江蘇省射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 崔立永

教材的編寫(xiě)是充分考慮學(xué)生身心發(fā)展的規(guī)律和需要。正比例函數(shù)是一元一次函數(shù)的特殊形式，因此在小學(xué)生對(duì)正比例函數(shù)有了初步認(rèn)識(shí)之后，初中，他們便開(kāi)始詳細(xì)學(xué)習(xí)一元一次函數(shù)。通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，領(lǐng)悟一元一次方程與一次函數(shù)之間的關(guān)系。

一、研磨一次函數(shù)

1．剖析概念

在某一個(gè)變化過(guò)程中，兩個(gè)變量x、y，如果滿(mǎn)足y=kx+b(k ≠0，b 為任意常數(shù))，則y 是x 的一次函數(shù)，x 是自變量，y 是因變量 (又稱(chēng)函數(shù)）。當(dāng)b=0 時(shí)，y=kx（k ≠0），是x 的正比例函數(shù)。對(duì)于一次函數(shù)需留意的是，未知數(shù)x 的次數(shù)是一次且系數(shù)不為0；因變量的次數(shù)是一次。

2．作圖

在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)之后，學(xué)生已經(jīng)知道作圖三部曲：列表、描點(diǎn)、連線。這三部曲也是作其他函數(shù)圖像最基本的方法。一次函數(shù)y=kx+b 的圖像是一條直線，由于兩點(diǎn)確定一條直線，這里有兩個(gè)特殊點(diǎn)需要留意，即與x、y 軸的交點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，(0,b)。故知道兩個(gè)特殊點(diǎn)作出的圖像即是函數(shù)y=kx+b 的圖像。像這種關(guān)注特殊值思想，或取特殊值的方法，對(duì)今后的學(xué)習(xí)有促進(jìn)作用。

二、典型例題

對(duì)于一次函數(shù)?？碱}型，主要是依據(jù)定義進(jìn)行考查。只需抓住定義中的關(guān)鍵詞或注意事項(xiàng)，許多題目便猶如順?biāo)浦郯阌卸?。下面從常?jiàn)考查角度進(jìn)行舉例說(shuō)明：

分析：此題仍然是根據(jù)定義解題。（1）要求是一次函數(shù)，則m-5≠0且m2-24=1；（2）要求是正比例函數(shù)，則除了滿(mǎn)足（1）的條件以外，還需要m+1=0。

所以m=-5。因此，當(dāng)m=-5 時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)。

所以函數(shù)不可能為正比例函數(shù)。

例2 已知一次函數(shù)y=(6+3m)x+(n-4)。求：（1）m,n 分別為何值時(shí)，y 隨x 的增大而減小；（2）m,n 分別為何值時(shí)，圖像與y 軸的交點(diǎn)在x 軸下方；（3）m=1，n=-3 時(shí)，求一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)。

分析：此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)。（1）k ＜0 時(shí)，y 隨x 的變大而減小。（2）圖像與y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,b)，滿(mǎn)足b ＜0 即在x 軸下方。（3）將m=1，n=-3 代入函數(shù)求得一次函數(shù)解析式，然后根據(jù)與兩軸交點(diǎn)公式求解。

解：（1）因?yàn)閥 隨x 的增大而減小，所以6+3m ＜0，即m ＜-2，故當(dāng)m ＜-2，n 為全體實(shí)數(shù)時(shí)，y 隨x 的增大而減小。（2）由題意得解得，所以當(dāng)m ≠2 且n ＜4 時(shí)，函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在x 軸下方。（3）將m=1，n=-3 代入函數(shù)求得y=9x-7，它與x 軸的交點(diǎn)為(，0)，與y 軸交點(diǎn)為(0,-7)。

三、一次函數(shù)與方程的關(guān)系

一次函數(shù)與一元一次方程相互聯(lián)系，彼此滲透，相互交融。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是令一次函數(shù)y=kx+b（k ≠0）中的y=0，求解自變量x 的值，即x=-?。一次函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是聯(lián)系一次函數(shù)與一元一次方程的紐帶，實(shí)現(xiàn)兩者的有機(jī)轉(zhuǎn)化。此外，可利用圖像的方法將方程結(jié)果在數(shù)軸上表示出來(lái)，幫助學(xué)生理解題意。一次函數(shù)除了直接應(yīng)用到一次方程中，其與二元一次方程（組）也有著密不可分的關(guān)系。二元一次方程（組）的結(jié)果也可以利用函數(shù)圖像在數(shù)軸上進(jìn)行表示。任意二元一次方程都有與之相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)，即會(huì)有一條直線與之對(duì)應(yīng)，求二元一次方程的解相當(dāng)于求一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)。二元一次方程組，則是兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)。

對(duì)于一次函數(shù)涵蓋的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生不僅要掌握知識(shí)，更要留意其所蘊(yùn)含的思想方法。抓住函數(shù)定義中的關(guān)鍵部分，能很好地解決有關(guān)定義的相關(guān)習(xí)題。這種抓關(guān)鍵詞的思想對(duì)今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)定義問(wèn)題均有促進(jìn)作用，例如用定義判斷哪些是一元二次函數(shù)。此外，取特殊值的方法是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況進(jìn)行考慮，把難以解決的問(wèn)題化歸為易解決的問(wèn)題，這種方法在今后理科知識(shí)的學(xué)習(xí)中扮演著重要角色。初中在學(xué)生生涯中承上啟下，溝通小學(xué)和高中，是奠基石，作為過(guò)渡階段的初中數(shù)學(xué)知識(shí)更是尤其重要。教師要合理規(guī)劃相關(guān)知識(shí)的教學(xué)，學(xué)生也要有目標(biāo)地汲取知識(shí)。師生共同實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)知識(shí)水平的提高，提高靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活的能力，發(fā)揮相關(guān)內(nèi)容對(duì)思維的啟發(fā)和誘導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。