摘 要：定積分是數(shù)學(xué)分析中比較常見(jiàn)的問(wèn)題，其在日常生活與生產(chǎn)中有著大量的運(yùn)用。本文就定積分在物理及其他領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單地探討。

關(guān)鍵詞：定積分；物理；應(yīng)用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.199

1 引言

數(shù)學(xué)是物理學(xué)常用的一種工具，唯有經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)才可以準(zhǔn)確展示出自然規(guī)律。唯有運(yùn)用數(shù)學(xué)才可以把握較為繁雜的變化環(huán)節(jié)以發(fā)現(xiàn)最基礎(chǔ)的規(guī)律。物理學(xué)與數(shù)學(xué)相互促進(jìn)，共同發(fā)展。定積分是積分學(xué)的重要構(gòu)成內(nèi)容，在日常生產(chǎn)與自然科學(xué)當(dāng)中有著非常多的問(wèn)題均能夠運(yùn)用定積分妥善解決，在物理學(xué)中求平均速度、電功率、功、電場(chǎng)強(qiáng)度以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等問(wèn)題。

2 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

在具體問(wèn)題當(dāng)中，物體在移動(dòng)過(guò)程中所受到的力通常是不斷概念的，此便需充分考慮變力作功的相關(guān)問(wèn)題。

若物體在變力的影響下，在軸上從點(diǎn)轉(zhuǎn)移至點(diǎn)，同時(shí)變力方向和軸完全相同。將作為積分變量，。在范圍內(nèi)的任意區(qū)間，此區(qū)間范圍內(nèi)各個(gè)點(diǎn)位的力均能夠運(yùn)用點(diǎn)處的力近似取代。

所以，可得功的微元是，點(diǎn)轉(zhuǎn)移至點(diǎn)變力所做的功是：

例 在原點(diǎn)處存在著1個(gè)帶電量為的點(diǎn)電荷，其所形成的電場(chǎng)對(duì)于附近電荷有一定的作用力?，F(xiàn)有1單位正電荷由距離原點(diǎn)a位置處的沿射線方向移動(dòng)到距離原點(diǎn)的位置，問(wèn)：電場(chǎng)力做了多少功？ 若將此單位電荷移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)的位置處，電場(chǎng)力做功多少？

解 將電荷移動(dòng)的方向看作軸正方向，則電場(chǎng)力可記作：（ 是常數(shù)）。在區(qū)間內(nèi)，通過(guò)“常代變”方式可求得微元是。

如果移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)的位置處，則做功：

在物理學(xué)當(dāng)中，將以上移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)位置處所做的功稱之為電場(chǎng)在a位置處的電位，因此可得電場(chǎng)在a位置處的電位是。

例 彈簧在拉伸環(huán)節(jié)，其所需的力和伸長(zhǎng)量成正比例關(guān)系，也就是（是比例系數(shù)）。在彈簧拉伸的時(shí)候，需要力，若想使得彈簧拉伸，問(wèn)該外力做功多少？

解 在時(shí)，；將其代入到，可得。進(jìn)而變力是，根據(jù)以上求得所得功是：

3 定積分在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用

3.1 定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

運(yùn)用定積分求解立體圖形的體積。

例 求由橢圓面所組成立體圖形的體積。

解：用平面截橢球面，便能夠獲得橢圓在平面中的正投影：

因此可得截面面積為： 。

針對(duì)所截得的若干體積基塊實(shí)施求和。第一，對(duì)和積分；第二；運(yùn)用已經(jīng)知曉的數(shù)列進(jìn)行計(jì)算；第三，求導(dǎo)便能夠獲得界。

求解可得橢球的體積為：。

在時(shí)，橢球的面積為：。

3.2 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

例 某公司制造噸商品的邊際成本是（元/噸），同時(shí)其固定費(fèi)用是元，問(wèn)：當(dāng)該產(chǎn)品的產(chǎn)量為多少時(shí)公司的平均成本最低。

解：該公司的產(chǎn)品成為：

產(chǎn)品平均成本為：。

一階導(dǎo)數(shù)：，令，便可得（舍去）。

所以，只具有一個(gè)駐點(diǎn)x1=300，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題能夠獲悉存在最小值，因此在產(chǎn)量為300噸時(shí)，該公司的平均成本可達(dá)到最低水平。

4 結(jié)論

綜上所述，定積分的發(fā)展與運(yùn)用密切相關(guān)，最早牛頓運(yùn)用定積分是為了能夠由萬(wàn)有引力推演出行星三定律。定積分的發(fā)展與運(yùn)用促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的快速發(fā)展，并且在較大程度上促進(jìn)了物理學(xué)、天文學(xué)、工程學(xué)以及化學(xué)等學(xué)科的不斷發(fā)展。經(jīng)過(guò)上述案例分析可知，定積分存在于人們?nèi)粘Ｉ钆c生產(chǎn)的各個(gè)層面，并且還能夠?qū)⑽⒃ǖ南嚓P(guān)理論運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)的生活中，以更加好的解決相關(guān)的問(wèn)題。

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作者簡(jiǎn)介：霍龍龍（1988-），男，河南濟(jì)源人，碩士研究生，助教，研究方向：數(shù)學(xué)。