柏 雪

(重慶市為明學(xué)校，重慶 401122)

導(dǎo)數(shù)如此重要，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的必不可少的一個(gè)工具，是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個(gè)連接紐帶。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以在實(shí)際應(yīng)用中快速準(zhǔn)確求出函數(shù)的切線斜率，還可以準(zhǔn)確又簡(jiǎn)便的求出曲線的切線方程，也可以求出函數(shù)的最大值、最小值、極大值以及極小值，即利用導(dǎo)數(shù)可以解決生產(chǎn)和生活中常見(jiàn)的能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的最優(yōu)決策和最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。

一、定義法求導(dǎo)數(shù)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)的定義是這樣的：在函數(shù)f（x）中，在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是f（x）在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率，記作當(dāng)把上式式中的x0看作變量x時(shí)，即的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，即

二、求解函數(shù)的切線斜率

函數(shù)的切線斜率的求解其實(shí)是利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即：函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，y0）處的切線斜率。若θ表示這條切線與x軸正向的夾角，則，即這條切線的斜率是這個(gè)夾角的正切值。從而我們可以得出結(jié)論，當(dāng)時(shí)，表明切線與x軸正向的夾角是一個(gè)銳角；當(dāng)時(shí)，表明切線與x軸正向的夾角為一個(gè)鈍角；當(dāng)時(shí)表示切線與x軸平行，通過(guò)這個(gè)方法也同樣可以求出曲線的切線方程，即首先要求利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義出函數(shù)的切線斜率，然后把已知的點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式中，即可求出函數(shù)的切線方程。具體有以下例子說(shuō)明：

（1）求曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程；

（2）求曲線過(guò)點(diǎn)P（2，4）處的切線方程。

故所求切線方程為4x-y- 4 =0或x-y+2=0

三、判斷函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

我們都知道函數(shù)的單調(diào)性是指一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)或者在其定義域內(nèi)的單調(diào)性的變化規(guī)律，這是研究函數(shù)的圖形時(shí)首先需要考慮的一個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題。而且在中學(xué)的時(shí)候，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)或定義域內(nèi)的單調(diào)性的定義?，F(xiàn)在，高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)讓我們更深入的了解其定義并且能更容易判斷函數(shù)單調(diào)性及確定其單調(diào)區(qū)間。

我們現(xiàn)在可以深入挖掘一下函數(shù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用涵義，假設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)區(qū)間[a，b]中可導(dǎo)，則會(huì)有以下三個(gè)結(jié)論：（1）若對(duì)區(qū)間（a，b）中所有的x而言f'(x)＞0，則f(x)在（a，b）中遞增；（2）若對(duì)區(qū)間（a，b）中所有的x而言f'(x)＜0，則f(x)在（a，b）中遞減；（3）若對(duì)區(qū)間（a，b）中所有的x而言f'(x)=0，則f(x)在（a，b）中不變。由此可見(jiàn)，只要能夠求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即求出函數(shù)的切線的斜率，同時(shí)判斷它大于0的還是小于0的，就能判斷函數(shù)的單調(diào)性，這種方法不僅方便，而且更加直觀。

例：已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx.（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在他們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a，b的值。（2）當(dāng)a2=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間.

解：（1）f′（x）=2ax，g′（x）=3x2+b，

由題知，f（1）=g（1），f ′（1）=g′（1），故a+1=1+b，2a=3+b

最后解得a=3，b=3，

（2）設(shè)，h（x）=f（x）+g（x），即h（x）=x3+ax2+bx+1，

a＞0時(shí)，h（x），h′（x）的情況如下：

x ■■■■■-∞ -2,a■2 a-■■a■■■■- -6,2 a 6 a-()x h +0-0 +()x h'↗↘↗

所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為

四、求解函數(shù)的極值問(wèn)題

函數(shù)值由增加到減少或者是由減少到增加，都經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即圖中的“峰值”點(diǎn)和“谷值”點(diǎn)，這些點(diǎn)是在研究函數(shù)中是十分重要的。極值的求法是這樣定義的：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0及其區(qū)間左右兩側(cè)附近有定義，若對(duì)該區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)x（x≠x0）恒有f（x）＜f（x0），則f（x0）為極大值；若f（x）＞f（x0）成立，則f（x0）為極小值。由以下例子具體說(shuō)明：

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；

當(dāng)x＞1時(shí)，f'(x)＞0，故f(x)在上為增函數(shù)；

從而f(x)在x=1處取得極小值f(1)=3，無(wú)極大值。

五、求函數(shù)的最值問(wèn)題

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和日常生活中，我們常常遇到這些問(wèn)題，例如：如何合理的使用原料才能達(dá)到最省，而且成本最低，效率最高或者是效益效率最好的目的的問(wèn)題，這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，稱為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，即最值問(wèn)題。假定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則必存在最大、最小值，其判定的一般步驟和方法是：①求導(dǎo)數(shù)f'(x)；②求方程f'(x)=0的根；③檢驗(yàn)f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右符號(hào)。若在根左側(cè)附近大于0，右側(cè)附近的值小于0，那么，函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處能夠取得極大值；若在根左側(cè)附近的值小于0，右側(cè)附近大于0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)根處能夠取得極小值。對(duì)于在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)對(duì)f(x)的最大值和最小值，可以首先求出函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(a,b)上的極大（?。┲?，并與函數(shù)定義域端點(diǎn)值f(a),f(b)比較，即可得出最大（?。┲?由以下例子具體說(shuō)明：

解：f（′x）=ex+xex=（x+1）ex，令

當(dāng)-2≤x＜-1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在[-2，-1]上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)-1＜x≤2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-1，2]上是單調(diào)遞增函數(shù)；

所以，x=-1為f（x）的極小 值點(diǎn)，即

所以，函數(shù)f（x）在[-2，2]的最小值

最大值f（x）max=f（2）=2e2

結(jié)語(yǔ)：總之，高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路，而且還擴(kuò)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生體味到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)極限思想和方法，對(duì)學(xué)生是十分有幫助的。