汪小燕， 郭云婷， 申元霞

（安徽工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

粗糙集理論[1]是Pawlak 等學(xué)者在1982年提出的處理不確定、不精確和不完全數(shù)據(jù)的一種新的數(shù)學(xué)工具，主要研究?jī)?nèi)容是屬性約簡(jiǎn)[2]和規(guī)則提取。多粒度粗糙集[3-6]作為一種新型的多視角數(shù)據(jù)分析方法，可以從多個(gè)粒度空間對(duì)目標(biāo)概念進(jìn)行近似逼近，使得邊界區(qū)域減少，目標(biāo)概念的表示精度得到提高，并且與其他處理不確定知識(shí)的理論結(jié)合，受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[7]將多粒度粗糙集擴(kuò)展到變精度多粒度粗糙集，文獻(xiàn)[8]將其擴(kuò)展到程度多粒度粗糙集，文獻(xiàn)[9]將其擴(kuò)展到可變多粒度粗糙集，眾多學(xué)者更是從模糊關(guān)系[10]、不完備信息系統(tǒng)[11-13]、鄰域關(guān)系[14]、證據(jù)理論[15]等角度對(duì)多粒度粗糙集進(jìn)行了深入的擴(kuò)展，這些研究工作促進(jìn)了多粒度粗糙集理論和應(yīng)用的發(fā)展。文獻(xiàn)[16]提出了基于等價(jià)關(guān)系的精度與程度“邏輯或”粗糙集模型，融合了相對(duì)量化信息和絕對(duì)量化信息。文中針對(duì)不完備信息系統(tǒng)，將精度與程度“邏輯或”粗糙集擴(kuò)展到基于限制容差關(guān)系的不完備信息系統(tǒng)中，融入多粒度思想，提出基于限制容差關(guān)系的變精度與程度“邏輯或”多粒度粗糙集，包括“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集和“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集，研究“邏輯或”樂觀、悲觀多粒度粗糙集的性質(zhì)和相互之間的關(guān)系，并通過(guò)實(shí)例分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型及所提出理論的有效性。

1 基本概念

1.1 限制容差關(guān)系

限制容差關(guān)系是不完備信息系統(tǒng)中，用于對(duì)象分類的一種重要的二元關(guān)系，可以使分類更加合理。

定義1[17]假定不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉及U 上定義的二元關(guān)系L（限制容差關(guān)系），對(duì)于A?AT，則

其中PA（x）＝{a|a∈A∧a（x）≠*}。

定義2[17]設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，對(duì)于?X?U，A?AT，X 在限制容差關(guān)系L（A）的下近似、上近似分別為

其中LA（x）是x 的限制容差類。

1.2 基于限制容差關(guān)系的多粒度粗糙集

在不完備信息系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[18]結(jié)合限制容差關(guān)系，提出樂觀多粒度粗糙集和悲觀多粒度粗糙集的下近似、上近似定義。

定義3[18]設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，?X?U，在限制容差關(guān)系族L（A1），L（A2），…，L（Am）下的樂觀多粒度粗糙集下近似、上近似分別定義為

定義4[18]設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，?X?U，在限制容差關(guān)系族L（A1），L（A2），…，L（Am）下的悲觀多粒度粗糙集下近似、上近似分別定義為

1.3 基于等價(jià)關(guān)系的精度與程度“邏輯或”粗糙集

變精度粗糙集模型和程度粗糙集模型是兩類重要的粗糙集擴(kuò)展模型，其中精度反映了近似空間的相對(duì)量化信息，而程度則刻畫了近似空間的絕對(duì)量化信息。文獻(xiàn)[16]為了融合這兩種特性，提出精度與程度“邏輯或”粗糙集。

定義5[16]設(shè)信息系統(tǒng)S＝〈U，AT〉，A?AT，k 為任意自然數(shù)，β∈[0，0.5），?X?U，X 關(guān)于A 依精度1-β、程度k 的邏輯或下、上近似算子分別定義為

2 基于限制容差關(guān)系的變精度與程度“邏輯或”粗糙集

程度粗糙集存在當(dāng)[x]A∩X=?，|[x]A|-|[x]A∩X|≤k 可能成立，即的問題，現(xiàn)結(jié)合限制容差關(guān)系，在下近似中增加約束條件，構(gòu)建基于限制容差關(guān)系的變精度與程度“邏輯或”模型。

定義6設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β∈[0，0.5），?X?U，在限制容差關(guān)系L（A）下，X 變精度與程度“邏輯或”粗糙集的下近似、上近似分別定義為

3 基于限制容差關(guān)系的變精度與程度“邏輯或”多粒度粗糙集

為了進(jìn)一步對(duì)多粒度粗糙集進(jìn)行拓展，在定義6 的基礎(chǔ)上，融入多粒度思想，提出變精度與程度“邏輯或”多粒度粗糙集模型。

定義7設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β∈[0，0.5），?X?U，在限制容差關(guān)系族L（A1），L（A2），…，L（Am）下的變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集下近似、上近似分別定義為

定義8設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β∈[0，0.5），?X?U，在限制容差關(guān)系族L（A1），L（A2），…，L（Am）下的變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集下近似、上近似分別定義為

說(shuō)明在基于限制容差關(guān)系的變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集中，要求對(duì)象至少有一個(gè)粒度層次上的限制容差類滿足c（LAi（x），X）≤β∨（|LAi（x）-X|≤k∧LAi（x）∩X≠?），則定義為其下近似。在基于限制容差關(guān)系的變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集中，要求對(duì)象所有粒度層次上的限制容差類滿足c（LAi（x），X）≤β∨（|LAi（x）-X|≤k∧LAi（x）∩X≠?），則定義為其下近似。

定理1設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β∈[0，0.5），?X?U，在限制容差關(guān)系族L（A1），L（A2），…，L（Am）下的變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集有如下性質(zhì)：

（2）k1、k2為任意自然數(shù)，β1、β2∈[0，0.5），若k1≤k2、β1≤β2，則

綜上所述，在建筑工程項(xiàng)目的設(shè)計(jì)過(guò)程中運(yùn)用BIM技術(shù)，可以有效縮短工期，從而減少施工成本。同時(shí)還會(huì)促進(jìn)建筑設(shè)計(jì)企業(yè)工作水平的不斷上升，從而在保證建筑設(shè)計(jì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)獲得社會(huì)效益，保證其可持續(xù)性發(fā)展。

證明

（1）?X?U，?Ai∈A，由于LAi（x）?U，故有c（LAi（x），U）=0，從而對(duì)于β∈[0，0.5），顯然有c（LAi（x），U）≤β 成立?；蛘遼LAi（x）-U|=0，從而對(duì)于任意自然數(shù)k，顯然有|LAi（x）-U|≤k∧LAi（x）∩U≠? 成立，因此，

又由于k1≤k2、β1≤β2，從而c（LAi（x），X）≤β2∨（|LAi（x）-X|≤k2∧LAi（x）∩X≠?），因此，即有由定義7 得，

若c（LAi（x），X）≤β 成立，則若|LAi（x）-X|≤0 成立，則必有LAi（x）?X，此時(shí)c（LAi（x），X）=0，從而對(duì)于β∈[0，0.5），顯然c（LAi（x），X）≤β 成立，則因此，反之，若則至少存在某個(gè)Ai∈{A1，A2，…，Am}，使得c（LAi（x），X）≤β，由定義7 知即有所以綜合有由定義7 知，又由第一部分結(jié)論知故有

若c（LAi（x），X）≤0 成立，此時(shí)|LAi（x）|-|LAi（x）∩X|≤0，從而對(duì)于任意自然數(shù)k，顯然|LAi（x）|-|LAi（x）∩X|≤k，則若|LAi（x）-X|≤k 成立，又因?yàn)長(zhǎng)Ai（x）∩X≠?，顯然|LAi（x）|-|LAi（x）∩X|≤k， 則因此，反之，若則至少存在某個(gè)Ai∈{A1，A2，…，Am}，使得|LAi（x）|-|LAi（x）∩X|≤k，又因?yàn)長(zhǎng)Ai（x）∩X≠?，故|LAi（x）-X|≤k，從而由定義7 可知即有所以綜合有由定義7 可知，又由第一部分結(jié)論知故有

定理2設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β∈[0，0.5），?X?U，在限制容差關(guān)系族L（A1），L（A2），…，L（Am）下的變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集有如下性質(zhì)：

（2）k1、k2為任意自然數(shù)，β1、β2∈[0，0.5），若k1≤k2、β1≤β2，則

定理2 的證明類似于定理1 的證明。

定理1 性質(zhì)（3）和定理2 性質(zhì)（3）說(shuō)明，當(dāng)k=0，變精度與程度“邏輯或”樂（悲）觀多粒度粗糙集就退化為變精度樂（悲）觀多粒度粗糙集。定理1 性質(zhì)（4）和定理2 性質(zhì)（4）說(shuō)明，當(dāng)β=0，變精度與程度“邏輯或”樂（悲）觀多粒度粗糙集就退化為程度樂（悲）觀多粒度粗糙集。

定理3設(shè)不完備信息系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，A={A1，A2，…，Am}是AT 的m 個(gè)屬性子集，k 為任意自然數(shù)，β∈[0，0.5），?X?U，則變精度與程度“邏輯或”樂觀和悲觀多粒度粗糙集的關(guān)系如下：

證明由定義7 和定義8 可證。

4 實(shí)例分析

設(shè)不完備決策系統(tǒng)IS＝〈U，AT，V，f〉，其中對(duì)象集U={x1，x2，…，x8}，條件屬性AT={c1，c2，c3，c4}，d 為決策屬性，取β=0.3，k=1。。

由表1[4]知U/IND（eus0e8w）＝{D1，D2}，其中D1＝{x1，x3，x4，x6}，D2＝{x2，x5，x7，x8}，設(shè)決策信息系統(tǒng)的屬性子集族如下

表1 不完備決策系統(tǒng)

分別計(jì)算出變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集、變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集的下近似和上近似：

（1）決策類D1的下近似和上近似分別為

（2）決策類D2的下近似和上近似分別為

由計(jì)算結(jié)果知以下公式成立

同理，對(duì)D2也有以上公式成立。

為了驗(yàn)證基于限制容差關(guān)系的變精度與程度“邏輯或”多粒度粗糙集的性質(zhì)，選用UCI 機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)集上Zoo 和Tic-tac-toe （http：// archive.Ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/） 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)描述見表2。

首先對(duì)數(shù)據(jù)處理，使該系統(tǒng)存在缺失值，根據(jù)決策屬性將Zoo 分為7 個(gè)決策類D1，D2，D3，D4，D5，D6，D7。文中選取屬性集合A={A1，A2，A3}，令第1～6 個(gè)屬性為A1，第6～11 個(gè)屬性為A2，第11～16 個(gè)屬性為A3，在β=0.3，k=1 的前提下，分別計(jì)算變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集、變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集的下、上近似的樣本個(gè)數(shù)，見表3。類似可得Tic-tac-toe 的結(jié)果，見表4。

表2 數(shù)據(jù)描述

表3 Zoo數(shù)據(jù)集上的結(jié)果

表4 Tic-tac-toe 數(shù)據(jù)集上的結(jié)果

在Zoo數(shù)據(jù)集上有7 個(gè)決策類，對(duì)于每個(gè)決策類，從表3 中可以看出，變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集下近似對(duì)象個(gè)數(shù)都少于變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集下近似對(duì)象個(gè)數(shù)。而變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集上近似對(duì)象個(gè)數(shù)都多于變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集上近似對(duì)象個(gè)數(shù)，在表4 中Tic-tac-toe 數(shù)據(jù)集上也同樣存在這樣的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度粗糙集和變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集的上、下近似之間存在包含關(guān)系，從實(shí)驗(yàn)角度驗(yàn)證了定理的正確性。

5 結(jié)語(yǔ)

從精度與程度“邏輯或”的角度出發(fā)，基于限制容差關(guān)系提出變精度與程度“邏輯或”樂觀多粒度、變精度與程度“邏輯或”悲觀多粒度粗糙集模型。該模型可通過(guò)調(diào)節(jié)閾值β、k，使分類更加準(zhǔn)確。接下來(lái)的工作將研究變精度與程度“邏輯或”多粒度粗糙集的約簡(jiǎn)和決策規(guī)則的獲取等問題。