楊鈞蘭 鐘哲強 翁小鳳 張彬

(四川大學(xué)電子信息學(xué)院,成都 610064)

在激光驅(qū)動的慣性約束聚變裝置中,常采用多種束勻滑手段對焦斑的時空特性進行調(diào)控.光傳輸鏈路中涉及的光學(xué)元件眾多、傳輸變換復(fù)雜,往往導(dǎo)致光傳輸模型復(fù)雜,且在運用衍射光學(xué)方法分析焦斑形態(tài)和特征時面臨大量的數(shù)據(jù)處理和計算,致使出現(xiàn)計算量大、計算效率低等問題,亟需尋求快速而簡便的新方法來描述焦斑的統(tǒng)計特征.本文利用光場特性的統(tǒng)計表征方法對靶面光場進行表征,采用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量直接描述靶面光場的統(tǒng)計特征,并基于典型焦斑評價參數(shù)對衍射光學(xué)方法和統(tǒng)計表征方法得到的遠場焦斑進行了對比和分析.結(jié)果表明,采用衍射光學(xué)方法和統(tǒng)計表征方法獲得的焦斑的瞬時特征基本一致,其時間積分的遠場焦斑有所不同,但仍可進一步采用相關(guān)系數(shù)來表征其遠場焦斑的時間變化特征.

1 引言

激光間接驅(qū)動的慣性約束聚變(inertial confinement fusion,ICF)裝置中,靶面輻照均勻性是影響靶丸有效壓縮的關(guān)鍵因素[1].目前已發(fā)展多種束勻滑技術(shù),如一維光譜角色散勻滑技術(shù)[2](1D smoothing by spectral dispersion,1D-SSD)、位相板[3](phase plate,PP)和偏振勻滑[4,5](polarization smoothing,PS)等,對靶面光斑的時域、空域和偏振特性進行控制.然而,由于在對靶面光斑特征進行計算分析時通常需要對大量的光場分布數(shù)據(jù)進行計算處理,進而采用各種評價指標對其進行表征,因而大規(guī)模的并行計算必不可少.例如,對于不含時間變量,空間采樣數(shù)N=1024 的單束光雙精度處理,需要的儲存量約為16 Gbits; 對于含時間變量,時間采樣數(shù)Nt=64的10束光雙精度處理,需要的儲存量為10 T.然而幸運的是,目前已發(fā)展了多種方法對靶面光強的統(tǒng)計特性進行表征,其中最具代表性的是在兆焦耳激光(laser mega Joule,LMJ)裝置的研究中報道了多光束下焦斑的時空統(tǒng)計特征,并對不同束勻滑方式下焦斑的尺度、脈寬和速度的統(tǒng)計分布進行了分析[6-9].此外,在束勻滑技術(shù)中,由于連續(xù)位相板(continuous phase plate,CPP)的位相分布由隨機數(shù)多次迭代獲得[10],盡管不同CPP得到的焦斑細節(jié)不盡相同,但其均具有類似的統(tǒng)計特征.因此,激光束經(jīng)過CPP的傳輸可視為激光束經(jīng)過隨機表面的傳輸過程.盡管靶面散斑在不同位置的光強變化具有很強的隨機性,而且不同束勻滑方式得到的靶面散斑隨機分布不相同,但其整體分布卻滿足一定的統(tǒng)計規(guī)律.因此,焦斑不能用常規(guī)的函數(shù)進行描述與表征,而記錄每個點的光強十分繁瑣且占用空間大,需要尋求有效的表征方法.光場特性的統(tǒng)計表征方法可以描述這種隨機過程的統(tǒng)計特征,通過合理的假設(shè)和公式推導(dǎo),根據(jù)近場光場的統(tǒng)計特性,避開從近場到遠場的數(shù)值計算,進而采用滿足一定統(tǒng)計規(guī)律的解析表達式直接對靶面光場進行描述與表征,且無需對靶面光場的每個點進行數(shù)據(jù)處理.

在以美國國家點火裝置為代表的ICF裝置中,往往采用光譜角色散勻滑技術(shù)(smoothing by spectral dispersion,SSD),CPP和偏振控制聯(lián)用的束勻滑方案[11,12].SSD的基本原理[13,14]是利用光柵對時間相位調(diào)制后的光束進行色散,使激光束在遠場的散斑產(chǎn)生掃動,從而在一定積分時間內(nèi)抹平焦斑的強度調(diào)制.為了實現(xiàn)對焦斑的超快速勻滑,還提出了基于光克爾效應(yīng)的徑向勻滑(radial smoothing,RS)方案,即利用光克爾效應(yīng)實現(xiàn)焦斑尺寸在ps量級的超快變化,從而抹平焦斑強度調(diào)制[15,16].然而,其焦斑的統(tǒng)計特性尚不清楚.本文采用光場特性的統(tǒng)計表征方法對靶面光場進行表征,利用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量對靶面光強的統(tǒng)計特征進行描述,并對上述兩種束勻滑方案下的瞬時和時間平均下焦斑的統(tǒng)計特征進行了分析.

2 理論模型

2.1 衍射積分模型

以NIF中單束激光為例,激光束經(jīng)過光譜角色散、位相板,最后傳輸?shù)浇蛊矫鎇17],如圖1(a)所示.圖1(b)則給出了激光束在徑向勻滑方案中的傳輸示意圖.

假設(shè)輸入光場為具有振幅調(diào)制和位相畸變的超高斯光束,其光場的時空分布表達式為

式中E0(t)為電場強度,σrandom為隨機振幅調(diào)制,w為激光束束腰,N為空間超高斯階數(shù),φinitial為初始位相畸變,x和y為近場坐標.

在常規(guī)SSD勻滑方案中,臨界色散對應(yīng)的色循環(huán)數(shù)為1,因此取色循環(huán)數(shù)Nc=1[18],在經(jīng)光譜角色散勻滑、三倍頻和連續(xù)相位板后,近場光場E1near可表示為

圖1 激光束傳輸和聚焦光路 (a) SSD+CPP; (b) RS+CPPFig.1.Transmission and focusing light path of laser beam：(a) SSD+CPP; (b) RS+CPP.

式中E為超高斯光場分布,ω0為入射光中心角頻率,δ為調(diào)制深度,vm為調(diào)制頻率,a為色散系數(shù),φCPP為CPP對光場的附加相位.

在RS方案中,經(jīng)過徑向勻滑裝置、三倍頻和連續(xù)相位板后,激光束的近場光場可表示為

式中 φRS為光克爾介質(zhì)引入的球面位相調(diào)制.可利用含時變光場柯林斯公式[19]計算激光束在靶面的瞬時光場分布,進而計算積分時間內(nèi)的靶面光強分布.于是,遠場瞬時光場分布為

式中 k3ω=2π/λ3ω為三倍頻后的激光束的波數(shù);L=2f,f為聚焦透鏡的焦距; B=f/β0,β0為擴束系統(tǒng)的擴束比; xf,yf為遠場坐標.

在積分時間Δt內(nèi)的靶面平均光強可表示為

式中Δt為積分時間.

2.2 光場特性的統(tǒng)計表征方法

在ICF裝置中,常采用CPP對激光束的焦斑進行空間整形[20].CPP的隨機性主要體現(xiàn)在隨機種子數(shù)上,而確定性主要體現(xiàn)在相位濾波函數(shù)上.相位濾波過程中通過改變?yōu)V波截止頻率可以獲得不同最小空間周期的CPP[21].CPP的位相分布由隨機數(shù)多次迭代獲得,保留了一定的隨機特征,同時其位相梯度也具有一定的確定性.采用最小空間周期一定而隨機數(shù)種子不同的CPP,用相同的統(tǒng)計方法提取不同CPP的位相統(tǒng)計特征,其位相的統(tǒng)計分布如圖2所示.

圖2 不同隨機數(shù)種子得到的CPP的位相統(tǒng)計分布Fig.2.Statistical distribution of the phase of CPP obtained from different random number seeds.

由圖2可知,采用不同隨機數(shù)種子設(shè)計得到CPP的統(tǒng)計位相分布大致吻合,滿足正態(tài)分布的統(tǒng)計特性.位相梯度是影響焦斑分布的關(guān)鍵物理量,能夠較好地反映光學(xué)元件引入畸變波前的低頻特性.為了進一步分析不同CPP位相分布之間的誤差,采用均方根梯度(gradient root-mean square,GRMS)表征CPP面形對遠場光場的影響[22].根據(jù)梯度的概念,CPP沿x,y方向上的位相梯度函數(shù)gx(x,y),gy(x,y)分別是CPP沿x,y方向的一階偏微分：

則CPP的總面形梯度為

g(x,y)的均方根值為CPP的均方根梯度GRMSCPP[22]：

計算最小空間周期相同而隨機數(shù)種子不同的CPP的GRMS值,得到3個CPP的GRMS值分別為0.4540,0.4480和0.4479,即采用最小空間周期相同而隨機數(shù)種子不同的CPP得到的GRMS值基本一致.由此可見,不同隨機數(shù)種子設(shè)計得到不同CPP的位相分布在一定誤差范圍內(nèi)滿足相同的統(tǒng)計規(guī)律.這說明了CPP位相分布的隨機性與確定性并存.對于這種不完全隨機的統(tǒng)計分布特征,更有利于我們從其中提取出規(guī)律性,可進一步根據(jù)CPP面形的統(tǒng)計特征推導(dǎo)出靶面光場的統(tǒng)計特征.

CPP的面形分布是連續(xù)且隨機的,因而可以將其看作一個表面高度為隨機函數(shù)的衍射光學(xué)元件[23].因此,激光束經(jīng)過CPP匯聚至靶面可視為光源照明粗糙表面產(chǎn)生散射光的過程,可以采用統(tǒng)計光學(xué)的理論模型對焦斑特性進行統(tǒng)計分析.

如圖3所示,將CPP看成許多小單元構(gòu)成的位相元件,且對激光束的附加位相滿足某一類統(tǒng)計分布.當對位相板劃分的單元數(shù)足夠多時,可用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量對瞬時焦平面進行描述：

圖3 經(jīng)CPP調(diào)制后激光束匯聚至靶面的過程Fig.3.The process of the laser beam converged to the target plane after the modulation of CPP.

式中將位相板劃分成N × N個小單元,不同小單元之間的振幅分布和位相分布不同; j,l分別是CPP橫向和縱向劃分的不同單元數(shù),h是每個子單元的口徑,F=f/h為系統(tǒng)的F數(shù),f為透鏡焦距.

在利用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量對瞬時焦斑進行描述時,(10)式滿足以下統(tǒng)計特征： 位相分布φ滿足與連續(xù)位相板位相分布相似的統(tǒng)計分布規(guī)律,而振幅概率密度函數(shù)則滿足Rayleigh分布,即

光強概率密度函數(shù)滿足負指數(shù)分布：

束勻滑方式、打靶構(gòu)型、單束和集束方式均會影響散斑的統(tǒng)計分布,因而在對瞬時焦平面光場進行描述時,(10)式中的A0和φ滿足的統(tǒng)計分布會隨著不同的束勻滑方式發(fā)生變化.對于不同的束勻滑方式,如采用KPP和RPP等空域束勻滑手段時,需要根據(jù)相應(yīng)的相位板面形的統(tǒng)計特性分析靶面光場的光強與位相統(tǒng)計特性.對于實際打靶過程中由于光學(xué)器件性能等原因引起的與理論設(shè)計之間的偏差,則需要針對具體的情況對統(tǒng)計光學(xué)表征模型加以完善和修正.

激光束經(jīng)過位相板整形后再經(jīng)過透鏡聚焦,不妨定義焦平面處電場的相關(guān)函數(shù)和相關(guān)系數(shù)[24]為

式中(x1,y1)和(x2,y2)是焦平面上的任意兩點;Δx=x1— x2,Δy=y1— y2,焦平面場的相關(guān)函數(shù)等于透鏡處光強的傅里葉變換,即滿足

式中I (a,β)為透鏡前的近場光強分布,κ是量綱為長度平方的常量.焦平面的功率譜密度函數(shù)PSDI(νx,νy)代表強度漲落功率在二維頻率平面上的分布,它等于近場光強自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換,即靶面光場的PSD可由近場光強的自相關(guān)求得.由自相關(guān)定理,PSDI(νx,νy)可表示為

對于表征靶面光場平整度的評價函數(shù)δRMS,其定義式為

式中A為焦斑的面積,Iν為焦平面的平均光強,Iobj為焦平面上不同點處的光強.

焦斑的光通量對比度的表達式為

從統(tǒng)計光學(xué)的角度表述光通量對比度,則有

由Parseval定理,可得到RMS與PSD的關(guān)系：

即光通量對比度的值的平方在一定條件下等于PSD的積分.

分析(20)式可知,PSD曲線的面積等于RMS的平方,也在一定條件下等于光通量對比度的平方.通過PSD的值與頻率間隔相乘再求和可以得到RMS以及光通量對比度.在建立了靶面光場的衍射積分模型和統(tǒng)計光學(xué)模型后,我們將利用上述模型對激光束在近場和遠場的瞬時、積分特性進行分析.

3 不同束勻滑方案下的光場統(tǒng)計特征

基于上述理論模型,我們對靶面光場特性的統(tǒng)計表征方法的可行性進行分析,并采用衍射積分模型中常規(guī)評價函數(shù)與統(tǒng)計表征方法中評價函數(shù)對不同束勻滑方式的焦斑均勻性進行分析和對比.

3.1 光場特性的統(tǒng)計表征方法表征瞬時焦斑的有效性驗證

為了驗證采用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量描述靶面光場的可行性,先對靶面光場的統(tǒng)計特性進行分析.輸入光場的參數(shù)為： 光束束腰半徑w=186 mm;超高斯階數(shù)N=6; 中心角頻率ω0=1.79 × 1015Hz;光束波長λ0=1053 nm; CPP的PV值為7.3λ0.由于CPP面形分布的隨機性,光束通過CPP后在靶面形成散斑.對該散斑的光強和位相的統(tǒng)計特性進行分析,典型結(jié)果如圖4所示.

從圖4(a)和(b)可知,激光束經(jīng)過CPP整形之后,在靶面形成散斑光強的統(tǒng)計分布近似為負指數(shù)分布,振幅的統(tǒng)計分布近似為瑞利分布,與圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量滿足相同的統(tǒng)計特征.在圖4(c)中,擬合曲線服從正態(tài)分布,可見CPP位相的統(tǒng)計分布大致為正態(tài)分布,且CPP的位相分布的統(tǒng)計特性與靶面散斑的位相分布的統(tǒng)計特性大致一致.因此,圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量中的位相分布φ應(yīng)該與CPP位相的統(tǒng)計分布一致,即滿足正態(tài)分布.

我們進一步利用衍射積分模型對激光束通過CPP后的靶面光強分布進行數(shù)值模擬,并對由圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量描述的靶面光強分布進行統(tǒng)計分析.將連續(xù)位相板視為由512 × 512位相單元組成,進而采用常規(guī)評價參數(shù)對兩種方法得到的瞬時焦斑的光強和位相兩個方面進行比較,并運用FOPAI曲線比較兩者靶面瞬時光強的不同峰值功率占總功率的份額,采用位相統(tǒng)計分布規(guī)律來比較數(shù)值求解的遠場位相分布與光場特性的統(tǒng)計表征方法得到的遠場位相分布.典型結(jié)果如圖5所示.

圖4 激光束經(jīng)過CPP整形后靶面光強和位相統(tǒng)計特征(a) CPP整形后的靶面光強分布; (b) CPP整形后的靶面振幅分布; (c) CPP位相與遠場位相統(tǒng)計分布Fig.4.The statistical characteristics of the laser beam's intensity and phase of the target plane after CPP's shaping：(a) Intensity distribution of the target plane after CPP's reshaping; (b) amplitude distribution of the target plane after CPP's shaping; (c) statistical distribution of CPP's phase and far field phase.

從圖5可以看出,在滿足統(tǒng)計光學(xué)假設(shè)的前提下,數(shù)值求解與統(tǒng)計分析得到的瞬時遠場光強分布的FOPAI曲線和位相分布的統(tǒng)計特征均能夠較好地符合,由此初步驗證了采用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量對靶面光強分布進行描述和表征是可行的.

圖5 數(shù)值求解與的瞬時遠場光強特性比較 (a)瞬時焦斑光強FOPAI對比; (b)數(shù)值求解遠場位相與解析求解遠場位相統(tǒng)計特性Fig.5.Comparison of characteristics of instantaneous farfield intensity solved by numerical analysis and that Solved by analytical solution： (a) FOPAI's comparison instantaneous focal spot intensity; (b) statistical characteristics of numerical solution far-field phase and analytical solution far-field phase.

3.2 不同束勻滑方案下焦斑的統(tǒng)計特征

下面利用光場特性的統(tǒng)計表征方法,對1DSSD+CPP和RS+CPP兩種不同束勻滑方案得到的焦斑進行統(tǒng)計特性分析.1D-SSD+CPP方案計算時所采用的參數(shù)[13]為： 光束束腰半徑w=186 mm;超高斯階數(shù)N=6; 中心角頻率ω0=1.79 × 1015Hz;調(diào)制深度δ=2.33; 調(diào)制頻率ωm=17 GHz; 光柵色散系數(shù) dθ/dλ=2156.8 μrad/nm ; 光束波長λ0=1053 nm; 三倍頻后的波長λ=351 nm; 激光調(diào)制帶寬Δλ=0.3 nm; SSD積分時間為20 ps; 透鏡焦距f=7.7 m.RS方案中計算所采用的參數(shù)[25]為： 抽運光的束腰寬度w=148.8 mm; 抽運光的峰值強度Ip=16 GW/cm2,子脈沖之間的延遲時間Td=10 ps; 子脈沖脈寬Tw=4.5 ps; 光克爾介質(zhì)選用硝基苯,其光克爾系數(shù)n2=2 × 10—18m2/W,中心厚度d=100 mm; 主激光束的計算參數(shù)與1D-SSD+CPP方案中的參數(shù)相同; 積分時間為20 ps(兩個抽運光周期); 光通量對比度的積分區(qū)域為焦斑86.5%環(huán)圍能量.1D-SSD+CPP和RS+CPP兩種束勻滑方案下的瞬時和積分時間后的焦斑PSD曲線如圖6所示.

由圖6可知,經(jīng)過CPP整形后得到的兩種瞬時焦斑統(tǒng)計特性十分相似但又不盡相同.經(jīng)過時間積分后,1D-SSD+CPP 方案得到的焦斑內(nèi)部出現(xiàn)了沿光柵色散方向的條紋狀強度調(diào)制,而RS+CPP方案因快速變焦使焦斑內(nèi)部散斑在徑向方向上產(chǎn)生掃動,其焦斑在徑向方向更為均勻,因而時間積分后兩種方案得到的焦斑在細節(jié)上不再具有相似性.由此可見,采用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量只能對瞬時的靶面光場進行描述.此外,由于CPP在設(shè)計過程中抑制了部分高頻成分,因而1D-SSD+CPP和RS+CPP兩種不同束勻滑方案的瞬時與時間積分后的PSD曲線的中低頻部分均能夠基本重合,但高頻部分卻存在差異.根據(jù)(20)式,分別對瞬時焦斑與積分時間后的焦斑PSD在頻率域進行積分,進而再對其進行開方.對于1D-SSD+CPP方案,瞬時焦斑范圍內(nèi)PSD積分開方值為1.079,積分時間后焦斑范圍內(nèi)PSD積分開方值為1.067.對于RS+CPP方案,瞬時焦斑范圍內(nèi)PSD積分開方值為1.077,積分時間后焦斑范圍內(nèi)PSD積分開方值為1.056.由此可見,上述兩種方案的瞬時與積分時間后的焦斑PSD積分再開方值均近似相等.

圖6 不同束勻滑方案下瞬時與積分焦斑的統(tǒng)計特性(a) 1D-SSD+CPP瞬時、積分焦斑及其PSD; (b) RS+CPP瞬時、積分焦斑及其PSDFig.6.Statistical characteristics of instantaneous and integral focal spots obtained by different beam smoothing schemes： (a) Instantaneous,integral focal spots and their PSD of 1D-SSD+CPP; (b) instantaneous,integral focal spots and their PSD of RS+CPP.

表1 瞬時與積分焦斑的PSD積分與光通量對比度的統(tǒng)計關(guān)系Table 1. Statistical relationship between PSD integral and luminous flux contrast of instantaneous and integral focal spots.

下面進一步對1D-SSD+CPP和RS+CPP兩種方案下的瞬時和積分焦斑統(tǒng)計特性進行了分析(表1).

由表1可知,對于四種不同方案,瞬時焦斑范圍內(nèi)的PSD積分開方值與瞬時光通量對比度均近似相等,和理論分析一致.對于1D-SSD+CPP和RS+CPP兩種束勻滑方式時間積分后,焦斑范圍內(nèi)的PSD積分下降相對較緩,而光通量對比度下降較快,兩者不再近似相等,即積分時間后PSD積分與光通量對比度之間不再滿足統(tǒng)計等價關(guān)系.

3.3 近場時間相關(guān)性與遠場均勻性

為了進一步闡明瞬時和積分時間后PSD積分與光通量對比度之間的統(tǒng)計關(guān)系,我們采用近場、遠場光強分布的時間相關(guān)系數(shù)表征SSD+CPP和RS+CPP兩種束勻滑方案在不同時刻焦斑光強的關(guān)聯(lián)程度(圖7).

圖7 不同束勻滑方案的近場、遠場的時間相關(guān)特性(a) 1D-SSD+CPP時間相關(guān)特性; (b) RS+CPP時間相關(guān)特性Fig.7.The near-field,far-field temporal and spatial correlation characteristics of different beam smoothing schemes：(a) Temporal correlation of 1D-SSD+CPP; (b) temporal correlation of RS+CPP.

由圖7可以看出,1D-SSD+CPP與RS+CPP的近場光強時間相關(guān)性強,幾乎不隨時間變化.不同時刻的近場光強相關(guān)系數(shù)均近似為1,即不同時刻的近場光強相似性很大,可視為近場光強在不同時刻的分布基本不變.PSD等于近場光強的自相關(guān),且PSD曲線的面積隨積分時間基本不變,與近場光強時間相關(guān)性強相互驗證.

在1D-SSD+CPP 方案中,遠場時間相關(guān)性隨時間增加而迅速減小,隨后在小幅度范圍內(nèi)呈周期性變化,即不同時刻遠場光場的分布不盡相同,因此,低相關(guān)性的遠場光強疊加可使遠場光場在時間積分后分布更均勻,其光通量對比度會隨積分時間增大而減小.而在RS+CPP方案中,遠場光強時間相關(guān)性隨時間呈周期性變化,且其周期與抽運光周期一致,與子脈沖之間的延遲時間 Td相等,積分時間后遠場光場分布更均勻,光通量對比度降低.這一結(jié)果與積分時間后PSD積分和光通量對比度之間不再滿足統(tǒng)計等價關(guān)系的結(jié)論相互驗證.

4 結(jié) 論

為了尋求快速而簡便的新方法來描述焦斑的特征,提出了用于描述和表征靶面焦斑光場特性的統(tǒng)計表征方法.采用圓型復(fù)數(shù)高斯隨機變量描述靶面光強的統(tǒng)計分布,且與衍射積分模型得到焦斑的FOPAI曲線和位相分布進行對比,其統(tǒng)計特征均能較好符合,說明了光場特性的統(tǒng)計表征方法能夠用于描述靶面光強的統(tǒng)計特征.通過合理的假設(shè)和公式推導(dǎo),得到了部分評價指標的解析表達式,如焦斑PSD和焦斑RMS.在此基礎(chǔ)上,分析了時間積分后的不同束勻滑方案下的遠場特性,得出了焦斑的功率譜密度和光通量對比度之間的統(tǒng)計關(guān)系,說明了光場特性的統(tǒng)計表征方法能夠很好地反映焦斑特征.與衍射積分的方法相比,光場特性的統(tǒng)計表征方法在數(shù)值計算過程中僅需根據(jù)CPP面形的統(tǒng)計特性直接獲得靶面光場統(tǒng)計分布的解析表達式,避開了從近場到遠場的數(shù)值計算過程,且無需對靶面光場的每個點進行數(shù)據(jù)處理,簡潔有效且無需大規(guī)模數(shù)據(jù)儲存及處理.