龍新榮

摘要：二面角的問題是高考中常見的內(nèi)容，直接求二面角的度數(shù)或求二面角的某個(gè)三角函數(shù)值，或證明兩個(gè)平面垂直等等，我們都知道求二面角的基本方法有定義法、垂面法、三垂線法，但在具體題目中我們很難找到兩個(gè)平面所成的二面角的平面角，現(xiàn)在讓我們看看在解題中怎樣解決這類問題。

關(guān)鍵詞：二面角 平面角 ⊥（垂直）

在求兩個(gè)平面所成的二面角時(shí)，我們習(xí)慣性的的立馬在腦子里就想著找到二面角的平面，結(jié)越陷越深，時(shí)間浪費(fèi)很多，猛然回頭才發(fā)現(xiàn)原來是這樣。

例如，如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.

（1）求二面角A?PD?C的平面角的度數(shù)；

（2）求二面角B?PA?D的平面角的度數(shù)；

（3）求二面角B?PA?C的平面角的度數(shù).

分析：于我的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)（1）題就想怎樣在線段PD上找一點(diǎn)作A-PD-C的平面角，結(jié)果弄了很長時(shí)間那個(gè)點(diǎn)很難確定，想了好久，我們也很容易得到CD⊥PD，但AD根本不會(huì)和PD垂直，突然發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)平面所成的二面角是個(gè)特殊的直二面角，只要推出平面PAD垂直于平面PDC即可；對(duì)于（2）、（3）我們不難發(fā)現(xiàn)他們的二面角的平面角在圖形上直接能找到，第（2）∠BAD就是B-PA-D的平面角，∠BAC就是B-PA-C的平面角，這樣問題就快速的解決了！

解：（1）∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥CD，又∵四邊形ABCD是正方形

∴AD⊥CD，又∵PA，AD 平面PAD，且PA∩AD=D

∴CD⊥平面PAD，CD 平面PCD

∴平面PCD⊥平面PAD

∴二面角A-PD-C是直二面角

（2）PA⊥平面ABCD

∴BA⊥PA，DA⊥PA，∴∠BAP是二面角B-PA-D的平面角

又∵∠BAP=90°

∴二面角B-PA-D=90°

（3）由（2）知∠BAC是二面角B-PA-C的平面角=45°

有些題目中雖然二面角在圖形中已存在但需要我們經(jīng)過證明才能確定二面角的平面角，而且證明過程還比較麻煩。

例如，如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，三角形PAD為正三角形垂直平面ABCD， G為AD的中點(diǎn)，

求二面角A-BC-P 的大小。

分析：此題二面角的平面角就是∠PBG二面角

的平面角，它是平面ABCD和平面PBC所成的二面角

的平面角，但是要推出∠PBG二面角A-BC-P的平面

不容易。

解：∵三角形PAD為正三角形，G為AD中點(diǎn)，

∴PG⊥AD，又∵四邊形ABCD為菱形

∴BC⊥PG

∵∠DAB=60°，菱形邊長為a

∴GB =（ a） +a -2× a×acos60°

∴GB= a

AG +BG =AB ，∴三角形ABG為直角三角形，即BG⊥AD

又∵PG，BG 平面PGB，且PG∩BG=B

∴AD⊥平面PGB，即BC⊥平面PBG

∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角

又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD

∴PG⊥GB，△PGB為直角三角形。PG=BG

∴A-BC-P=45°

有時(shí)在題目的圖形中并沒有給出二面角的平面角，這時(shí)需要我們自己去構(gòu)造二面角的平面角，怎樣去構(gòu)造平面角的二面角就比較困難了，在兩個(gè)半平面內(nèi)看看兩個(gè)半平面是不是有公共底的等腰三角形，如果是則作這條公共底的中線或高或者作兩三角形點(diǎn)角的平分線就可以構(gòu)造出二面角的平面角，從而使問題得以解決！如下面的題：

例1.如圖所示，把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD=AC，求二面角C?BD?A的余弦值.

解：取AB中點(diǎn)O，連接OD、OC，取BD的中點(diǎn)E，連接CE、OE.

則有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C?AB?D的平面角.

設(shè)AC=a，則OC=OD=22a.

又CD=AD=AC，∴CD=a，

∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°∴OC⊥平面ABD

∵△BCD為正三角形，∴CE⊥BD.

又△BOD為等腰直角三角形，∴OE⊥BD.

∴∠OEC為二面角C?BD?A的平面角.

又∵OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE.

∴△COE為直角三角形.

∵BC=a，則CE=32a，OE=12a.

∴cos∠OEC=OECE=33.

例2.已知Rt △ABC，斜邊BC?α，點(diǎn)A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABC=30°，∠ACO=45°，求二面角A?BC?O的大小.

解析：如圖所示，在平面α內(nèi)，過O作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.

設(shè)OC=a，∵AO⊥α，BC?α，

∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD.

而AD?平面AOD，

∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A?BC?O的平面角.

由AO⊥α，OB?α，OC?α知AO⊥OB，AO⊥OC.

又∠ABO=30°，∠ACO=45°，

∴AO=a，AC=2a，AB=2a.

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴BC=AC2+AB2=6a，

∴AD=AB·ACBC=2a·2a6a=233a.

在Rt△AOD中，sin∠ADO=AOAD=a233a=32.

∴∠ADO=60°，即二面角A?BC?O的大小是60 °.

求二面角的大小關(guān)鍵是作出二面角，作二面角的平面角的方法：

1.（定義法） 在二面角的棱上找一特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.

2.（垂直法） 過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.

3.（垂線法） 過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角.

在解題時(shí)我們要會(huì)在立體圖形中靈活尋找二面角的平面角，利用線面的垂直關(guān)系，線線垂直，勾股定理及逆定理，來尋求垂直關(guān)系，找到二面角的平面角，從而解決問題！