趙鵬舉,張 維

(1.天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072；2. 中原工學(xué)院系統(tǒng)與工業(yè)工程研究中心，河南 鄭州 450007；3. 中國(guó)社會(huì)計(jì)算研究中心，天津 300072)

1 引言

Alchian[1]和Friedman[2]提出了一個(gè)命題，認(rèn)為市場(chǎng)使追求回報(bào)最大化的參與者生存下來(lái)。在其思想基礎(chǔ)上，F(xiàn)ama[3]在其論述EMH假定的一篇經(jīng)典文獻(xiàn)中，對(duì)套利行為分析得出如下結(jié)論：由于理性交易者的套利行為，非理性交易者從長(zhǎng)期看必定是虧損的，最終會(huì)在金融市場(chǎng)中消失，從而金融市場(chǎng)終將是有效的。

Fama等人的論證事實(shí)上預(yù)設(shè)了市場(chǎng)有效性的假定，從而理性交易者的套利行為才能從長(zhǎng)期上使非理性交易者因持續(xù)虧損而退出市場(chǎng)。事實(shí)上，這是一個(gè)在理性預(yù)期前提下的循環(huán)論證。如果市場(chǎng)并非完全有效，則理性預(yù)期下的套利并非是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。而理性交易者也并非是穩(wěn)定市場(chǎng)的力量。此外，即使作為個(gè)體的非理性交易者會(huì)持續(xù)虧損，在長(zhǎng)期趨向上終將退出市場(chǎng)，然而，還會(huì)有新的非理性交易者不斷地進(jìn)入市場(chǎng)。非理性交易者作為一個(gè)總體是否會(huì)在金融市場(chǎng)上消失還需嚴(yán)格的定量分析。因而，如何描述這兩類交易者增減變化的動(dòng)態(tài)規(guī)律，成為量化分析證券市場(chǎng)演化的關(guān)鍵問(wèn)題。

Fama等人對(duì)市場(chǎng)演化的論證都是定性的，直到上世紀(jì)90年代初期, Blume和Easley[4]最先對(duì)市場(chǎng)選擇假說(shuō)對(duì)其進(jìn)行了定量分析，他們提出了一個(gè)演化模型，通過(guò)推導(dǎo)得出了最適者生存的結(jié)論。此后，出現(xiàn)了一系列研究市場(chǎng)演化問(wèn)題的量化模型，這些文獻(xiàn)的結(jié)論卻是兩分的。

對(duì)市場(chǎng)演化大問(wèn)題的研究結(jié)論大致可以分為兩類，一類認(rèn)為在一定前提下，市場(chǎng)演化能夠達(dá)到理性均衡。Evstigneev等[5]建立離散時(shí)間模型討論了金融市場(chǎng)穩(wěn)定進(jìn)化的充分必要條件，證明了在股票價(jià)格與未來(lái)股息收益貼現(xiàn)值的數(shù)學(xué)期望相等時(shí)，證券市場(chǎng)能夠穩(wěn)定進(jìn)化到理想狀態(tài)。我國(guó)學(xué)者楊招軍和秦國(guó)文[6]在Evstigneev等人工作基礎(chǔ)上，研究了連續(xù)時(shí)間模型的金融市場(chǎng)進(jìn)化問(wèn)題。研究結(jié)果顯示采用買入資產(chǎn)相對(duì)股息大于相對(duì)股價(jià)的股票策略，在投資者初始財(cái)富大于零的前提下，最終將控制市場(chǎng)上的所有財(cái)富。龍張紅等[7]用中國(guó)股市數(shù)據(jù)對(duì)金融進(jìn)化論進(jìn)行了實(shí)證研究，驗(yàn)證了揚(yáng)招軍和秦國(guó)文等人的觀點(diǎn)。Akbas等[8]的研究結(jié)果認(rèn)為對(duì)沖基金(智錢，Smart money)能夠糾正市場(chǎng)中的錯(cuò)誤定價(jià)。

另一類認(rèn)為在一定條件下，非理性交易者也可以生存。Blume和Easley[9]在2006年進(jìn)一步討論了市場(chǎng)選擇假說(shuō)。其研究結(jié)果證明市場(chǎng)選擇假說(shuō)存在疑問(wèn)，當(dāng)市場(chǎng)不完備時(shí)，理性交易者也可能被淘汰。

同時(shí)，一些學(xué)者對(duì)市場(chǎng)淘汰非理性交易者的假定進(jìn)行了研究。Bruno和Raphael[10]的研究認(rèn)為，由于非理性交易者會(huì)高估或低估紅利，并且他們“固執(zhí)”地相信自己的判斷，從而客觀上提高了非理性交易者的討價(jià)還價(jià)能力，使得非理性交易者可能獲得高于理性交易者的收益。基于此，Bruno和Raphael[10]分析了非理性交易者動(dòng)態(tài)演化過(guò)程，并得出非理性交易者可以在證券市場(chǎng)中長(zhǎng)期生存的結(jié)論。張永杰等[11]的研究也認(rèn)為價(jià)格內(nèi)生同時(shí)存在套利限制時(shí)，市場(chǎng)無(wú)法淘汰噪音交易者、反饋交易者等類型的非理性交易者。

市場(chǎng)演化的長(zhǎng)期均衡問(wèn)題仍然是一個(gè)未定的問(wèn)題，而且也是新古典金融學(xué)與行為金融學(xué)爭(zhēng)論的焦點(diǎn)之一。以往研究在兩個(gè)方面上存在著改進(jìn)的必要：一是以上研究將市場(chǎng)視為一個(gè)封閉系統(tǒng)，期間未考慮新進(jìn)入者對(duì)各群體的影響。事實(shí)上，即使某類個(gè)體由于采用了不適宜的交易策略而逐漸被市場(chǎng)淘汰，而由于新進(jìn)入者的影響，該類個(gè)體的種群可能仍然在市場(chǎng)中存在并對(duì)市場(chǎng)產(chǎn)生影響；二是為了簡(jiǎn)化研究通常采用了市場(chǎng)價(jià)格外生的假定。而目前有大量研究結(jié)果顯示，交易者行為與市場(chǎng)價(jià)格存在交互作用，大量非理性交易者的存在會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格偏離理性均衡價(jià)格，從而導(dǎo)致理性交易者的虧損。在證券市場(chǎng)上，這意味著大量涌入的非理性交易者可能會(huì)破壞證券市場(chǎng)的效率，從而改變市場(chǎng)演化發(fā)展的過(guò)程。扈文秀等[12]分析了非理性交易行為對(duì)資產(chǎn)價(jià)格所產(chǎn)生的影響，說(shuō)明了資產(chǎn)價(jià)格泡沫與非理性交易行為之間的關(guān)系。劉燕和朱宏泉[13]的實(shí)證研究也證明個(gè)人投資者的異質(zhì)信念會(huì)左右市場(chǎng)定價(jià)。Shirokikh等[14]用基于秩相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)模型研究了美國(guó)股票市場(chǎng)的演化問(wèn)題，認(rèn)為交易者的協(xié)同交易行為與市場(chǎng)波動(dòng)存在關(guān)系。

對(duì)不同類型交易者收益率的研究也證明了理性交易者并非總能獲取高于市場(chǎng)的收益率。例如Cochrane[15]研究了1994- 2010年間美國(guó)全部對(duì)沖基金的平均收益率，結(jié)果顯示其收益率經(jīng)常低于市場(chǎng)收益率，在2009年左右更是低至-40%以下。

趙鵬舉[16]建立了一個(gè)微分動(dòng)力系統(tǒng)模型來(lái)刻畫(huà)市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)，該模型吸收了生物種群動(dòng)力系統(tǒng)中的有益成分，有很好的可擴(kuò)展性，可以很方便的將新進(jìn)入者的影響納入市場(chǎng)選擇假說(shuō)的討論中來(lái)，同時(shí)還能夠通過(guò)對(duì)參數(shù)的設(shè)定，考慮價(jià)格內(nèi)生等因素對(duì)市場(chǎng)演化短期動(dòng)態(tài)和長(zhǎng)期均衡的影響。但該模型是確定性模型，而在真實(shí)的證券市場(chǎng)中，任意時(shí)刻交易者的財(cái)富，證券市場(chǎng)收益，市場(chǎng)的凈進(jìn)入率等變量和參數(shù)都是隨機(jī)的。因而，有必要將該模型擴(kuò)展為隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行分析。

Lo A W[17]依據(jù)有限理性假定和生物進(jìn)化理論提出適應(yīng)性市場(chǎng)預(yù)期(AMH, Adaptive Markets Hypothesis),將金融市場(chǎng)看作一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)，存在捕食者和被捕食者，二者相互依存，數(shù)量動(dòng)態(tài)變化。本文將借鑒這個(gè)思想構(gòu)建基本的模型框架，將交易者分為理性交易者和非理性交易者，建立隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)模型，刻畫(huà)證券市場(chǎng)演化規(guī)律。通過(guò)對(duì)模型的分析來(lái)分析的不同類型交易者財(cái)富變化的動(dòng)態(tài)軌跡和市場(chǎng)的長(zhǎng)期均衡。

2 演化模型

考慮有理性交易者和非理性交易者參與的市場(chǎng)，假定在t時(shí)刻，理性交易者的財(cái)富總額為xt，非理性交易者總額為yt，兩者的收益率分別為rx和ry，顯然，當(dāng)市場(chǎng)全部為理性交易者的情況下，rx即為市場(chǎng)收益率。同理，當(dāng)市場(chǎng)全部為非理性交易者的情況下，ry即為市場(chǎng)收益率。依據(jù)Alchian[1]和Friedman[2]的斷言，當(dāng)市場(chǎng)由理性交易者和非理性交易者共同構(gòu)成時(shí)，理性交易者總是能獲得高于市場(chǎng)平均的收益率，并逐漸將非理性交易者逐出市場(chǎng)，因而隨著非理性交易者減少以至到滅絕，理性交易者的收益率將遞減至市場(chǎng)平均收益率，即rx和ry取決與市場(chǎng)中兩類交易者的比例，因而可以得到描述演化動(dòng)態(tài)的微分方程組；

(1)

其中θ1,θ2是參數(shù)向量。

2.1 作為封閉系統(tǒng)的市場(chǎng)演化模型

為簡(jiǎn)化問(wèn)題，首先假定市場(chǎng)中沒(méi)有新的進(jìn)入者，即市場(chǎng)作為一個(gè)封閉系統(tǒng)進(jìn)行研究。當(dāng)市場(chǎng)是一個(gè)封閉系統(tǒng)時(shí)，兩類交易者財(cái)富總量變化動(dòng)態(tài)的微分方程組如下：

(2)

設(shè)證券市場(chǎng)收益率為rm，顯然有：

xt·rx+yt·ry=(xt+yt)·rm

(3)

考慮到隨著理性交易者財(cái)富在市場(chǎng)中的比例逐步提升，其收益率將下降，因而rx應(yīng)當(dāng)具備以下性質(zhì)：

(1)理性交易者收益率隨其占市場(chǎng)比例的增加而減少，且凸向原點(diǎn)。

雙曲函數(shù)具備以上典型特征，因而設(shè)rx為雙曲函數(shù)，即：

(4)

結(jié)合以上公式(3)和(4)可以得到：

(5)

rm和α是參數(shù)，從公式(5)中可以明確看出α的含義，就是理性交易者對(duì)非理性交易者的掠奪率。進(jìn)一步，由(2)和(5)可以得出描述市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)的微分動(dòng)力系統(tǒng)為：

(6)

其中，xt表示理性交易者t時(shí)刻的財(cái)富總額，yt為非理性交易者t時(shí)刻的財(cái)富總額，兩者的收益率分別為rx和ry，rm為市場(chǎng)收益率，α代表理性交易者對(duì)非理性交易者的掠奪率。

從市場(chǎng)整體的視角來(lái)看，不同時(shí)間區(qū)間市場(chǎng)收益率和掠奪率是隨時(shí)間隨機(jī)波動(dòng)的，但本文關(guān)注的重點(diǎn)是給定市場(chǎng)結(jié)構(gòu)前提下兩類交易者財(cái)富的變化動(dòng)態(tài)，給定一段時(shí)間區(qū)間的證券市場(chǎng)，必定存在一個(gè)rm和α的均值，因而這里的市場(chǎng)收益率和掠奪率假定為給定一段時(shí)間區(qū)間后的平均值，并作為參數(shù)處理。

2.2 開(kāi)放系統(tǒng)市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)模型

顯然，證券市場(chǎng)作為一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)，不斷的會(huì)有新的交易者進(jìn)入市場(chǎng)，也會(huì)有交易者退出市場(chǎng)，將兩者的作用簡(jiǎn)化為一個(gè)凈進(jìn)入率納入模型可以更加完整和準(zhǔn)確的描述市場(chǎng)演化的動(dòng)態(tài)軌跡。

結(jié)合對(duì)證券市場(chǎng)新進(jìn)入者的實(shí)證分析，可以設(shè)某一時(shí)刻理性交易者和非理性交易者進(jìn)入市場(chǎng)的速度與兩類交易者的存量財(cái)富之間存在線性關(guān)系，即理性交易者的在t時(shí)刻進(jìn)入市場(chǎng)的財(cái)富為ex(xt+yt)，非理性交易者的在t時(shí)刻進(jìn)入市場(chǎng)的財(cái)富為ey(xt+yt)，其中ex，ey分別是理性交易者和非理性交易者的凈進(jìn)入率。這個(gè)假定稱為線性進(jìn)入的假定，在證券市場(chǎng)發(fā)展的初級(jí)階段，這個(gè)假定可以描述證券市場(chǎng)兩類交易者進(jìn)入市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

因而可以得到描述作為開(kāi)放系統(tǒng)的證券市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)的微分方程組；

(7)

其中rm,α,ex,ey是參數(shù)，考慮各參數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義，顯然在現(xiàn)實(shí)的證券市場(chǎng)中存在rm,α,ex,ey≥0。模型構(gòu)建的詳細(xì)分析參見(jiàn)趙鵬舉。

2.3 開(kāi)放市場(chǎng)隨機(jī)演化動(dòng)態(tài)模型

由于兩類交易者的財(cái)富總額顯然是隨機(jī)的，因而將上述模型推廣為隨機(jī)模型。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題便于分析，本文僅將xt，yt設(shè)置為隨機(jī)變量，同時(shí)在模型中將市場(chǎng)上的隨機(jī)沖擊歸結(jié)在一起，假定為白噪聲干擾，建立隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)模型來(lái)分析市場(chǎng)演化的短期動(dòng)態(tài)和長(zhǎng)期均衡。

將公式(7)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的整理，加入白噪聲干擾后的市場(chǎng)演化模型如下：

(8)

在公式(8)中，rm,α,ex,ey的經(jīng)濟(jì)含義同公式(7)，而且為簡(jiǎn)化問(wèn)題均假定為常量。將xt，yt分別代表市場(chǎng)中理性交易者和非理性交易者的財(cái)富總額，設(shè)為隨機(jī)變量。σx，σy代表兩類交易者財(cái)富總額的擴(kuò)散系數(shù)，Bit,i=1,2代表相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

3 模型分析

以下將對(duì)公式(8)所刻畫(huà)的市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)模型的分析，希望解決的幾個(gè)問(wèn)題包括：1)模型是否存在全局的和唯一的解；2)作為開(kāi)放系統(tǒng)的市場(chǎng)演化的長(zhǎng)期均衡是什么；3)非理性交易者是否會(huì)滅絕，其長(zhǎng)期存在的條件是什么。以下將對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析。

3.1 全局正解的存在性和唯一性

定理1對(duì)于任意給定的初值x0,y0，當(dāng)t≥0 時(shí)，公式(8)存在唯一解，而且xt,yt∈+,a.s.。

證明： 由于公式(8)滿足線性增長(zhǎng)和局部Lipshitz條件，由Oksendal[18]中的定理5.2.1，定理1可直接證得。同時(shí)還可得到：

(9)

由上述證明可知，作為開(kāi)放系統(tǒng)的市場(chǎng)演化模型存在全局唯一解，同時(shí)公式(9)還表明，在任意有限時(shí)間T內(nèi)，系統(tǒng)是均方期望有限的。

3.2 系統(tǒng)的長(zhǎng)期發(fā)展動(dòng)態(tài)

本節(jié)將討論市場(chǎng)長(zhǎng)期發(fā)展變動(dòng)的邊界問(wèn)題，分析當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，兩類交易者財(cái)富總額的增長(zhǎng)趨勢(shì)。

為分析方便，定義K=rm+ex+ey，同時(shí)定義：V(X(t))=x(t)+y(t) ，使用Ito公式可得：

τk=inf{t∈+;|X(t)|≥k}

取期望，可得：

E(V(X(τk∧T)))=V(X(0))

令t→∞，由于V(X(0))>0，K:=rm+ex+ey>0 ，因此可以得到：

(10)

從而定理2得證，可知當(dāng)時(shí)間趨向于無(wú)窮時(shí)，公式(8)所表示的系統(tǒng)中兩類交易者的財(cái)富總額趨向于無(wú)窮。

3.3 非理性交易者的長(zhǎng)期存在性

本節(jié)分析本文探討的一個(gè)核心問(wèn)題，即非理性交易者的長(zhǎng)期存在性問(wèn)題，本節(jié)將證明在一定條件下，當(dāng)t→∞時(shí)，yt→∞。

定義：H=rm-α+ey，由公式(8)中的下式可得：

(11)

定義：

(12)

由于ey>0，而且xt∈+，根據(jù)隨機(jī)比較定理Ikeda和Watanabe[19],Seather等[20]可知：依概率1有yt>ηt，t≥0。

定義g(t,x)=lnx，應(yīng)用Ito公式可以很容易求出：

(13)

對(duì)公式(13)進(jìn)行分析可以得到以下結(jié)果：

同時(shí)由于yt>ηt，a.s.，因而定理3得證。

定理3說(shuō)明如果非理性交易者的收益率加上凈進(jìn)入率與其收到的擾動(dòng)相比足夠大的話，則非理性交易者可以在市場(chǎng)中長(zhǎng)期存在，而且其財(cái)富將保持增長(zhǎng)直至無(wú)窮。反之，如果市場(chǎng)收益率，掠奪率和非理性交易者的凈進(jìn)入率與非理性交易者財(cái)富變動(dòng)的一半方差相比較小的話，非理性交易者也存在滅絕的可能。

3.4 隨機(jī)演化模型的仿真分析

隨機(jī)演化動(dòng)態(tài)模型(公式8)的解析解不易求得，因而考慮使用仿真的方法對(duì)市場(chǎng)的隨機(jī)演化動(dòng)態(tài)軌跡進(jìn)行模擬，同時(shí)用多次仿真求樣本均值的方法對(duì)交易者財(cái)富的長(zhǎng)期期望進(jìn)行模擬和分析。下面將使用Higham[21]提出的方法對(duì)公式(8)進(jìn)行仿真。

3.4.1 隨機(jī)演化動(dòng)態(tài)的樣本軌跡

首先使用Higham的方法對(duì)公式(8)進(jìn)行離散化處理，得

(14)

其中ε1t,ε2t是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

使用公式(14)，設(shè)定參數(shù)與中國(guó)證券市場(chǎng)近20年(1996年1月1日至2016年12月31日)來(lái)的收益率和波動(dòng)性相仿，即設(shè)定rm=0.022%，α=0.01%，ex=0.005%，ey=0.02%，ξ0=0.2，η0=0.8，σx=0.01%，σy=0.01%，設(shè)定時(shí)間周期為8000個(gè)交易日，使用Matlab仿真得到的結(jié)果如下圖1所示：

圖1 市場(chǎng)隨機(jī)演化動(dòng)態(tài)樣本軌跡

圖中下面的曲線代表理性交易者的財(cái)富總額，上面的曲線代表非理性交易者的財(cái)富總額。從圖1中可以清晰的看到，在市場(chǎng)處于正常的增長(zhǎng)過(guò)程中時(shí)，隨著時(shí)間增長(zhǎng)，理性交易者和非理性交易者的財(cái)富都呈現(xiàn)出增長(zhǎng)的態(tài)勢(shì)，而且理性交易者財(cái)富的增長(zhǎng)更加迅速。經(jīng)過(guò)8000個(gè)交易日的演化，理性交易者的財(cái)富占市場(chǎng)總財(cái)富的比例由20%上升到50%。

3.4.2 隨機(jī)演化動(dòng)態(tài)的長(zhǎng)期均衡

Higham[21]同時(shí)提出了隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)求期望值的方法，即對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行多次仿真，對(duì)仿真得出的樣本取均值來(lái)估計(jì)變量的期望值。按照該方法，對(duì)公式(14)進(jìn)行100次仿真(限于計(jì)算機(jī)性能，100次仿真需運(yùn)行5個(gè)小時(shí)左右，因而無(wú)法大幅增加樣本數(shù)來(lái)減少樣本均值與期望值之間的誤差)后求出ξt和ηt，隨后求出ηt所代表的非理性交易者占市場(chǎng)財(cái)富總額的比例，其變動(dòng)軌跡如下圖所示：

圖2 非理性交易者市場(chǎng)份額變動(dòng)軌跡

從圖2中可以看到，在財(cái)富方差變動(dòng)不太大的情況下，市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)中的非理性交易者在市場(chǎng)中所占比例隨時(shí)間遞減，但遞減的幅度逐漸減少。與確定性模型相仿，隨機(jī)模型中非理性交易者所占的比例從長(zhǎng)期看會(huì)收斂到一個(gè)非零的長(zhǎng)期均衡值上。

3.5 模型的擴(kuò)展

目前諸多研究成果表明，市場(chǎng)參與者存在著不同的理性層次和行為特征，如損失厭惡、心理賬戶等等，僅用理性交易者和非理性交易者來(lái)刻畫(huà)市場(chǎng)參與者不足以充分地表述市場(chǎng)特征，因而考慮將模型擴(kuò)展為多變量隨機(jī)微分方程組，通過(guò)研究上述模型，能夠更為真實(shí)細(xì)致地描述市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)的軌跡和特征。

假定市場(chǎng)中存在著包括理性交易者在內(nèi)的n種不同類型交易者，每種交易者的收益率分別為ri,i=1,2,…,n，每種交易者的凈進(jìn)入率為ei,i=1,2,…,n。為簡(jiǎn)化問(wèn)題，仍然采用了各類交易者勻質(zhì)分布、線性進(jìn)入的假定，即任意時(shí)刻t，每一類交易者進(jìn)入市場(chǎng)的比例均假定為市場(chǎng)交易者總體財(cái)富的一個(gè)固定比例。

在以上假定下，公式(8)可以擴(kuò)展為如下的向量形式：

dX(t)=AijX(t)dt+σiX(t)dBi(t)

(15)

其中：

σi,i=1,2,…,n代表各類交易者財(cái)富變動(dòng)的方差，Bit是互相獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，對(duì)公式(15)進(jìn)行一些基本的分析可以得到以下結(jié)果：

①由于滿足線性增長(zhǎng)和局部Lipshitz條件，公式(15)所表示的系統(tǒng)存在全局唯一解。

③任意一種交易者的生存和滅絕取決于其收益率及其所受擾動(dòng)的大小，只要其收益率加上其凈進(jìn)入率相對(duì)于其財(cái)富波動(dòng)足夠大，該類交易者就不會(huì)滅絕。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)作為開(kāi)放系統(tǒng)的隨機(jī)市場(chǎng)演化模型存在全局唯一的正解，而且在有限時(shí)間內(nèi)，交易者財(cái)富的總額是均方期望有限的。

(2)市場(chǎng)中兩類交易者的財(cái)富總額的期望值呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，兩類交易者的財(cái)富總額趨于無(wú)窮。

(3)當(dāng)有新進(jìn)入者存在時(shí)，即便理性交易者的收益高于非理性交易者，市場(chǎng)的長(zhǎng)期演化不一定能夠消除非理性交易者，非理性交易者的長(zhǎng)期存在性取決于其長(zhǎng)期收益率和其財(cái)富的波動(dòng)率。

在本文中，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，將市場(chǎng)收益率等設(shè)為常數(shù)參數(shù)，將所有的隨機(jī)因素歸結(jié)在一起作為白噪聲干擾納入模型中進(jìn)行分析，而事實(shí)上市場(chǎng)演化動(dòng)態(tài)受到一個(gè)顯著的主要因素的干擾和其它一些次要因素的干擾。交易者的收益率是一個(gè)顯著的主要因素，將其作為一個(gè)Markov過(guò)程納入模型，將模型擴(kuò)展為有Markov沖擊的市場(chǎng)演化模型可能會(huì)得到更多更好的結(jié)果。