疊加。另外，由于十六極阱中的勢(shì)場(chǎng)分布是一個(gè)多勢(shì)阱震蕩，而四極阱中是單勢(shì)阱震蕩，所以與四極阱相比，十六極阱中隨著時(shí)間離子宏運(yùn)動(dòng)的振幅并不相同，出現(xiàn)的幅值較多，正如這里數(shù)值計(jì)算的結(jié)果即圖2所示。其實(shí)，如果考慮多離子囚禁時(shí)這也表現(xiàn)為兩種阱中的粒子數(shù)分布不同，十六極阱中離子為環(huán)狀分布，而四極阱中離子為球狀分布。另外，由于在十六極阱中囚禁勢(shì)場(chǎng)相對(duì)較寬且在很大范圍內(nèi)勢(shì)場(chǎng)較為平緩，因此在十六極阱中離子微運(yùn)動(dòng)的影響將大大減小，如圖2所示。其實(shí)，對(duì)于線型阱來(lái)說(shuō)極數(shù)越高離子的微運(yùn)動(dòng)就越不明顯。

1.2 復(fù)雜條件下(有緩沖氣體)離子囚禁

本小節(jié)考慮緩沖氣體存在時(shí)離子囚禁情況。首先根據(jù)分子動(dòng)力學(xué)理論建立緩沖氣體對(duì)離子的冷卻模型，推導(dǎo)出緩沖氣體冷卻方程，然后依據(jù)該方程，利用Matlab數(shù)值求解得出不同參數(shù)下該方程的解，從而研究緩沖氣體對(duì)離子的冷卻作用。

1.2.1緩沖氣體冷卻方程

在離子阱中當(dāng)緩沖氣體分子與囚禁離子達(dá)到熱平衡時(shí)，離子和緩沖氣體分子碰撞能量的損失等于離子從電場(chǎng)中得到的能量，單位時(shí)間內(nèi)動(dòng)量改變的大小等于離子受到的電場(chǎng)力大小。此時(shí)離子的速度vm=kmE，其中km是離子遷移率，E為離子所在位置的電場(chǎng)強(qiáng)度。熱平衡狀態(tài)下離子受到緩沖氣體的粘滯阻力Fm與受到的電場(chǎng)力Fq為一對(duì)平衡力，因此離子受到的粘滯力可以表示為[32]

(7)

(8)

1.2.2緩沖氣體冷卻

這里仍然采用四階龍科庫(kù)塔方法進(jìn)行數(shù)值求解，對(duì)緩沖氣體存在情況下的離子運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。首先研究不同種類的緩沖氣體對(duì)離子冷卻的作用。這里分析了Ω=3.14 MHz，U0=-5 V，V0=180 V即穩(wěn)態(tài)點(diǎn)時(shí)緩沖氣體壓強(qiáng)為4.0×10-5Torr，緩沖氣體溫度為0.5 K的氦氣、氖氣和氬氣對(duì)所囚禁汞離子的冷卻情況。假設(shè)緩沖氣體與汞離子的相互作用溫度為800 K，則數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖3所示。圖3(a)，(b)和(c)分別為氦氣、氖氣和氬氣的結(jié)果，實(shí)線表示離子x方向運(yùn)動(dòng)，虛線表示離子y方向運(yùn)動(dòng)。

圖3 不同種類的緩沖氣體對(duì)離子冷卻的作用

從圖3可以看到以上3類緩沖氣體對(duì)離子均有冷卻作用，而且在離子運(yùn)動(dòng)的各個(gè)方向均有冷卻，特別是在相同溫度和壓強(qiáng)下氦氣、氖氣和氬氣的冷卻作用依次增強(qiáng)。這主要是由兩方面決定的，一方面3類氣體中氦氣的分子半徑最小，所以與汞離子的碰撞截面較小，而氬氣分子半徑最大，因此碰撞截面也最大。碰撞截面越大越有利于對(duì)離子的冷卻。然而，另一方面氦氣分子的質(zhì)量最小，而氬氣分子的質(zhì)量最大，根據(jù)緩沖氣體與離子碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒可知，相較于囚禁離子的質(zhì)量，緩沖氣體分子質(zhì)量越小冷卻效果越好。因此圖3中緩沖氣體對(duì)離子的冷卻作用其實(shí)是以上兩方面因素的一個(gè)綜合表現(xiàn)。此外，不同于四極阱的情況，十六極阱中離子被緩沖氣體冷卻后的穩(wěn)態(tài)并不總是在阱中心的原點(diǎn)處，這是因?yàn)槭鶚O阱中存在多個(gè)勢(shì)阱并且繞著原點(diǎn)(阱中心)呈環(huán)狀分布，而四極阱中只存在一個(gè)勢(shì)阱且其中心在原點(diǎn)處，因此在四極阱中被緩沖氣體冷卻后的離子更趨于穩(wěn)定在原點(diǎn)附近。從圖3中還可以看到，離子被不同種類緩沖氣體冷卻后的穩(wěn)態(tài)位置并不相同，這主要是因?yàn)橐环矫?，在十六極阱中存在多個(gè)小勢(shì)阱繞原點(diǎn)分布，當(dāng)離子被冷卻后的動(dòng)能仍大于各個(gè)小勢(shì)阱深度的時(shí)候，離子并不能被某個(gè)小勢(shì)阱囚禁，而僅僅是被整個(gè)離子阱區(qū)域的整體勢(shì)阱囚禁，使得離子無(wú)法逃脫到阱外，仍然被囚禁于阱中，此時(shí)離子將會(huì)在整個(gè)離子阱區(qū)域內(nèi)的各個(gè)勢(shì)阱之間穿梭震蕩，并且震蕩過(guò)程中不斷被緩沖氣體冷卻減速，因此離子運(yùn)動(dòng)速度越來(lái)越小，在不同小勢(shì)阱之間穿梭振蕩的周期越來(lái)越長(zhǎng)，如圖3(a)中虛線所示。若離子在各個(gè)小勢(shì)阱之間穿梭震蕩過(guò)程中，被緩沖氣體冷卻減速到其動(dòng)能小于各個(gè)小勢(shì)阱深度的時(shí)候，離子將被囚禁于某個(gè)小勢(shì)阱中，進(jìn)而被緩沖氣體進(jìn)一步減速最終使得離子在某個(gè)小勢(shì)阱中達(dá)到穩(wěn)態(tài)。另一方面3種緩沖氣體對(duì)離子的冷卻能力不同，因此離子在各個(gè)小勢(shì)阱之間穿梭震蕩過(guò)程中被冷卻減速到動(dòng)能小于各個(gè)小勢(shì)阱深度的位置和時(shí)間也不同，所以離子最終被囚禁的穩(wěn)態(tài)位置也不同。

圖4 緩沖氣體在不同壓強(qiáng)下對(duì)離子的冷卻作用

圖4中實(shí)線表示離子x方向運(yùn)動(dòng)，虛線表示離子y方向運(yùn)動(dòng)。從圖4中看到，由于緩沖氣體的存在，離子的震蕩很快被削弱并穩(wěn)定下來(lái)，并且隨著緩沖氣體壓強(qiáng)的增大冷卻速度和冷卻效果愈加明顯。另外，從圖中可以看到，當(dāng)無(wú)緩沖氣體時(shí)離子的運(yùn)動(dòng)速度不會(huì)被減小，最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為動(dòng)態(tài)穩(wěn)定即離子在多個(gè)勢(shì)阱中周期性穿梭，最終達(dá)到運(yùn)動(dòng)軌跡周期性震蕩穩(wěn)定，此時(shí)離子穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的空間范圍較大。然而當(dāng)沖入緩沖氣體時(shí)離子的運(yùn)動(dòng)速度很快被減小，最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將趨于靜態(tài)穩(wěn)定即離子最終被囚禁在某一個(gè)小勢(shì)阱中，此時(shí)離子穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的空間范圍較小。因此，在十六極阱中緩沖氣體起著減小粒子運(yùn)動(dòng)速度和壓縮離子空間運(yùn)動(dòng)范圍作用。

下面作者進(jìn)一步研究了不同緩沖氣體溫度對(duì)離子冷卻的影響，這里分別以氦氣和氖氣為例(壓強(qiáng)均為4.0×10-5Torr)。氦氣情況時(shí)數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖5所示，圖5(a)和(b)分別為溫度0.8 K和0.5 K時(shí)的結(jié)果；氖氣情況時(shí)數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖6所示，圖6(a)和(b)分別為溫度1.5 K和0.5 K時(shí)的結(jié)果。在圖5和圖6中實(shí)線表示離子x方向運(yùn)動(dòng)，虛線表示離子y方向運(yùn)動(dòng)。

圖5 氦氣在不同緩沖氣體溫度下對(duì)離子冷卻

從圖5(a)中可以看到當(dāng)緩沖氣體溫度比較高時(shí)離子受到緩沖氣體的冷卻作用使得在不同小勢(shì)阱間穿梭的周期變長(zhǎng)。盡管如此，離子仍然通過(guò)在不同的小勢(shì)阱間震蕩穿梭達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時(shí)并沒(méi)有被囚禁在單一勢(shì)阱中。然而隨著溫度進(jìn)一步降低，離子將很快被囚禁在單一小勢(shì)阱中如圖5(b)所示。從圖6中可以看到緩沖氣體的溫度越低對(duì)離子的冷卻作用越強(qiáng)，因?yàn)榈蜏囟鹊木彌_氣體與囚禁離子發(fā)生碰撞，當(dāng)兩者之間達(dá)到熱平衡的穩(wěn)態(tài)后離子的溫度將會(huì)被降低，離子運(yùn)動(dòng)的速度將會(huì)被減小。因此，溫度越低的緩沖氣體越能更快地減慢離子的運(yùn)動(dòng)速度從而達(dá)到穩(wěn)態(tài)。

圖6 氖氣在不同緩沖氣體溫度下對(duì)離子冷卻

2 仿真模擬

在這一部分中作者利用仿真模擬的方法研究了十六極阱中汞離子囚禁的相關(guān)問(wèn)題。研究手段主要是借助于Simion電磁仿真軟件以及LUA編程對(duì)十六極阱中離子囚禁的過(guò)程進(jìn)行建模并對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析。

2.1 第一穩(wěn)定區(qū)及離子運(yùn)動(dòng)模擬

首先模擬十六極阱中離子囚禁的第一穩(wěn)定區(qū)以及不同條件下第一穩(wěn)定區(qū)的變化。下面分別給出了阱的不同電氣參數(shù)(以電極射頻頻率為例)和不同幾何參數(shù)(以阱半徑為例)情況下對(duì)第一穩(wěn)定區(qū)的模擬。模擬結(jié)果如下：當(dāng)r0=5.0 mm時(shí)不同射頻頻率下第一穩(wěn)定區(qū)模擬如圖7所示，圖7(a)和(b)分別為Ω=3.14 MHz和Ω=2.44 MHz時(shí)的結(jié)果；當(dāng)Ω=1.74 MHz時(shí)不同阱半徑下第一穩(wěn)定區(qū)模擬如圖8所示，圖8(a)和(b)分別為r0=5.0 mm和r0=8.5 mm時(shí)的結(jié)果。

圖7 不同電氣參數(shù)時(shí)第一穩(wěn)定區(qū)比較

從圖7和圖8中可以看到，隨著頻率和阱半徑的減小，第一穩(wěn)定區(qū)將變小，并且直流和射頻電壓的幅度都將減小，但是仍保持穩(wěn)定區(qū)的形狀不變，其穩(wěn)定區(qū)特征與第1節(jié)中數(shù)值分析所得結(jié)果一致。盡管如此，在同一個(gè)穩(wěn)定區(qū)內(nèi)，隨著射頻電壓變大穩(wěn)定區(qū)的模擬逐漸開始出現(xiàn)穩(wěn)定漏點(diǎn)，導(dǎo)致穩(wěn)定區(qū)輪廓逐漸變得不再清晰，甚至出現(xiàn)了失真，這也是十六極阱中離子囚禁參數(shù)敏感性在仿真軟件模擬精度上的體現(xiàn)。

圖8 不同幾何參數(shù)時(shí)第一穩(wěn)定區(qū)比較

然后作者模擬了十六極阱中汞離子的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)以及非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。這里選擇Ω=3.14 MHz時(shí)第一穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的穩(wěn)定點(diǎn)U0=-7 V，V0=1 240 V的情況，其模擬結(jié)果如圖9所示，圖9(a)為x方向運(yùn)動(dòng)結(jié)果,圖9(b)為y方向運(yùn)動(dòng)結(jié)果。另外，選擇穩(wěn)定區(qū)外的一點(diǎn)U0=-140 V，V0=1 240 V作為非穩(wěn)定點(diǎn)，模擬此時(shí)離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，其模擬結(jié)果如圖10所示，實(shí)線表示離子x方向運(yùn)動(dòng)，虛線表示離子y方向運(yùn)動(dòng)。

圖9 十六極阱中汞離子的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)模擬

圖10 十六極阱中汞離子的非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)模擬

從圖9中可以看到，這里模擬的離子穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的軌跡特征與第1節(jié)中數(shù)值分析所得結(jié)果一致，這里不再贅述。從圖10中可以看到離子非穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了3個(gè)階段即隨著時(shí)間演化離子逐漸從存在微運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，到微運(yùn)動(dòng)消失狀態(tài)，最終到離子逃離狀態(tài)。此外，十六極阱中離子運(yùn)動(dòng)在x和y兩個(gè)方向上的穩(wěn)定性是關(guān)聯(lián)的，一旦在某個(gè)方向上不穩(wěn)定，很快將導(dǎo)致在另一個(gè)方向上也不穩(wěn)定，兩個(gè)方向上的不穩(wěn)定幾乎同時(shí)出現(xiàn)，如圖10所示，原因是十六極阱中離子在x和y兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)方程是不獨(dú)立的，這與四極阱情況不同。

2.2 緩沖氣體冷卻模擬

圖11 不同種類的緩沖氣體對(duì)離子冷卻

接著作者模擬了緩沖氣體在不同壓強(qiáng)和溫度下對(duì)囚禁離子的冷卻，緩沖氣體以氦氣為例。當(dāng)緩沖氣體溫度Tgas=0.1 K時(shí)不同壓強(qiáng)下緩沖氣體對(duì)離子冷卻的模擬結(jié)果如圖12所示，其中L1線、L2線和L3線分別相應(yīng)于緩沖氣體壓強(qiáng)為Pgas=3.0×10-5Torr，Pgas=7.0×10-5Torr和Pgas=2.0×10-4Torr的情況。與之對(duì)應(yīng)的離子三維運(yùn)動(dòng)模擬如圖13所示。模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)緩沖氣體壓強(qiáng)較小時(shí)，離子運(yùn)動(dòng)很快變得不再穩(wěn)定進(jìn)而逃離囚禁區(qū)域，如圖12中L1線及圖13(a)所示。隨著壓強(qiáng)增大離子將被囚禁在了十六極阱勢(shì)場(chǎng)中的多個(gè)子勢(shì)阱中，各個(gè)子勢(shì)阱繞十六極阱中心呈環(huán)狀分布，離子將在各個(gè)子勢(shì)阱間穿梭達(dá)到穩(wěn)態(tài)，如圖12中L2線及圖13(b)所示。如果進(jìn)一步增大壓強(qiáng)，離子將進(jìn)一步被冷卻，直至離子僅被囚禁在了十六極阱勢(shì)場(chǎng)中的單一子勢(shì)阱中，如圖12中L3線及圖13(c)所示。

圖12 緩沖氣體在不同壓強(qiáng)下對(duì)離子冷卻

圖13 緩沖氣體在不同壓強(qiáng)下對(duì)離子冷卻的三維運(yùn)動(dòng)

當(dāng)緩沖氣體壓強(qiáng)Pgas=5.0×10-5Torr時(shí)不同溫度下緩沖氣體對(duì)離子冷卻的模擬結(jié)果如圖14所示，其中L1線、L2線和L3線分別相應(yīng)于緩沖氣體溫度為Tgas=0.2 K，Tgas=0.05 K和Tgas=0.01 K的情況。與之對(duì)應(yīng)的離子三維運(yùn)動(dòng)模擬如圖15所示。從圖14和15中可以看到，隨著緩沖氣體溫度的降低，離子的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了和緩沖氣體壓強(qiáng)增大時(shí)類似的特征，此處不再贅述。綜上所述可知，此處對(duì)十六極阱中不同緩沖氣體壓強(qiáng)和溫度條件下的離子運(yùn)動(dòng)模擬得到了和第1節(jié)數(shù)值分析時(shí)相同的結(jié)論。

圖14 緩沖氣體在不同溫度下對(duì)離子冷卻

圖15 緩沖氣體在不同溫度下對(duì)離子冷卻的三維運(yùn)動(dòng)

3 結(jié)語(yǔ)

作者分別從數(shù)值分析和仿真模擬兩個(gè)角度研究了無(wú)緩沖氣體情況下十六極阱中汞離子囚禁的第一穩(wěn)定區(qū)、離子運(yùn)動(dòng)軌跡等，以及復(fù)雜條件下緩沖氣體種類、緩沖氣體壓強(qiáng)和緩沖氣體溫度等因素對(duì)離子冷卻的影響。通過(guò)筆者的研究得到了十六極阱中汞離子囚禁的某些動(dòng)力學(xué)以及運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，同時(shí)得到了十六極阱的幾何參數(shù)、電氣參數(shù)以及環(huán)境參數(shù)的設(shè)計(jì)要點(diǎn)?？偨Y(jié)得到了與四極阱情況不同的一些特征，例如十六極阱離子囚禁中離子運(yùn)動(dòng)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)特別敏感、離子阱內(nèi)勢(shì)場(chǎng)平坦粒子數(shù)密度低等。理論分析表明，與四極阱相比產(chǎn)生以上不同的根本原因是在多極阱中勢(shì)場(chǎng)分布不同，其直接原因是在多極阱中離子運(yùn)動(dòng)方程高階項(xiàng)的存在以及兩個(gè)方向上運(yùn)動(dòng)方程的非獨(dú)立性?？傊?，通過(guò)對(duì)十六極阱中離子囚禁技術(shù)的研究使作者掌握了多極阱中離子囚禁的多方面特征，例如十六極阱離子囚禁與四極阱有相同的第一穩(wěn)定區(qū)特征、隨著頻率和阱半徑的減小第一穩(wěn)定區(qū)將變小、離子的微運(yùn)動(dòng)相對(duì)較弱且離子穩(wěn)態(tài)震蕩幅值較多、離子運(yùn)動(dòng)在x和y兩個(gè)方向上的穩(wěn)定性是關(guān)聯(lián)的，兩個(gè)方向上的不穩(wěn)定幾乎同時(shí)出現(xiàn)、在相同溫度和壓強(qiáng)下氦氣、氖氣和氬氣對(duì)離子的冷卻作用依次增強(qiáng)、不同種類緩沖氣體或不同壓強(qiáng)下離子最終被囚禁的穩(wěn)態(tài)位置也不同、緩沖氣體壓強(qiáng)越大溫度越低對(duì)離子的冷卻能力越強(qiáng)等。優(yōu)化離子囚禁的穩(wěn)定電壓直接關(guān)系到離子能否被穩(wěn)定囚禁或者囚禁離子的壽命，優(yōu)化離子阱中離子的分布可以提高光抽運(yùn)和信號(hào)檢測(cè)效率或者減小離子與微波作用時(shí)的二階多普勒頻移，優(yōu)化離子運(yùn)動(dòng)軌跡可以減小由于離子微運(yùn)動(dòng)造成的加熱效應(yīng)，優(yōu)化緩沖氣體冷卻條件可以在實(shí)現(xiàn)對(duì)離子有效冷卻的前提下盡可能減少帶來(lái)的額外碰撞頻移。總之，通過(guò)研究作者可以從離子囚禁系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)角度提高微波鐘的性能指標(biāo)，最終為基于多極線型阱的汞離子微波鐘實(shí)現(xiàn)提供理想的離子囚禁系統(tǒng)。