王強善

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)多年后，把數(shù)學(xué)知識忘掉后，剩下的忘不掉的東西。荷蘭數(shù)學(xué)教育家費賴登塔爾說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法在于再創(chuàng)造。”基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)設(shè)計就是教師對數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，再創(chuàng)造的宗旨是對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的藝術(shù)呈現(xiàn)。本文著重談教師在基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行的課堂教學(xué)設(shè)計上的再創(chuàng)造，即基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)設(shè)計策略。

一、對基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)設(shè)計的幾個認識

1.課堂教學(xué)設(shè)計的重心：教學(xué)的重心就是設(shè)計的重心，教學(xué)設(shè)計是為教學(xué)服務(wù)的，教學(xué)設(shè)計是為了引領(lǐng)教學(xué)，不是為設(shè)計而設(shè)計。不論教學(xué)的重心還是設(shè)計的重心都在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上。

2.課堂教學(xué)設(shè)計的靈魂：教學(xué)的價值取向就是教學(xué)設(shè)計的靈魂，也就是思考并解決：我們?yōu)槭裁炊蹋痰哪繕?biāo)。在教學(xué)中是“為什么教”而決定著“教什么，怎么教”。

教學(xué)的價值，首先是教給學(xué)生知識，知識是基礎(chǔ)。但有比知識更重要的東西，是核心素養(yǎng)（也稱思想）。數(shù)學(xué)知識的掌握是暫時的，時間久了可能遺忘。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的影響是持久的，跟隨學(xué)生一生，核心素養(yǎng)是更高層次的知識，核心素養(yǎng)比知識更養(yǎng)人。教學(xué)必須從知識出發(fā)，但又必須追求核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)是能力的核心，只有核心素養(yǎng)才能把知識轉(zhuǎn)化為能力。

數(shù)學(xué)有哪些能力？數(shù)學(xué)的五個基本能力：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力。升華到一般能力：提出、分析和解決問題的能力，獨立獲取知識的能力。進而發(fā)展到更高層次的能力：應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，內(nèi)化為核心素養(yǎng)。

教學(xué)的主要任務(wù)是提升核心素養(yǎng)，培養(yǎng)能力，以及形成一般能力和更高層次的能力，學(xué)校教育、學(xué)科教學(xué)都是為了發(fā)展和完善人，這是教育教學(xué)的終極使命。于是課堂教學(xué)的價值取向發(fā)展形成了一個序列：知識→核心素養(yǎng)→基本能力→一般能力和更高層次的能力→人的發(fā)展和完善。

3.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計要有立意、有創(chuàng)意、有主題、有思想，教學(xué)設(shè)計高立意：對知識重新組裝，對思想再提煉，為內(nèi)化核心素養(yǎng)搭建平臺，為培養(yǎng)能力尋找載體。

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實施要低起點，教師要體現(xiàn)三大基本功：善于舉例、善于提問、善于比較與優(yōu)化，課堂教學(xué)設(shè)計與實施的藝術(shù)是使學(xué)生喜歡教師所教的東西，點燃學(xué)生的思維火花，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，變數(shù)學(xué)冰冷的美麗為火熱的思考，讓學(xué)生有喜歡的方向，并走下去。

二、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計策略

數(shù)學(xué)課型可分為概念課、公式定理課、方法訓(xùn)練課、試卷講評課。各類課不同程度、不同側(cè)重地蘊含著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要教師在教學(xué)設(shè)計與實施中不同程度、不同側(cè)重地凸顯“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理”等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一） 凸顯核心素養(yǎng)“數(shù)據(jù)分析”的教學(xué)設(shè)計策略

數(shù)學(xué)是與數(shù)據(jù)打交道的學(xué)科，數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)據(jù)、數(shù)字的敏感度。核心素養(yǎng)“數(shù)據(jù)分析”可以在概念課、公式定理課的教學(xué)設(shè)計中凸顯，尤其是在設(shè)計“讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式、定理的場景”中凸顯。

案例1-1：設(shè)計場景，讓學(xué)生以“數(shù)據(jù)分析”為工具發(fā)現(xiàn)公式。

在“兩角和與差的余弦”一課的教學(xué)中，在復(fù)習(xí)三角函數(shù)定義及有關(guān)知識后，提出一個問題，不查表求cos（-435°）的值。學(xué)生利用誘導(dǎo)公式不難得到cos（-435°）=cos75°，到了這一步后，學(xué)生束手無策，此時老師的引導(dǎo)至關(guān)重要，于是設(shè)計提出以下問題：

（1）75°能否寫成兩個特殊角的和或差的形式？（75°=45°+30°或75°=120°-45°）

（2）能否猜測75°、45°、30°余弦的一個關(guān)系式，它們成立嗎？

（猜測cos75°=cos（45°+30°）= cos45°+cos30°或cos45°- cos30°或cos45°·cos30°，它們都不成立。）

（3）cos（45°+30°）與45°、30°的三角函數(shù)值有關(guān)系嗎？到底有什么關(guān)系？ 一般地，cos（α+β）能否用單角α和β的三角函數(shù)來表示？這里的困難是75°的三角函數(shù)值還不會算，下面我們先研究α、β、α+β的三角函數(shù)值都會計算的情形。

（4）分別寫出cos（60°+30°）、cos60°、sin60°、cos30°、sin30°的值，并把0用、、、表達出來；類似地寫出cos（60°+60°）、cos60°、cos60°、sin60°、sin60°的值，并把-用、、、表達出來；類似地寫出cos（120°-60°）、cos120°、sin120°、cos60°、sin60°的值，并把用-、、、表達出來。

由上可得，0=×-×即cos（60°+30°）=cos60°×cos30°-sin60°×sin30°。又=-×+×，即cos（120°-60°）=cos120°·cos60°+sin120°·sin60°

（5）把cos（α+β）用cosα、sinα、cosβ、sinβ表達出來，提出猜測（猜想cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ）

至此，以“數(shù)據(jù)分析”為工具學(xué)生獨立地發(fā)現(xiàn)了公式，學(xué)生不是被動地接受知識，而是通過對知識的主動探索，主動發(fā)現(xiàn)和主動建構(gòu)的過程，內(nèi)化了“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)。課堂教學(xué)中展示老師想法的同時也要充分展示學(xué)生的所想、所思。這里把75°=45°+30°，換成90°=60°+30°，120°=60°+60°，60°=120°-60°的教學(xué)設(shè)計中角度的重新選擇，就是為了鋪平學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的道路。美國教育學(xué)家杜威說過：“教學(xué)決不僅僅是一種簡單的告訴，教學(xué)應(yīng)該是一種經(jīng)歷、一種體驗、一種感悟。”教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授，而在于激勵、喚醒和鼓勵，這是教學(xué)的本質(zhì)。這里的苦心設(shè)計就是要讓學(xué)生自己把公式找出來。公式是學(xué)生在老師設(shè)計的條件下、設(shè)計的情景中發(fā)現(xiàn)的，不是老師講出來的?？涿兰~斯說過“要找到一種方法，教師可以少教，學(xué)生可以多學(xué)。”這里的教學(xué)教師講得少，學(xué)生體驗多，核心素養(yǎng)內(nèi)化多。教學(xué)中即使是“假發(fā)現(xiàn)”，也好于單向灌輸，發(fā)現(xiàn)的過程就是深刻理解、接近本質(zhì)的過程。發(fā)現(xiàn)的場景、條件需要教師深入的鉆研、挖掘。

案例1-2：利用數(shù)字拆分發(fā)現(xiàn)不等式，提升數(shù)字敏感度。

數(shù)字的拆分1：把10分為兩個正數(shù)，再計算它們的乘積，比較不同的乘積，提出一個結(jié)論（即不等式：兩個正數(shù)的和一定時，兩個正數(shù)越接近，它們的乘積越大，從而得到了不等式序列：1×9<2×8<3×7<4×6<5×5。從而：當(dāng)兩個數(shù)的和一定時，它們的乘積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩個數(shù)相等的時候。

數(shù)字的拆分2：把10分為兩個正數(shù)，再計算這兩個正數(shù)算術(shù)根的和，比較不同的和，提出一個結(jié)論。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)字的變換拆分，在數(shù)字的變換拆分中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論，經(jīng)歷公式的提出過程，學(xué)生的數(shù)據(jù)素養(yǎng)大大提高。說不定學(xué)習(xí)后不經(jīng)意的再琢磨，提出一個結(jié)論，發(fā)現(xiàn)一個定理。

（1）10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

（2）由+﹤+猜想：﹤+﹤+﹤+﹤+﹤+

（3）一般地：若a+b=m+n，a、b、m、n∈R+，若|a-b|﹤|m-n|，則+﹥+。

案例1-3：賦予數(shù)據(jù)特殊的含義，設(shè)計幫助學(xué)生理解、記憶的情景。

只有理解了的東西，才能深刻感知它。只有深刻感知才能理解和記憶。數(shù)學(xué)中很多東西是需要學(xué)生記憶的，教師要讓學(xué)生記憶的數(shù)據(jù)、數(shù)字“有料、有情、有味道”。

（1）1rad=（）°≈57.3。

情景：1弧度，57.3度，1573啊。

（2）1°=rad≈0.01745rad

情景：現(xiàn)在大家記憶弧度換算公式，需要安靜，如果有人一度（1°）想胡動（弧度），動動（0.0）可要（1）氣（7）死（4）我（5）?。?745）。

（3）π=3.1415926……

情景：山巔一寺（3.14）一壺酒（159），爾樂（26）苦殺吾……

案例1-4：“借”數(shù)發(fā)力，設(shè)計解題方法的自然形成過程。

武打里有借力打力，數(shù)學(xué)上有借數(shù)發(fā)力。如：1，3，7，15，31……的一個通項公式（各項加1后得到數(shù)列2，4，8，16，32，64，……它的一個通項公式為an=2n，所以原數(shù)列通項公式為an=2n-1），這就是“借”數(shù)發(fā)力，“借”數(shù)后解題方法自然形成。

（二）凸顯核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”的教學(xué)設(shè)計策略

案例2-1：從生活、生產(chǎn)實踐中提出問題，讓學(xué)生在經(jīng)歷生產(chǎn)生活實際問題的“數(shù)學(xué)抽象”過程中，經(jīng)歷公式的提出過程。

生活常識：鹽水加鹽變咸，糖水加糖變甜。若現(xiàn)有a克糖水含b克糖，向糖水溶液中加糖c克，則﹥（a﹥b﹥0，c﹥0）

案例2-2：尋找數(shù)學(xué)抽象后得到的結(jié)論（公式、定理等）生成的載體，使數(shù)學(xué)抽象與具體模型（圖形）融合，注重具體模型與數(shù)學(xué)抽象二者之間的溝通。如：三角形里a=bCOSC+cCOSB，利用△ABC中BC邊上作高，很容易得到，結(jié)論也容易在學(xué)生頭腦中生根。

案例2-3：利用具體模型（圖形）推導(dǎo)數(shù)學(xué)抽象后得到的結(jié)論，讓數(shù)學(xué)結(jié)論及數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)因具體模型而生動形象。如Sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ的推導(dǎo)，可利用在直角三角形中：斜邊×銳角余弦=鄰邊，斜邊×銳角正弦=對邊，那么：sinαcosβ是斜邊為sinα，有一銳角為β的Rt△中β角的鄰邊。Sinαcosβ也可看成斜邊為cosβ，有一銳角為α的Rt△中α角的對邊（這里考慮α、β都是銳角的情形）。

（三）凸顯核心素養(yǎng)“邏輯推理”的教學(xué)設(shè)計策略

案例3-1：邏輯推理也需要形象思維啟發(fā)，發(fā)掘和運用原形圖（啟發(fā)模型）很重要。如：三角形的內(nèi)角和定理的探尋與證明。

（1）三角形三內(nèi)角和是多少？學(xué)生人人準備一個三角形紙板，引導(dǎo)學(xué)生剪下兩個角，與剩下的角拼在一起，容易發(fā)現(xiàn)，三角形內(nèi)角和為180。。

（2）如何證明呢？觀察三個內(nèi)角拼在一起的圖形，易得定理的證明方法：延長BA至A′，過A作AD//BC，則∠DAA′=∠B， ∠DAC=∠C，由∠DAA′+∠DAC+∠CAB=180°，得∠B+∠C+∠CAB=180°。

這是多么自然的規(guī)律，多么自然的證明啊，把三個內(nèi)角剪拼在一起的過程就是輔助線的生成過程。

案例3-2：邏輯思維中思維導(dǎo)圖（思維的印跡、程序）本身也是極好的邏輯思維訓(xùn)練素材。思維導(dǎo)圖是另一種形象思維，建立在思維導(dǎo)圖上的邏輯推理學(xué)生更容易接受、更容易不被忘記。以下四個圖形是兩角差的正、余弦公式證明的思路流程。

圖1中：AB=sinβ，OB=cosβ。

圖2中：BE=OB·sinα=cosβ·sinα，OE=OB·cosα=cosβ·cosα。

圖3中：AH⊥BE于H，∠ABH=α。

BH=BA·cosα=sinβ·cosα，AH=AB·sinα=sinβ·sinα。

圖4中：AF⊥x軸于F，F(xiàn)A=sin（α-β），OF= cos（α-β）。

又OF= OE+HA=cosβ·cosα+ sinβ·sinα，

AF= BE-BH= cosβ·sinα- sinβ·cosα。

從而得到：cos（α-β）=cosαcosβ+ sinαsinβ，sin（α-β）= sinαcosβ- cosαsinβ。

實際上以上四個推導(dǎo)公式的圖形依序全部呈現(xiàn)給學(xué)生，比單獨僅呈現(xiàn)第四個圖形（最后一個圖形），對學(xué)生掌握公式推導(dǎo)思路效果好得多，因為從圖1到圖4呈現(xiàn)的是推導(dǎo)思路的形成過程，而圖4只是推導(dǎo)思路的結(jié)果圖。

（四）凸顯核心素養(yǎng)“直觀想象”的教學(xué)設(shè)計策略

直觀想象是很重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師要善于在平淡無奇處發(fā)掘直觀想象素材。引領(lǐng)學(xué)生利用直觀大膽想象，創(chuàng)新設(shè)計數(shù)學(xué)知識、公式推導(dǎo)的優(yōu)化方法。

案例4-1：推導(dǎo)點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0） 的距離公式。通過探索、比較與優(yōu)化，設(shè)計下面問題序列：

題1：求點P（1，2）到直線4x+3y+2=0的距離

解：設(shè)過P（1，2）與直線4x+3y+2=0垂直的直線方程為3x-4y+m=0，解得m=5，由3x-4y+5=0與4x+3y+2=0聯(lián)立方程組，得兩直線交點坐標(biāo)為P0（-，），∴點P（1，2）到直線4x+3y+2=0的距離：

|PP0|=====

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷運算的繁瑣過程，知繁而變。這里把課本中一般字母換成特殊數(shù)字，既讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)值運算的繁瑣，又不過多耽誤課堂教學(xué)時間，充分考慮實際操作的可行性。

題2：有無比較簡便的計算方法呢？（由于點到直線的距離就是點到直線的垂線段的長，可以考慮把點到直線的垂線段放在直角三角形中，利用直角三角形求解。）

解：過P分別作x軸、y軸的平行線，交直線4x+3y+2=0于A、B兩點，則yA=2，由xA=-=-=-2，得A （-2，2），又xB=1，由yB=-=-=-2得B（1，-2），|AP|=|xP-xA|=1+2=3，|PB|=|yP-yB|=2-（-2）=4。Rt△ABP中，|AB|==5，設(shè)點P到直線4x+3y+2=0的距離為d，則d·|AB|=|PA|·|PB|，d==。

設(shè)計意圖：此例通過構(gòu)造直角三角形，求解點到直線的距離很簡捷，它是推導(dǎo)點到直線距離公式的引子。為體現(xiàn)構(gòu)造直角三角形運算的簡捷性，其中點P的坐標(biāo)、直線4x+3y+2=0方程中的數(shù)字是通過多次探索、反復(fù)調(diào)整找到的。從而把問題化歸為求三邊為3，4，5的Rt△斜邊上的高，以體現(xiàn)利用直觀圖形的簡捷性和啟發(fā)性。

實際上，教學(xué)活動可以看成教師看了“底牌”，師生共同參與的智力游戲，教學(xué)設(shè)計就是創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生直觀想象、凸顯思維大方向的素材。本例中點P的坐標(biāo)（1，2）與直線方程4x+3y+2=0的得來對教師很有啟發(fā)意義。直線方程4x+3y+2=0是從p（1，2）出發(fā)利用三邊為3，4，5的Rt△找出來的（為了構(gòu)造一個以p（1，2）為直角頂點，兩邊分別與x軸，y軸平行，長度分別為3、4的直角三角形，斜邊的兩端點坐標(biāo)應(yīng)該為（-2，2）、（1，-2），經(jīng)過這兩點的直線方程為4x+3y+2=0。這就是根據(jù)游戲底牌的需要選擇的數(shù)字）。

題3：求P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d。

解：由P（x0，y0）分別作x軸、y軸的垂線交直線l：Ax+By+C=0于C、D兩點，則yC=yO，xD=xO，xC=-，yD=-，|PC|=|xP- xC|=|xO+|=，|PD|=|yP- yD|=，由|CD|2=|PC|2+|PD|2得到|CD|=·，由|CD|·d=|PC|·|PD|得：d= 。

設(shè)計意圖：好的方法要交給學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然，不是學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)，而是在教師的指導(dǎo)下“有條件”（直觀想象）地發(fā)現(xiàn)。

（五） 凸顯核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)建?！钡慕虒W(xué)設(shè)計策略

對數(shù)學(xué)建模的理解不能片面化、形式化，有時已有的方法、問題也可以成為數(shù)學(xué)模型。

案例5：等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法可以成為推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的模型?？匆韵碌膯栴}序列：

（1）求和S100=1+2+3+……+100 （解：由S100=1+2+3+……+100得：S100=100+99+……+2+1，兩式相加得：2S100=（1+100）+（2+99）+……+（100+1）=101×100，S100=5050）。

（2）已知：{an}等差，求和Sn=a1+a2+……+an （解：由Sn=a1+a2+……+an得：Sn= an+an-1+……+a2+a1，兩式相加得：2Sn=（a1+ an）+（a2+ an-1）+……+（an+ a1）。由{an}等差，得a1+ an= a2+ an-1=……= an+ a1，所以：2Sn=n（a1+ an），Sn=。

設(shè)計意圖：化不同加數(shù)的和為相同結(jié)果的和，盡量化為相同結(jié)果求和，是公式推導(dǎo)的關(guān)鍵。這里問題（1）是問題（2）的模型。

（3）求和S100=21+22+23+……+2100（分析：沿著尋找相同結(jié)果的方向，思考構(gòu)造一個數(shù)列，使之與S100=21+22+23+……+2100有盡可能多的相同項，容易得到：2S100=22+23+……+2100+2101，2S100與S100有99個相同項，兩式相減得（1-2）S100=21-2101，S100=2101-21。

解決思路：關(guān)鍵是尋找與S100有盡可能多的相同項的2S100，這里問題（1）和（2）是問題（3）的模型。

（4）已知：{an}等比，公比為q，求和Sn=a1+a2+……+an。

解決思路：關(guān)鍵是尋找與Sn有盡可能多的相同項的qSn，這里問題（3）是問題（4）的模型。

（六） 凸顯核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)運算”的教學(xué)設(shè)計策略

一些典型的復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，教師常常突然地一次性地給出，學(xué)生很難內(nèi)化為運算素養(yǎng)?？梢圆捎靡m當(dāng)鋪墊，一個好引例勝過一千條說教，好的引例就是運算時數(shù)學(xué)思維的“腳手架”，好例子能成就有料的教學(xué)。

案例6：求橢圓的標(biāo)準方程一課中，當(dāng)?shù)玫椒匠?=2a（2a>2c>0）后方程的化簡非常繁瑣，大多數(shù)學(xué)生中途放棄。簡捷方法又很突然，常感從天而降?，F(xiàn)設(shè)計一個引例，引火燎原，引出化簡方法。

（1） 解方程+=10

解一：=10-，兩邊平方，得：5=3x+25，兩邊平方，得：25（x2+6x+9+16）=9x2+6x×25+252，16x2=0，x=0

解題過程繁瑣，有沒有簡便的方法呢？注意到與+相似的有-，且（+）·（-）=a-b，容易得到方法二。

解二：由（+）·（-）=[（x+3）2+16]-[（x-3）2+16]=12x，得：

-=x

聯(lián)立+）=10，得：

=x+5，兩邊平方，得：x2+6x+9+16=x2+6x+25，x2=0，x=0

設(shè)計意圖：引例暗示方程+=2a的化簡方法（利用有理化因式組合化簡），易得：-）==，兩式相加，得：2=2a+，即=a+，兩邊平方，易得+=1。

這里的引例是體現(xiàn)了：退后一步天地寬，退而求其寶。退到學(xué)生可操作，可經(jīng)歷與體驗，在經(jīng)歷與體驗中發(fā)現(xiàn)并掌握推導(dǎo)方法。

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)化需要教師創(chuàng)造性地設(shè)計并實施有效的課堂教學(xué)，使學(xué)生建立起數(shù)學(xué)思維，并以此正確的分析問題、解決問題。