肖 帆 李 光 游雨龍

湖南工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，株洲，412007

0 引言

機器人逆運動學(xué)求解作為機器人離線編程、軌跡規(guī)劃、控制算法設(shè)計等其他課題研究的基礎(chǔ)，一直是機器人學(xué)中的一個經(jīng)典問題，同樣也是研究熱點[1]。逆運動學(xué)求解的實質(zhì)是完成機器人工作空間到關(guān)節(jié)空間的映射，它們之間的映射關(guān)系是非線性且多耦合的，問題比較復(fù)雜。很多學(xué)者在該領(lǐng)域做了大量研究與探索，提出了許多理論與方法。傳統(tǒng)方法有解析法[2]、幾何法[3]和迭代法[4]等。在求機器人逆運動學(xué)解問題中，解析法計算較為復(fù)雜，但是在機器人滿足PEIPER[5]、DUFFY[6]分別提出的結(jié)構(gòu)特點時，可以得到全部解；幾何法針對機器人的某些特殊結(jié)構(gòu)進行簡化，再進行求解，一般無法單獨使用甚至根本無法使用[7]；迭代法受到初始值選取的約束，只能求得一組逆運動學(xué)解。

雖然傳統(tǒng)方法中解析法和幾何法能求機器人逆運動學(xué)的多解，但是需要滿足特殊結(jié)構(gòu)。隨著機器人結(jié)構(gòu)復(fù)雜化和計算機發(fā)展的突飛猛進，現(xiàn)代智能算法[8-10]被應(yīng)用來求逆運動學(xué)解。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對連續(xù)函數(shù)具有非常好的擬合能力及泛化能力，尤其是后者，使其被廣泛應(yīng)用于機器人逆運動學(xué)求解中。通常，在使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求機器人的逆運動學(xué)解時，采用如下思路進行:通過正向運動學(xué)，得出關(guān)節(jié)空間Q對應(yīng)的工作空間位姿T,從而得到學(xué)習(xí)樣本中輸入與輸出關(guān)系T→Q。在這種學(xué)習(xí)樣本獲取方法中，無法準確地建立一組位姿對應(yīng)多組逆解，而只能建立一組位姿對應(yīng)一組逆解的訓(xùn)練方式，這會導(dǎo)致在存在逆運動學(xué)多解的區(qū)域用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解時得到的是一個折中的結(jié)果。

文獻[9]提出在關(guān)節(jié)子空間下，使用6個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組成的多層感知結(jié)構(gòu)，解決了平面二連桿機器人逆運動學(xué)多解問題。文獻[10]使用三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過增加方位角作為輸入?yún)?shù)，消除了輸入-輸出間的映射錯誤關(guān)系。雖然文獻[9]和文獻[10]提出了應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決機器人逆運動學(xué)多解的方法，但是二者都是在工作空間為二維平面運動的機器人中實現(xiàn)的，都沒有解決三維工作空間中逆運動學(xué)多解的問題。末端執(zhí)行器在三維工作空間的逆運動學(xué)多解問題遠比二維平面的復(fù)雜。文獻[11]提出多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方式，求得了高精度的空間3R機械手的逆運動學(xué)完備解。

本文通過對空間3R機械手進行幾何分析，確定了在關(guān)節(jié)空間中逆運動學(xué)多解的分布規(guī)律，根據(jù)該規(guī)律將關(guān)節(jié)空間劃分為4個子空間，每個子空間用3個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練及求解，并在每個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入中，增加繞Z軸旋轉(zhuǎn)的矩陣元素作為特征參數(shù)；并進行了仿真驗證。

1 三連桿機器人運動學(xué)分析

1.1 正向運動學(xué)模型

圖1a所示是空間3R機械手，其中(p?x?，p?y?，p?z?)表示末端執(zhí)行器的空間位置，關(guān)節(jié)1的軸線為鉛垂方向且和關(guān)節(jié)2的軸線垂直，其交點與基座的距離為L?1；關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的軸線水平且平行，距離為L?2；末端執(zhí)行器與關(guān)節(jié)3軸線的距離為L?3。根據(jù)標(biāo)準D-H坐標(biāo)[12]建立圖1b所示連桿坐標(biāo)系，相應(yīng)的連桿參數(shù)列于表1。其中，L?1=783 mm，L?2=702.5 mm，L?3=651 mm，α?1=π/2。根據(jù)表1所示連桿參數(shù)可求得其正向運動學(xué)方程為

(1)

(a)空間3R機械手

(b)D-H坐標(biāo)系圖1 空間3R機械手及其連桿坐標(biāo)系Fig.1 Space 3R manipulator and its linkagecoordinate system

表1 空間3R機械手連桿參數(shù)

1.2 基于幾何分析的關(guān)節(jié)子空間劃分

(a)組合1

(b)組合2圖2 觀察視角Fig.2 Observation perspective

根據(jù)上述記法，將表1中的關(guān)節(jié)空間劃分為表2中的4個子空間。

表2 關(guān)節(jié)子空間

1.3 特征參數(shù)

三連桿機械手的工作空間可以理解為二連桿形成的平面工作空間繞Z?軸旋轉(zhuǎn)形成的三維圖，因此，表2中的4個區(qū)域在Z?軸上的位置仍然有無窮多組解。參考文獻[9]對接近點的描述可知，以ε?(ε?為最小正實數(shù))為半徑、Z?軸為旋轉(zhuǎn)軸的鄰域內(nèi)，在用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時也會存在映射錯誤。

假設(shè)每個區(qū)域的θ?1都平分成n?-1份，則每個區(qū)域?qū)?yīng)的工作空間將由n?個平面組成，在第i?個平面中，末端執(zhí)行器的位置都相同地增加一個繞Z?軸旋轉(zhuǎn)θ?1i?的旋轉(zhuǎn)矩陣R：

θ?1i?=arctan2p?y?,p?x?

(2)

R=rotzθ?1i?

(3)

式(2)用于Zone1和Zone2中時，每個平面只需選擇一個滿足p?y?>0，p?x?≠0的點即可;式(2)用于Zone3和Zone4中時，同樣只需選擇一個滿足p?y?≤0，p?x?≠0的點即可。

2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其MATLAB實現(xiàn)

2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有多層結(jié)構(gòu)，分別是輸入層、一層或多層隱含層、輸出層。各層神經(jīng)元之間是全連接的，層內(nèi)無連接。隱含層各神經(jīng)元節(jié)點采用Sigmoid函數(shù)[13]作為激勵函數(shù)。圖3所示是一個三層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中閾值未畫出。

圖3 三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Three-layer BP neural network

圖3中，輸入層有M?個神經(jīng)元，輸入向量X=(x?1,x?2,…，x?M?)T；隱含層有I?個神經(jīng)元；輸出層有J?個神經(jīng)元，輸出向量Y=(y?1,y?2,…，y?J?)T；ω?mi?是輸入層與隱含層之間的權(quán)值，ω?ij?是隱含層與輸出層之間的權(quán)值，隱含層各神經(jīng)元閾值為a?i?(i?=1,2,…,I?)，輸出層各神經(jīng)元閾值為b?j?(j?=1,2，…,J?)。

根據(jù)圖3可以得到網(wǎng)絡(luò)的輸出：

(4)

j?=1,2,…,J?

式中，f?(·)為隱含層的激勵函數(shù)。

2.2 MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱

在MATLAB中可通過以下步驟訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]。

(1)創(chuàng)建前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

net?=feedforwardnet?(hiddenSizes?,trainFcn?)

(5)

其中，hiddenSizes?表示隱含層的規(guī)模，列數(shù)表示隱含層數(shù)，每列的數(shù)值表示各隱含層神經(jīng)元個數(shù)；trainFcn?是訓(xùn)練權(quán)值的算法，默認為“trainlm”，即LM算法(Levenberg-Marquadt算法)。LM算法將梯度下降法與高斯-牛頓法相結(jié)合，既有高斯-牛頓法的局部收斂性，又具有梯度下降法的全局特性[15]。

(2)參數(shù)設(shè)定。net?.trainParam?.epochs?為迭代最大輪數(shù)；net?.trainParam?.max_fail?為訓(xùn)練最大的失敗次數(shù)，默認為6；net?.divideParam?.trainRatio?為訓(xùn)練樣本占總樣本百分比，默認75%；net?.divideParam?.valRatio?為校驗樣本占總樣本百分比，默認15%；net?.divideParam?.testRatio?為測試樣本占總樣本百分比，默認15%。net?.trainParam?.goal?為目標(biāo)誤差。

(3)訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

[net?,TR?]=train?(net?,Ptrain,Ttrain)

(6)

式中，Ptrain為訓(xùn)練樣本的輸入矩陣；Ttrain為訓(xùn)練樣本的輸出矩陣；TR?為記錄訓(xùn)練的結(jié)果。

(4)預(yù)測數(shù)據(jù)：

Y=net?(Ttest)

(7)

式中，Y為網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果；Ttest為需要預(yù)測的輸入。

2.3 樣本選取

采用以下方式得到訓(xùn)練樣本，在Zonei?(i?=1,2,3,4)中，先將θ?j?(j?=1,2,3)平均分成M?θ?、I?θ?、H?θ?，然后將θ?j?進行組合，如圖4所示。

圖4 關(guān)節(jié)角的組合Fig.4 Combination of joint angle

Zonei?中的關(guān)節(jié)角組合均為M?θ?×I?θ?×H?θ?組，記為Qi?(i?=1,2,3,4)。

2.4 網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出

LM算法訓(xùn)練權(quán)值時，在每輪計算中均會存儲一個M?×P?×N?(M?為輸出神經(jīng)元個數(shù)，P?為樣本個數(shù)，N?為權(quán)值與閾值的總個數(shù))的雅可比矩陣，雅可比矩陣的大小直接影響網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練速度。每個網(wǎng)絡(luò)只用一個關(guān)節(jié)角作為輸出與多個關(guān)節(jié)角作為輸出相比，可以大大地提高訓(xùn)練速度，減小各網(wǎng)絡(luò)的計算開支，加之LM算法具有收斂快、誤差小的特點，從而使得每個網(wǎng)絡(luò)可以在更短的訓(xùn)練時間內(nèi)收斂。

2.5 預(yù)測效果評定

用θ?Pij?(i?=1,2,3;j?=1,2,…,N?)表示預(yù)測得到的關(guān)節(jié)角，θ?Tij?(i?=1,2,3;j?=1,2,…,N?)表示實際的關(guān)節(jié)角，(x?Tj?,y?Tj?,z?Tj?)表示實際位置，(x?Pj?,y?Pj?,z?Pj?)表示預(yù)測位置，其中i?是關(guān)節(jié)角序號，N?是測試樣本數(shù)量。評價指標(biāo)公式如下：

e?j?=θ?Tij?-θ?Pij?

(8)

(9)

式中，e?j?為預(yù)測的關(guān)節(jié)角與實際關(guān)節(jié)角間的誤差；E?j?為實際笛卡兒坐標(biāo)與預(yù)測笛卡兒坐標(biāo)之間的絕對誤差。

3 輸入點區(qū)域識別及逆運動學(xué)求解

3.1 輸入點的識別方法

由于在整個工作空間中，部分區(qū)域?qū)⒉淮嬖谒慕M逆運動學(xué)解，在進行預(yù)測前，需要確定如何選用訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。本文使用投影識別方法確定輸入點所在的工作子空間。

(1)工作子空間輪廓的投影方法。在OXY?平面中，邊界條件為θ?1的取值范圍；在OXZ?平面中，投影輪廓根據(jù)表1中各關(guān)節(jié)子空間取值范圍代入式(1)得到，其中Zone1和Zone2的θ?1都取0°，Zone3和Zone4的θ?1都取π(或-π)。

(3)識別點的判據(jù)。若θ?在Zonei?的θ?1范圍內(nèi)，且在OXZ?的投影坐標(biāo)也屬于Zonei?的輪廓范圍，則輸入點屬于Zonei?，其中有一條不符合則不屬于Zonei?。

3.2 逆運動學(xué)求解

對每個工作子空間都建立一個區(qū)域識別器Recognition Unit，簡寫為RU?i?(i?=1,2,3,4)，RU?i?與net?i?串聯(lián)且每個net?i?中有3個子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，分別為net?ij?(i?=1,2,3,4;j?=1,2,3)。當(dāng)位置輸入時，先通過每個識別器進行識別，符合其條件的，添加旋轉(zhuǎn)4矩陣，再輸入到與之對應(yīng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中求逆運動學(xué)解。

Zone1和Zone2中，p?y?>0的部分仍然用式(2)求θ?1i?，p?y?≤0的部分用式(10)求θ?1i?；Zone3和Zone4中，p?y?≤0的部分仍然用式(2)求θ?1i?，p?y?>0的部分用式(11)求θ?1i?。位于Z?軸上的點，以實際需要給予一個θ?1i?：

θ?1i?=π+arctan2p?y?,p?x?

(10)

或

θ?1i?=arctan2p?y?,p?x?-π

(11)

圖5為逆運動學(xué)求解流程圖，圖中的net?i?均表示已訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。net?i?若是有輸出，表示該點在相應(yīng)的關(guān)節(jié)子空間有逆運動學(xué)解，net?i?沒有輸出，則表示該點在相應(yīng)的關(guān)節(jié)子空間中沒有對應(yīng)的逆運動學(xué)解。輸出Qi?的個數(shù)，表示存在逆向運動學(xué)解的組數(shù)。

圖5 逆運動學(xué)求解流程Fig.5 Inverse kinematics solution flow

4 算例

4.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練及結(jié)果分析

取2.3節(jié)的M?θ?=18,I?θ?=16,H?θ?=14，Zonei?均得到4 032組樣本，使用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱創(chuàng)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，篇幅所限，僅列出Zone1中net?1j?(1,2,3)的訓(xùn)練和求解結(jié)果進行分析。

每個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)如下：net?11中,hiddenSizes?=[8,8,8];net?.trainParam?.epochs?=6 000;net?12中,hiddenSizes?=[13,12,10],net?.trainParam?.epochs?=6 000;net?13中,hiddenSizes?=[13,12,11],net?.trainParam?.epochs?=6 000。

每個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的樣本均分為訓(xùn)練樣本、校驗樣本、測試樣本，各樣本所占比例為2.2節(jié)中的默認值，net?.trainParam?.goal?均設(shè)為10-10，其余參數(shù)均設(shè)為默認值。

圖6～圖8所示分別為Zone1中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程、測試樣本中各關(guān)節(jié)角預(yù)測誤差、測試樣本中預(yù)測位置與實際位置間的絕對誤差。

(a)net11訓(xùn)練及預(yù)測均方差

(b)net12訓(xùn)練及預(yù)測均方差

(c)net13訓(xùn)練及預(yù)測均方差圖6 各BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程Fig.6 Training process of each BP neural network

在每個區(qū)域中雖然使用了3個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，但是各區(qū)域內(nèi)網(wǎng)絡(luò)依次訓(xùn)練的時間之和均在30 min內(nèi)，與文獻[11]相比，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的輪數(shù)或時間均大大減少。文獻[11]中關(guān)節(jié)角預(yù)測誤差分別為±0.06°，±0.15°，±0.05°，而本文的關(guān)節(jié)角誤差分別為±0.002°，±0.05°，±0.02°，位置誤差在0.04 mm內(nèi)。通過對比，顯然本文所用方法具有更快的收斂速度和更高的預(yù)測精度。

4.2 預(yù)測點的識別及其逆運動學(xué)求解結(jié)果

在工作空間中選3個點(表3)按圖5的流程求逆運動學(xué)解，最終結(jié)果顯示，P1有四組逆運動學(xué)解，P2在Zone1和Zone4中有逆運動學(xué)解,P3沒有逆運動學(xué)解，說明P3不在工作空間內(nèi)。表4為P1、P2分別用訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求得的逆運動學(xué)解和預(yù)測位置。

(a)關(guān)節(jié)1

(b)關(guān)節(jié)2

(c)關(guān)節(jié)3圖7 各關(guān)節(jié)角預(yù)測誤差Fig.7 Error of each joint angle prediction

圖8 位置絕對誤差Fig.8 Absolute error of position

Pipx(mm)py(mm)pz(mm)P13002001 700P2-834722600P3-100-100100

5 結(jié)論

(1)本文提出了一種基于幾何分析的多模塊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解空間3R機械手逆運動學(xué)多解的方法。

(2)進行了幾何分析，將關(guān)節(jié)空間劃分為4個只有唯一逆運動學(xué)解的子空間，對各子空間用3個BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練和求解。仿真試驗結(jié)果表明，該方法具有訓(xùn)練時間短、預(yù)測精度高的優(yōu)點。

(3)對于已訓(xùn)練好的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以通過輸入點區(qū)域識別的方法進行選擇。