韋珍

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn).有些競(jìng)賽題從表面上看不是一元二次方程的問(wèn)題，但是通過(guò)轉(zhuǎn)化、變換，可以構(gòu)造一元二次方程，并借助已熟悉的一元二次方程的知識(shí)及解題技巧，達(dá)到化難為易進(jìn)而解決問(wèn)題.下面以四道競(jìng)賽題為例，介紹構(gòu)造一元二次方程的幾種方法.

一、以根定義 巧構(gòu)方程

例1 已知實(shí)數(shù) ，且滿(mǎn)足 ， ，則 .

分析 乍看這道題，好像要分別求出 和 ，若求 ，計(jì)算量非常大。我們只要將這兩個(gè)方程各自整理成一般式，再觀(guān)察所得的兩個(gè)方程的系數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，其本質(zhì)上為同一個(gè)方程.

解 由已知得： 為方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即為 的實(shí)數(shù)根；

所以 ， ，可得：

所以，原式=

= .

二、二元禮讓 巧構(gòu)方程

例 2 已知 都是整數(shù)，且 ， ，求 的值.

分析 以上組合是三元二次方程組，若是直接求 的值，難度較大，不妨通過(guò)消元，整理成一個(gè)二元二次方程，再將其看成關(guān)于 的一元二次方程.

解 由 得 ；

將 代入 ，得： ；

整理得： ；

解得： ；

∵ 都是整數(shù)，

∴ 是完全平方數(shù)4；

∴ 只能取 ； ； ； ；

∴相對(duì)應(yīng) 4；0；4；0；

故 5或-1或3或-3.

三、用判別式 巧構(gòu)方程

例3 已知： 是完全平方式.求證： .

分析 題目中的完全平方式出現(xiàn)了四個(gè)字母，要直接應(yīng)用它來(lái)證 ，相當(dāng)難，但若將已知條件轉(zhuǎn)化成“關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，此題就非常簡(jiǎn)單了.

證明 把已知代數(shù)式整理成關(guān)于 的二次三項(xiàng)式，得

原式= ，①

∵它是完全平方式，

∴關(guān)于 的一元二次方程 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

∴△=0.

即 .

整理得：

∴ ，

∴ .

要使等式成立，必須且只需： ，解得 .

四、根與系數(shù) 巧構(gòu)方程

例4 已知實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足： ，（1）求 中的最大者的最小值；（2）求 的最小值（2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）.

分析 從形式上看，容易聯(lián)想到可以轉(zhuǎn)化為兩數(shù)和與兩數(shù)積的形式，這樣就可以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造一元二次方程來(lái)求解.

解 （1） 設(shè) 是最大者，由 ，可知 ，并可化為 ， 由 可化為 ，因此，實(shí)數(shù) 可以看作關(guān)于 的一元二次方程 的兩個(gè)根，由 是實(shí)數(shù)，所以 ，得：

，即 ， ，因c>0，

所以c+2>0，得（c-2）（c-4）≥0，解得：c≤2或c≥4，因?yàn)閏是最大者，故c的最小值是4..

（2） 因?yàn)?，

所以 .

故： 的最小值是6.