韓 帥，劉樹林

(1.山西財(cái)經(jīng)大學(xué)國際貿(mào)易學(xué)院，山西 太原 030006；2.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，北京 100029)

1 引言

隨著全球信息產(chǎn)業(yè)的高速成長，截至2017年6月，我國互聯(lián)網(wǎng)用戶規(guī)模已達(dá)到7.51億，穩(wěn)居世界第一，2017年上半年新增用戶數(shù)量1992萬，互聯(lián)網(wǎng)普及率達(dá)到54.3%，比2016年底提升1.1%，預(yù)計(jì)2017年底我國互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)量將達(dá)到7.72億，互聯(lián)網(wǎng)普及率將到達(dá)55.9%。在這個(gè)信息爆炸的時(shí)代，廣大網(wǎng)民對(duì)于所獲信息的準(zhǔn)確度需求也在逐步提高。黨的十九大報(bào)告指出，我國社會(huì)的主要矛盾已經(jīng)轉(zhuǎn)化為人民日益增長的美好生活需求和不平衡不充分的發(fā)展之間的矛盾。傳統(tǒng)的信息獲取方式已很難滿足人們的需求，網(wǎng)絡(luò)搜索的重要性也愈發(fā)顯著。關(guān)鍵詞廣告作為搜索引擎向網(wǎng)民投放廣告的一種途徑，已成為互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)重要的盈利模式之一。大量的廣告主把部分廣告費(fèi)用投資到搜索引擎，以便在更大范圍內(nèi)宣傳和銷售自己的產(chǎn)品及服務(wù)。在美國當(dāng)?shù)貢r(shí)間2017年10月27日，國際知名搜索引擎Google的母公司Alphabet發(fā)布了截至2017年9月30日的第三季度財(cái)報(bào)。內(nèi)容顯示，Alphabet今年第三季度總營收為277.72億美元，同比增長24%，凈利潤為67.32億美元，較去年同期的50.61億美元，同比增長28%。而該公司的主要收入來源為在線廣告營銷服務(wù)，實(shí)際情況也表明互聯(lián)網(wǎng)廣告對(duì)于互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)獲取利潤的重要影響不言而喻。關(guān)鍵詞廣告是在線廣告的重要組成部分，而關(guān)鍵詞拍賣作為關(guān)鍵詞廣告的出售模式，有必要對(duì)其進(jìn)行理論研究。

關(guān)鍵詞拍賣的早期研究多集中在拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)及改進(jìn)方面，并沒有考慮廣告主有預(yù)算約束的情況。Varian[1]最先將博弈論引入關(guān)鍵詞拍賣領(lǐng)域，給出關(guān)鍵詞拍賣模型的納什均衡(Nash Equil-ibrium, NE)和對(duì)稱納什均衡(Symmetric Nash E-quilibrium, SNE)的定義及相關(guān)性質(zhì)，還指出搜索引擎在廣義第二價(jià)格(Generalized Second Price, GSP)拍賣機(jī)制下的收益不低于在Vickrey-Clarke-Groves(VCG)機(jī)制下的收益。而Edelman等[2]進(jìn)一步研究了GSP機(jī)制，證明說真話(報(bào)價(jià)等于估價(jià))不是GSP機(jī)制的占優(yōu)策略，并給出局部無嫉妒均衡(Locally Envy-Free Nash Equilibrium, LEFNE)的概念，證明局部無嫉妒均衡與SNE是等價(jià)的。這兩篇論文是最早研究關(guān)鍵詞拍賣的文獻(xiàn)，屬于本領(lǐng)域的奠基性工作。在此基礎(chǔ)上，Bu Tianming等[3]認(rèn)為廣告主可以同時(shí)提交多個(gè)報(bào)價(jià)，分析了該情形下滿足純策略納什均衡的條件。Fukuda等[4]借鑒Edelman的方法，使用LEFNE研究VCG機(jī)制，并給出該機(jī)制下廣告主均衡報(bào)價(jià)的區(qū)間。為了獲取最大社會(huì)福利，Yuan Yong等[5]研究了廣告主的合作式穩(wěn)定型報(bào)價(jià)策略，應(yīng)用進(jìn)化博弈理論與合作進(jìn)化模擬于重復(fù)關(guān)鍵詞廣告拍賣，發(fā)現(xiàn)“友好”報(bào)復(fù)策略可以促使競爭廣告主間形成穩(wěn)定的合作機(jī)制。Thompson和Leyton-Brown[6]針對(duì)主流搜索引擎大多采用加權(quán)GSP機(jī)制銷售關(guān)鍵詞廣告位的現(xiàn)象，提出一種“計(jì)算機(jī)理分析”的方法，計(jì)算該模型的納什均衡，并與其他三種位置拍賣模型及七種已有估計(jì)模型進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)wGSP在社會(huì)福利和預(yù)期點(diǎn)擊數(shù)兩方面的表現(xiàn)都是最好的。原全和汪定偉[7]基于廣義第一價(jià)格拍賣，建立關(guān)鍵詞拍賣的最優(yōu)投標(biāo)價(jià)格決策模型，并由此給出廣告主獲取最大期望收益時(shí)的報(bào)價(jià)。針對(duì)關(guān)鍵詞拍賣中虛假廣告泛濫問題，殷紅[8]在GSP機(jī)制中引入廣告主信譽(yù)度，建立可信競價(jià)排名機(jī)制。當(dāng)廣告主信譽(yù)度差別很大時(shí)，改進(jìn)機(jī)制在搜索引擎收益和拍賣效率方面的優(yōu)勢(shì)顯著。用戶興趣度對(duì)點(diǎn)擊率也有較大影響，董紅斌等[9]在GSP機(jī)制中引入興趣度因子，建立基于興趣度的拍賣模型，對(duì)于點(diǎn)擊數(shù)、搜索引擎收益的范圍以及拍賣配置效率均有小幅提高，但損失了部分運(yùn)行效率，等價(jià)于用時(shí)間換取收益。

隨著該領(lǐng)域研究不斷深入，部分學(xué)者開始關(guān)注廣告主預(yù)算對(duì)關(guān)鍵詞拍賣的影響。Abrams等[10]使用線性規(guī)劃的方式，研究了考慮預(yù)算的廣告主最優(yōu)收益問題。Chen Ligang和Li Yijun[11]對(duì)于廣告主選擇不同搜索引擎及如何進(jìn)行預(yù)算分配的問題進(jìn)行分析，指出應(yīng)依照不同目標(biāo)對(duì)預(yù)算進(jìn)行合理分配。Hafalir等[12]提出一種Sort-Cut拍賣機(jī)制，研究了特征相同關(guān)鍵詞的多輪拍賣問題，廣告主不能通過低報(bào)預(yù)算或保守估價(jià)獲益，但是高估預(yù)算和估價(jià)可以提高收益。Muthukrishnan等[13]從概率角度建立預(yù)算優(yōu)化模型，并通過該模型預(yù)測(cè)網(wǎng)民檢索行為數(shù)據(jù)的概率分布狀況。Gummadi等[14]應(yīng)用馬爾科夫決策法分析帶預(yù)算廣告主的競價(jià)問題。Cholette等[15]采用概率方法，找到廣告主支付不超過預(yù)算的最優(yōu)報(bào)價(jià)。Koh[16]基于SNE，建立考慮廣告主預(yù)算約束的關(guān)鍵詞拍賣模型，給出并證明了廣告主提高報(bào)價(jià)后無利可圖的充要條件，通過實(shí)例說明降低報(bào)價(jià)后收益變化是不確定的，由此得出報(bào)價(jià)向量是帶預(yù)算約束的SNE條件，最后分析了在一個(gè)理想環(huán)境下，搜索引擎的收益情況以及兩位廣告主組成的報(bào)價(jià)向量是非占優(yōu)策略均衡的條件。Zhang Jie等[17]研究了廣告主報(bào)價(jià)和每日預(yù)算的動(dòng)態(tài)調(diào)整，避免預(yù)算浪費(fèi)在早期無效點(diǎn)擊上，以獲取更好的廣告投放機(jī)會(huì)。Arnon和Mansour[18]將重復(fù)性付費(fèi)搜索廣告拍賣看作單次博弈行為，并稱為預(yù)算拍賣，其中每位廣告主需要提交一個(gè)報(bào)價(jià)和預(yù)算，使用序貫第二價(jià)格拍賣機(jī)制出售廣告位，發(fā)現(xiàn)當(dāng)廣告主報(bào)價(jià)不高于估價(jià)，該博弈存在純策略納什均衡。楊彥武等[19]從跨搜索引擎與時(shí)間序列的角度，研究關(guān)鍵詞拍賣中的預(yù)算分配與調(diào)整問題，構(gòu)建出能夠提高分配效率的策略模型。于洪雷等[20]將廣告主按估價(jià)和預(yù)算分布進(jìn)行分類，分別從長期與短期角度建立模型，研究預(yù)算約束下GSP機(jī)制的均衡投標(biāo)策略問題，得到靜態(tài)與動(dòng)態(tài)環(huán)境下關(guān)鍵詞拍賣的均衡點(diǎn)。楊雪等[21]基于預(yù)算約束限制，首次構(gòu)建形式化的視頻廣告拍賣模型，與關(guān)鍵詞拍賣類似，該模型不限制參與競拍者的邊際效用形式。通過對(duì)比三種線性收益函數(shù)和一種非線性收益函數(shù)，證明改進(jìn)機(jī)制收益和社會(huì)效用的有效性，并分析不同預(yù)算約束對(duì)機(jī)制的影響。與國外發(fā)展情況相比，國內(nèi)研究帶預(yù)算約束的關(guān)鍵詞拍賣文獻(xiàn)較少，還處于起步階段。

綜上所述，已有的關(guān)鍵詞拍賣研究存在以下不足：首先，許多研究未考慮廣告主的預(yù)算約束，但在實(shí)際情況中，即使是市值很高的大企業(yè)，它的廣告預(yù)算也是有限的，廣告主需要事先制定關(guān)鍵詞廣告的投標(biāo)策略。因此有必要從理論上對(duì)該問題進(jìn)行深入分析。其次，由于SNE條件的一致性，現(xiàn)有研究帶預(yù)算約束問題的文獻(xiàn)，主要采用該均衡條件。當(dāng)今主流搜索引擎均使用GSP機(jī)制，但是GSP的缺陷在于任意廣告主維持在原位不向上偏離的不等式不符合GSP機(jī)制，相較下NE條件符合該機(jī)制[22]。最后，2017年底召開的中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議中已提出，我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新時(shí)代，基本特征是我國經(jīng)濟(jì)已由高速增長階段轉(zhuǎn)向高質(zhì)量發(fā)展階段。而高質(zhì)量的發(fā)展就需要企業(yè)提高經(jīng)營效率，合理使用預(yù)算資金，從而達(dá)到效用最優(yōu)。因此，利用NE概念研究如何合理地利用預(yù)算更具有應(yīng)用價(jià)值。

鑒于此，本文受Koh[16]的啟發(fā)，使用NE概念研究預(yù)算約束下廣告主的均衡報(bào)價(jià)問題，分別從報(bào)價(jià)向上偏離和向下偏離兩方面進(jìn)行分析，給出了廣告主報(bào)價(jià)達(dá)到均衡時(shí)所應(yīng)滿足的充要條件。這將有助于廣告主進(jìn)行預(yù)算的合理分配，給出最優(yōu)報(bào)價(jià)，從而獲得最大收益。本文與之前研究的主要區(qū)別在于：第一，本研究基于NE分析帶預(yù)算約束的廣告主達(dá)到均衡報(bào)價(jià)的條件，相比SNE更符合實(shí)際情況。第二，本研究根據(jù)NE條件推導(dǎo)出滿足NE的廣告主報(bào)價(jià)的上下界，并與SNE的上下界進(jìn)行了對(duì)比。第三，本研究給出了報(bào)價(jià)向量達(dá)到帶預(yù)算約束的納什均衡時(shí)應(yīng)滿足的條件。相比不考慮預(yù)算約束的情況，帶預(yù)算約束的情況要復(fù)雜的多，需要從報(bào)價(jià)偏離的角度得出結(jié)論，并闡述了此均衡條件的實(shí)際意義。

2 模型建立

2.1 基本模型

假設(shè)模型中有n位廣告主競爭獲得s個(gè)廣告位，其中n≥s，由廣告主構(gòu)成的集合為N={1,2,…,n}，而廣告位組成的集合為S={1,2,…,s}。該模型的保留價(jià)為0。廣告主j的估價(jià)、報(bào)價(jià)、支付與收益分別為vj,bj,pj與πj，其中j∈N。cj表示在單位時(shí)間內(nèi)廣告位j獲得的點(diǎn)擊數(shù)，其中j∈S。由網(wǎng)民瀏覽習(xí)慣可知，不同廣告位對(duì)網(wǎng)民的吸引力由上到下嚴(yán)格遞減[22]，有c1>c2>…>cs，而且僅有s個(gè)廣告位，故cs+1=cs+2=…=cn=0。

下面對(duì)每位廣告主重新進(jìn)行編號(hào)，以便于后續(xù)表述。獲得廣告位j的廣告主的報(bào)價(jià)記為bj，估價(jià)為vj。本研究中廣告主支付使用GSP機(jī)制，且該模型是完全信息的，即所有cj,bj,vj都是已知的。因此，廣告主j的支付滿足pj=bj+1，收益為πj=cj(vj-bj+1)。

下面回顧Varian構(gòu)建關(guān)鍵詞拍賣的兩種不同均衡[1]。

定義1 若所有參與競拍的廣告主的報(bào)價(jià)構(gòu)成的向量b=(b1,b2,...,bn)滿足以下條件：

cj(vj-bj+1)≥cl(vj-bl+1),?l>j

(1)

cj(vj-bj+1)≥cl(vj-bl),?l

(2)

則稱報(bào)價(jià)向量b是NE。

定義2 若所有參與競拍的廣告主的報(bào)價(jià)構(gòu)成的向量b=(b1,b2,…,bn)滿足以下條件：

cj(vj-bj+1)≥cl(vj-bl+1),?l,j

(3)

則稱報(bào)價(jià)向量b是SNE。

通常滿足NE的報(bào)價(jià)向量很多，故采用BNE表示報(bào)價(jià)向量是NE的集合。同理，采用BSNE表示報(bào)價(jià)向量是SNE的集合。兩個(gè)集合均未考慮廣告主的預(yù)算。從定義可以看出，NE與SNE的主要區(qū)別是任意廣告主j報(bào)價(jià)不向上偏離的條件。

2.2 改進(jìn)模型

為了簡便，令競拍全程時(shí)間為1，例如實(shí)際中的1天。假設(shè)廣告主j為理性人，顯然他的報(bào)價(jià)不會(huì)超過估價(jià)，從而有vj>pj=bj+1。

定義3 假設(shè)廣告主j的報(bào)價(jià)為bj，獲得廣告位θ(j)，支付為pj，其預(yù)算給定為Bj，參與競拍的時(shí)間為tj，其中j∈N。若報(bào)價(jià)向量b=(b1,b2,…,bn)滿足：

(1)b∈BNE；

(2)如果廣告主j的支付pj≤Bj，則其參與競拍的時(shí)間tj=1，即全程占據(jù)廣告位θ(j)，其中j∈N；

(3)如果廣告主j的支付pj>Bj，則其參與競拍的時(shí)間tj=Bj/pj<1，將提前退出競拍，其中j∈N；

(4)對(duì)任意廣告主k(k≠j)，bk都不改變。廣告主j的報(bào)價(jià)向上偏離占據(jù)靠前廣告位后收益沒有增加，向下偏離占據(jù)靠后廣告位后收益也沒有增加，其中k,j∈N。即模型中任意廣告主報(bào)價(jià)bj向上偏離后無利可圖，并且bj向下偏離后同樣無利可圖，則稱該向量b是帶預(yù)算約束的納什均衡(Nash Equilibrium with Budget Constraint, NE-B)。

下面用數(shù)例解釋引入預(yù)算后對(duì)拍賣模型的影響。

例1 考慮3位廣告主競拍2個(gè)廣告位的情況。詳細(xì)信息如下表。

表1 信息列表

圖1 帶預(yù)算廣告主所在廣告位點(diǎn)擊數(shù)受報(bào)價(jià)變化的影響

從圖1可以看出，廣告主2提高報(bào)價(jià)后，在時(shí)期[0,0.5]，廣告主1占據(jù)首位，廣告主2位居次席；在時(shí)期[0.5,1]，廣告主1提前退出，廣告主2占有廣告位1，廣告主3占據(jù)廣告位2。由于廣告主2的全程支付價(jià)格p2=0.5c2b3+0.5c1b3=1.5

該結(jié)果表明考慮預(yù)算約束會(huì)使廣告主產(chǎn)生改變自身報(bào)價(jià)的動(dòng)機(jī)(收益增加)。

3 基于納什均衡的廣告主報(bào)價(jià)邊界

本文研究的是基于納什均衡的帶預(yù)算廣告主的均衡報(bào)價(jià)問題，而得到在此均衡下廣告主報(bào)價(jià)的取值邊界有助于分析報(bào)價(jià)向量達(dá)到NEB應(yīng)滿足的條件。

首先將定義1中的兩個(gè)不等式分別進(jìn)行化簡，則報(bào)價(jià)bj應(yīng)滿足：

(4)

(5)

(6)

根據(jù)式(4)可以得到滿足NE條件的報(bào)價(jià)向量中bj的上下界。

(7)

證明：由于報(bào)價(jià)向量b∈BNE，所以式(1)成立。令l=j+1，可得：

cj(vj-bj+1)≥cj+1(vj-bj+2)

化簡得：

bj+1≤(cj-cj+1)vj/cj+cj+1bj+2/cj

由此推導(dǎo)可以得到：

bj≤(cj-1-cj)vj-1/cj-1+cjbj+1/cj-1≤(cj-1-cj)vj-1/cj-1+cj[(cj-cj+1)vj/cj+cj+1bj+2/cj]/cj-1

繼續(xù)遞推可得：

bj≤(cj-1-cj)vj-1/cj-1+(cj-cj+1)vj/cj-1+…+(cs-1-cs)vs-1/cj-1+csbs+1/cj-1

(8)

令式(4)中j=s+1，并且cs+1=0，則廣告主s+1的報(bào)價(jià)滿足：

(9)

將式(9)代入式(8)整理：

綜上，定理1得證。

(10)

證明：由于報(bào)價(jià)向量b∈BNE，故式(2)成立。令l=j-1，可得：

cj(vj-bj+1)≥cj-1(vj-bj-1)

化簡得：

bj-1≥(cj-1-cj)vj/cj-1+cjbj+1/cj-1

由此推導(dǎo)可以得到：

bj≥(cj-cj+1)vj+1/cj+cj+1bj+2/cj≥(cj-cj+1)vj+1/cj+cj+1[(cj+2-cj+3)vj+3/cj+2+cj+3bj+4/cj+2]/cj>(cj-cj+1)vj+1/cj+cj+2[(cj+2-cj+3)vj+3/cj+2+cj+3bj+4/cj+2]/cj, (cj+1>cj+2>0)

繼續(xù)遞推下去。當(dāng)s與j奇偶性相同時(shí)，報(bào)價(jià)bj滿足：

bj≥(cj-cj+1)vj+1/cj+(cj+2-cj+3)vj+3/cj+…+(cs-2-cs-1)vs-1/cj+cs-1bs/cj

(11)

令式(4)中的j=s，并且cs+1=0，則廣告主s的報(bào)價(jià)滿足：

(12)

將式(12)代入式(11)整理得：

bj≥(cj-cj+1)vj+1/cj+…+(cs-2-cs-1)vs-1/cj+cs-1vs+1/cj>(cj-cj+1)vj+1/cj+…+(cs-2-cs-1)vs-1/cj+csvs+1/cj, (cs-1>cs>0)

同理，當(dāng)s與j奇偶性相異時(shí)，bj滿足：

綜上所述，定理2得證。

定理1與2給出了NE條件下報(bào)價(jià)的理論取值范圍，該結(jié)論為研究帶預(yù)算廣告主的均衡報(bào)價(jià)策略提供了理論基礎(chǔ)。

4 帶預(yù)算約束的納什均衡

本節(jié)分析報(bào)價(jià)向量b∈BNE達(dá)到NEB時(shí)廣告主應(yīng)具備的條件。研究將分別從不同方向的報(bào)價(jià)偏離著手，首先考察報(bào)價(jià)向上偏離的情形。

4.1 報(bào)價(jià)向上偏離

定理3任意報(bào)價(jià)向量b∈BNE，預(yù)算Bj對(duì)所有廣告主j∈N都滿足cjbj+1≤Bj，則任意報(bào)價(jià)bj(1

(1)當(dāng)Bj≥cj-k+1bj-k+1，廣告主j將始終占據(jù)第j-k+1位，其收益為πj=cj-k+1(vj-bj-k+1)。

假設(shè)式(2)中l(wèi)=j-k+1，得到cj(vj-bj+1)≥cj-k+1(vj-bj-k+1)，所以此時(shí)廣告主j的報(bào)價(jià)向上偏離后無利可圖。

(2)當(dāng)Bj

同理，令式(2)中l(wèi)=j-k+1，有cj(vj-bj+1)≥cj-k+1(vj-bj-k+1)≥cj-k+1t(vj-bj-k+1)。這說明預(yù)算不足時(shí)，廣告主j的報(bào)價(jià)向上偏離也無利可圖。故定理3充分性證畢。

(必要性)假設(shè)報(bào)價(jià)向量b∈BNE，對(duì)所有j∈N有cjbj+1≤Bj。下面使用反證法。假設(shè)廣告主j的預(yù)算Bj

廣告主j+1在第j+1位的時(shí)間為t，而上升一位后占據(jù)第j位的時(shí)間為t′-t，其中t′滿足[cj+1t+cj(t′-t)]bj+2=Bj+1，可能大于1。由于采用GSP機(jī)制，廣告主j+1的支付需要分析廣告主j+2所處的位置。

(1)廣告主j+2占據(jù)第j+2位的時(shí)間為t，故廣告主j+1占據(jù)第j+1位的支付為cj+1bj+2；

Δπj+1=[cj+1t+cj(min{t′,1}-t)](vj+1-bj+2)-cj+1(vj+1-bj+2)

所以廣告主j+1的報(bào)價(jià)向上偏離后收益增加，必要性得證。定理3證畢。

定理3揭示了當(dāng)報(bào)價(jià)向量滿足NE條件時(shí)，任意一位廣告主提高報(bào)價(jià)無利可圖應(yīng)滿足的充要條件。由定理3可以看出，廣告主j的預(yù)算至少需要達(dá)到cjbj，否則其向上偏離后將獲得的更大收益。由該定理將逐步分析出廣告主報(bào)價(jià)達(dá)到NEB時(shí)需要滿足的條件。

該推論運(yùn)用定理3的結(jié)論，當(dāng)廣告主預(yù)算較低時(shí)，后一位廣告主提高報(bào)價(jià)是有利可圖的，所以此時(shí)報(bào)價(jià)向量不滿足NEB條件。該結(jié)論說明當(dāng)某位廣告主制定的廣告預(yù)算較少時(shí)，排名靠后的廣告主將有動(dòng)機(jī)提高報(bào)價(jià)競爭該廣告位，以獲取更高收益。因此，廣告主們的預(yù)算分配過少將導(dǎo)致無法達(dá)到NEB。

下面從實(shí)例角度，驗(yàn)證定理3的結(jié)論。

例2 構(gòu)建一個(gè)拍賣模型，其中4位廣告主競爭3個(gè)廣告位。模型信息如表2所示，其中預(yù)算Bj≥cjbj,(j=1,2,3)。

表2 報(bào)價(jià)向量信息列表

(1)驗(yàn)證該報(bào)價(jià)向量b∈BNE。

廣告主1在不同位置：

c1(v1-b2)=108>c2(v1-b3)=48>c3(v1-b4)=20>c4(v1-b5)=0。

可知b1滿足NE條件。

同理，可以驗(yàn)證b2,b3,b4均滿足NE條件，但不滿足SNE條件。因此，該報(bào)價(jià)向量b=(b1,b2,b3,b4)∈BNE。

(2)驗(yàn)證定理3的充分條件。以廣告主2為例，由于預(yù)算滿足Bj≥cjbj,(j=1,2,3)，則廣告主2報(bào)價(jià)向上偏離無利可圖。

廣告主2在第2位的收益：

π2=c2(v2-b3)=6×(9-4)=30。

當(dāng)b2向上偏離到第1位時(shí)，由于預(yù)算B2=66

即b2向上偏離后收益增加，定理3的必要條件成立。

4.2 報(bào)價(jià)向下偏離

對(duì)于廣告主報(bào)價(jià)向下偏離的收益變化情況，首先利用實(shí)例結(jié)果進(jìn)行說明。

例3 同樣采用例2的相關(guān)數(shù)據(jù)。先計(jì)算NE下所有報(bào)價(jià)的邊界。

表3 報(bào)價(jià)向量信息列表(邊界)

先驗(yàn)證該報(bào)價(jià)向量b∈BNE。廣告主1在不同位置：

c1(v1-b2)=144>c2(v1-b3)=54>c3(v1-b4)=24>c4(v1-b5)=0。

可知b1滿足NE條件；

而廣告主2在不同位置：

c2(v2-b3)=36>c1(v2-b1)=18=c3(v2-b4)=18>c4(v2-b5)=0，

而c1(v2-b2)=90>c2(v2-b3)=36。

可知b2滿足NE條件，但不滿足SNE條件。

同理可驗(yàn)證b3,b4均滿足NE條件，但不滿足SNE條件。故該報(bào)價(jià)向量b=(b1,b2,b3,b4)∈BNE。

c1(v1-b2)=24≥c2(v1-b3)=24>c3(v1-b4)=12>c4(v1-b5)=0。

可知b1滿足NE條件。

同理可知b2,b3,b4均滿足NE條件，并且b4也滿足SNE條件。因此，該報(bào)價(jià)向量b=(b1,b2,b3,b4)∈BNE。

(4)情形(2)和(3)中b取值不同，將對(duì)b1向下偏離產(chǎn)生不同影響。

對(duì)于情形(2)，初始時(shí)廣告主1的收益為π1=

因此，情形(2)中b1向下偏離無利可圖；

因此，情形(3)中b1向下偏離有利可圖。

以上兩種情形中，廣告主1的收益變化產(chǎn)生差異的原因有兩點(diǎn)：第一，b1降低至第2位，從而導(dǎo)致所占位置的點(diǎn)擊數(shù)減少(c2t+c1(1-t)v1-b2)，因此廣告主1的總收益變化(點(diǎn)擊數(shù)×單次收益)無法確定。

例如情形(2)，由于廣告主2參與競拍時(shí)間(t=11/12)較長，盡管廣告主1在第2位時(shí)單次點(diǎn)擊收益增加，但點(diǎn)擊數(shù)的損失更大，故其收益下降；對(duì)于情形(3)，廣告主1在第2位的時(shí)間(t=11/32)較短，在廣告主2退出后，他所在廣告位的點(diǎn)擊數(shù)恢復(fù)至第1位的水平，并且剩余競拍時(shí)間較長，致使其收益增加。

定理4若廣告主j(j∈N)的報(bào)價(jià)bj向下偏離，其收益將由所在廣告位點(diǎn)擊數(shù)與單次點(diǎn)擊收益共同決定。廣告主j的收益變化取決于兩者中占優(yōu)因素的變化趨勢(shì)。

由例3的分析可以看出，廣告主報(bào)價(jià)bj向下偏離的情況比較復(fù)雜，在此情形下準(zhǔn)確描述廣告主的收益變化較為困難。下面將從側(cè)面角度研究報(bào)價(jià)向量b達(dá)到NEB應(yīng)滿足的條件。

4.3 均衡條件

由于cjt+(1-t)cj-1>cj，故上式中不等式成立。

該引理的結(jié)論與4.1節(jié)中推論類似，如果報(bào)價(jià)向量b中某位廣告主設(shè)置的廣告預(yù)算較低，則b將不滿足NEB。

∈BSNE，即：

(13)

廣告主j的初始收益可轉(zhuǎn)化為：

同理，由式(7)可得，廣告主j報(bào)價(jià)向上偏離一位(第j-1位)后的支付：

因此，式(13)對(duì)l=j-1,j+1均成立。引理2得證。

因此，報(bào)價(jià)向量b∈BNE是NEB。充分性成立。

綜上，定理5得證。

5 結(jié)語

納什均衡是博弈論中最重要的理論之一，為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)理論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。早期關(guān)于關(guān)鍵詞拍賣的研究，為了便于分析，幾乎不考慮有預(yù)算約束的情況，而且多數(shù)沒有從納什均衡角度研究。但在實(shí)際情況中，廣告主在搜索引擎網(wǎng)站投放關(guān)鍵詞廣告必須考慮預(yù)算約束。因此，本文重點(diǎn)研究了帶預(yù)算約束的關(guān)鍵詞拍賣問題。主要結(jié)論可歸納為以下三個(gè)方面：

(1)推導(dǎo)出基于NE的廣告主報(bào)價(jià)邊界，并與SNE條件下的報(bào)價(jià)的邊界進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩種均衡下的報(bào)價(jià)上界相同，而下界大小取決于排序j的大小。這是由于NE中不向下偏離條件與SNE相同，而不向上偏離條件不同所導(dǎo)致的。

(2)預(yù)算對(duì)于報(bào)價(jià)向量達(dá)到NEB具有顯著影響。廣告主只有具備充足的預(yù)算才能夠持續(xù)參與競拍，否則就要提前退出。此外，由于GSP機(jī)制的特點(diǎn)，若某位廣告主預(yù)算分配較少，排位較低的廣告主出于提高自身收益的目的，也會(huì)產(chǎn)生向上偏離的動(dòng)機(jī)。通過研究發(fā)現(xiàn)，帶預(yù)算的廣告主向上偏離無利可圖除了需要滿足NE條件外，預(yù)算Bj也不能低于cjbj。而向下偏離的情況較為復(fù)雜，廣告主的收益變化取決于所在廣告位點(diǎn)擊數(shù)與單次點(diǎn)擊收益兩者占優(yōu)因素的變化趨勢(shì)。

本文的主要?jiǎng)?chuàng)新在于：第一，基于NE條件，在關(guān)鍵詞拍賣中引入廣告主預(yù)算這一影響因素建立模型。通過對(duì)比Koh[16]研究SNE中帶預(yù)算約束的關(guān)鍵詞拍賣模型，發(fā)現(xiàn)其中不向上偏離的不等式右側(cè)廣告主的支付價(jià)符合第三價(jià)格拍賣機(jī)制(pj=bl+1,?l

鑒于帶預(yù)算約束的關(guān)鍵詞拍賣涉及的問題較多，本研究還存在著三個(gè)方面的不足。第一，實(shí)際中關(guān)鍵詞拍賣的情況更為復(fù)雜，很多參數(shù)和假設(shè)條件都不固定，例如廣告主的數(shù)量、廣告位數(shù)等，本文的假設(shè)與實(shí)際情況還存在一定差距，今后可以調(diào)整假設(shè)條件，使研究結(jié)果更符合實(shí)際。第二，本文結(jié)論的前提條件是完全信息博弈，而任意一位廣告主進(jìn)行決策時(shí)，往往無法獲得其他外界的信息，未來可以通過概率分布的方式將研究拓展到不完全信息模型中。第三，受選題限制，本文僅從廣告主角度對(duì)帶預(yù)算約束的均衡報(bào)價(jià)問題進(jìn)行研究，后續(xù)研究可以從搜索引擎的角度分析在帶預(yù)算約束的納什均衡下，預(yù)算約束對(duì)搜索引擎收益的影響，以及搜索引擎如何改進(jìn)機(jī)制設(shè)計(jì)可以使社會(huì)效率提高等問題。