江蘇海門(mén)市通源小學(xué) 曹曉丹

所謂“證據(jù)推理”，是指根據(jù)數(shù)學(xué)概念、法則、規(guī)律以及相關(guān)事實(shí)性知識(shí)，通過(guò)比較分析、抽象概括、歸納演繹等形成的一種推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的證據(jù)推理通常包括兩個(gè)方面，一方面是根據(jù)證據(jù)經(jīng)過(guò)推理得出科學(xué)結(jié)論，這是一種直接推理。另一方面是運(yùn)用證據(jù)證實(shí)或證偽推理。證據(jù)推理，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維力、邏輯思維力，培育學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木穸季哂兄匾饔?。證據(jù)推理，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)然追求。

一、知識(shí)“結(jié)構(gòu)化”，延伸“證據(jù)推理”廣度

證據(jù)推理是一種“有根有據(jù)”的推理。當(dāng)下，教師已開(kāi)始重視學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)，但卻有忽視學(xué)生演繹推理的跡象。由于合情推理的不確定性，因而深受師生歡迎；演繹推理具有確定性特質(zhì)，往往需嚴(yán)密論證，因此很多學(xué)生漠視演繹推理。誠(chéng)然，合情推理在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要作用，但任何好的東西一旦變成形式，就可能變成壞的。例如，學(xué)生可能無(wú)由頭猜想，甚至亂猜、瞎猜，由此造成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)隨意性的傾向，他們往往是跟著感覺(jué)走，從而虛化了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。真正有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)猜想應(yīng)當(dāng)是學(xué)生邏輯思維的壓縮、簡(jiǎn)化，是略去中間煩瑣的證明環(huán)節(jié)，是直觀的、跳躍性的。從這個(gè)意義上說(shuō)，合情推理也應(yīng)是一種證據(jù)推理。

為了拓寬學(xué)生推理的廣度，教師必須引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化。結(jié)構(gòu)化知識(shí)猶如一個(gè)“帶鉤的原子”，儲(chǔ)存在學(xué)生頭腦中，便于學(xué)生提取、調(diào)用、推理。很多學(xué)生，之所以不善于進(jìn)行證據(jù)推理，就是因?yàn)橹R(shí)在學(xué)生頭腦中沒(méi)有形成一種結(jié)構(gòu)，知識(shí)由此失去應(yīng)有的“活性”。知識(shí)結(jié)構(gòu)化不僅表征了知識(shí)的本質(zhì)，而且還表征了知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)。例如，在教學(xué)“圓柱的體積”時(shí)，學(xué)生在動(dòng)手操作的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，將圓柱體切拼成長(zhǎng)方體，由于不同的擺放位置，而形成不同的底面和高。學(xué)生根據(jù)操作直觀認(rèn)為圓柱的體積等于底面積乘以高，也等于側(cè)面積一半乘以半徑，還等于高與半徑的乘積再乘以圓柱底面周長(zhǎng)的一半。這是一種合情推理，是學(xué)生建立于操作感知基礎(chǔ)上的合情推理。那么，如何運(yùn)用已有數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明呢？學(xué)生主動(dòng)調(diào)用五年級(jí)的“圓的面積”知識(shí)以及六年級(jí)的“圓柱側(cè)面積”等相關(guān)知識(shí)演繹證明。最后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，盡管圓柱體積表征形式不同，但都可以轉(zhuǎn)化成半徑和高相乘的形式，即V=πr2h。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅通過(guò)操作直觀，而且借助已有知識(shí)，從數(shù)學(xué)學(xué)理上嚴(yán)密證明了圓柱體積公式內(nèi)在的一致性。

證據(jù)推理能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，它既需教師潛移默化的引導(dǎo)、滲透，更需學(xué)生用孜孜以求的精神去領(lǐng)悟、踐行。教學(xué)中，教師要豐富學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，尤其是要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，洞察數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，只有這樣，才能開(kāi)掘、豐厚學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)推理根基。

二、學(xué)習(xí)“邏輯化”，強(qiáng)化“證據(jù)推理”角度

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)邏輯化過(guò)程。所謂“邏輯化”，是指學(xué)生根據(jù)自己已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在條件和問(wèn)題之間建立某種符合邏輯的連結(jié)，從而發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)未知知識(shí)的過(guò)程。作為教師，要站在學(xué)生立場(chǎng)，設(shè)計(jì)出符合學(xué)生思維品質(zhì)、想象特質(zhì)和認(rèn)知規(guī)律的學(xué)習(xí)過(guò)程。每一個(gè)學(xué)生，由于其解決問(wèn)題的思路不同，因而證據(jù)推理過(guò)程也可能不同，但不同的證據(jù)推理，其推理的邏輯性卻是一以貫之的，尊重學(xué)生推理產(chǎn)生的差異，就是要強(qiáng)化學(xué)生推理角度。

例如，在教學(xué)“多邊形內(nèi)角和”時(shí)，筆者先放手讓學(xué)生探究，于是，絕大部分學(xué)生都按照探究三角形內(nèi)角和的方法，用“量一量”“拼一拼”等方法對(duì)四邊形進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生操作探究到五邊形時(shí)發(fā)現(xiàn)，五邊形的所有內(nèi)角拼成的不是周角，因而只能通過(guò)測(cè)量法進(jìn)行測(cè)量。而測(cè)量法誤差較大，于是學(xué)生想到是否可以借助三角形內(nèi)角和來(lái)探究。以小組為單位，學(xué)生對(duì)多邊形內(nèi)角和進(jìn)行探究。學(xué)生在小組匯報(bào)交流中，形成了兩種不同的推理模式。以六邊形為例，如圖1、圖2：

圖2

圖1的推理模式如下：因?yàn)榱呅慰梢苑殖伤膫€(gè)三角形，又因?yàn)槊恳粋€(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，所以六邊形的內(nèi)角和就是180°×4。圖2的推理模式如下：因?yàn)榱呅慰梢苑殖闪鶄€(gè)三角形，又因?yàn)槊總€(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，因此，六個(gè)三角形的內(nèi)角和就是180°×6，同時(shí)因?yàn)榱鶄€(gè)三角形中間形成的周角不屬于六邊形原來(lái)的內(nèi)角，因此要用6個(gè)180°減去2個(gè)180°，也就是4個(gè)180°。

在小組交流匯報(bào)的基礎(chǔ)上，筆者將多邊形內(nèi)角和用表格整理出來(lái)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)“多邊形邊數(shù)與多邊形內(nèi)角和之間的關(guān)系”。學(xué)生認(rèn)為，n邊形內(nèi)角和等于（n-2）個(gè)三角形的內(nèi)角和。這是學(xué)生依據(jù)四邊形、五邊形、六邊形等多邊形作出的一種不完全歸納推理，這種推理的依據(jù)是基于學(xué)生對(duì)規(guī)律的認(rèn)知。那么如何從學(xué)理上嚴(yán)格證明呢？學(xué)生展開(kāi)深度思考。通過(guò)觀察多邊形的邊，有學(xué)生這樣推理：任何一個(gè)多邊形從一點(diǎn)出發(fā)都可與對(duì)邊構(gòu)成三角形，與鄰邊不能構(gòu)成三角形，所以n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）個(gè)三角形的內(nèi)角和；還有學(xué)生這樣推理：任何一個(gè)多邊形都可以從中心點(diǎn)出發(fā)，將多邊形分成個(gè)數(shù)與邊數(shù)相等的三角形，又因?yàn)橹行狞c(diǎn)處形成的周角不屬于原來(lái)多邊形內(nèi)角，所以n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）個(gè)三角形內(nèi)角和。

不同的學(xué)生，其思維有著不同的條理性。作為教師，要允許、鼓勵(lì)學(xué)生選用不同論證方式，從不同視角進(jìn)行推理。通過(guò)展示學(xué)生有根據(jù)的邏輯推理，幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了證據(jù)推理全過(guò)程，其推理、思維和認(rèn)知能力必將得到提升。

三、探究“層次化”，拓展“證據(jù)推理”深度

數(shù)學(xué)推理既要重視整體的宏觀求證，也要重視局部的微觀求證；既要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直接推理，也要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行間接證明；既要引導(dǎo)學(xué)生“證實(shí)”，也要引導(dǎo)學(xué)生“證偽”。學(xué)生搜尋證據(jù)的種類以及證明方式的不同，反映學(xué)生運(yùn)用證據(jù)推理的深度不同。數(shù)學(xué)推理，就其形態(tài)而言，是動(dòng)態(tài)的，包含了數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)的過(guò)程。在證據(jù)推理過(guò)程中，有許多微小細(xì)節(jié)，這些細(xì)節(jié)卻有著十分豐富的思想內(nèi)涵，具有較大的思維價(jià)值。探究層次化，就是要拓展學(xué)生證據(jù)推理的深度。

例如，在教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時(shí)，筆者分層次教學(xué)，讓學(xué)生的證據(jù)推理逐步深入。一開(kāi)始，學(xué)生根據(jù)“2的倍數(shù)的特征”“5的倍數(shù)的特征”類比推理出“3的倍數(shù)的特征”。當(dāng)學(xué)生通過(guò)舉例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)“個(gè)位上是3的倍數(shù)的數(shù)不一定是3的倍數(shù)”時(shí)，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷一個(gè)自我否定的過(guò)程，這是第一層次的類比推理教學(xué)。

在此基礎(chǔ)上，筆者給學(xué)生提供一張百數(shù)表，讓學(xué)生用探究2和5的倍數(shù)的特征的方法進(jìn)行探究，回歸學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)本源。當(dāng)學(xué)生圈出3的倍數(shù)后，發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)不同于2和5的倍數(shù)，2和5的倍數(shù)都在同一列，3的倍數(shù)排成了“斜行”。并且發(fā)現(xiàn)，在同一斜行，3的倍數(shù)十位上依次加1，個(gè)位上依次減1。于是，筆者啟發(fā)學(xué)生：什么保持不變？有學(xué)生很快想到一個(gè)數(shù)中兩個(gè)數(shù)字的和保持不變。由此，學(xué)生形成合情推理：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。學(xué)生通過(guò)舉例，不完全歸納出“3的倍數(shù)的特征”，這是第二層次的不完全歸納推理教學(xué)。

繼續(xù)深入，筆者引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的組成視角進(jìn)行證據(jù)推理，以四位數(shù)為例，假設(shè)四位數(shù)是1000×a+100b+10c+d，1000×a+100b+10c+d=（999×a+99b+9c）+（a+b+c+d），因?yàn)椤?99×a+99b+9c”一定是3的倍數(shù)，所以只要“a+b+c+d”的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C據(jù)推理，學(xué)生不僅“知其然”，更“知其所以然”。

在上述教學(xué)中，第一層次類比推理，絕大部分學(xué)生都能想到，通過(guò)舉例驗(yàn)證也能自然地自我否定；第二層次的不完全歸納，需要教師引導(dǎo)學(xué)生深入觀察，同時(shí)恰當(dāng)追問(wèn)，引發(fā)學(xué)生形成猜想，通過(guò)舉例進(jìn)行不完全歸納；第三層次的證據(jù)推理，需要教師深入引導(dǎo)，促成學(xué)生深度理解、深刻感悟。

論證推理既需要學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)概念，也需要教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行邏輯化、層次化的探究。數(shù)學(xué)概念解決的是“推理證據(jù)”的廣度問(wèn)題，邏輯化學(xué)習(xí)過(guò)程體現(xiàn)的是“怎樣推理”的角度問(wèn)題，而層次化探究體現(xiàn)的是“推理得怎樣”的深度問(wèn)題。通過(guò)有廣度、有角度、有深度的證據(jù)推理，能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。?