貴州省六盤水市第十中學(xué) 馬群長(zhǎng)

縱觀近幾年的高考真題，極值問題是必考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。如已知某一點(diǎn)是函數(shù)的極大（極?。┲迭c(diǎn)，求參數(shù)的取值或者參數(shù)的取值范圍等。通常情況下，學(xué)生會(huì)通過利用函數(shù)來求解極值點(diǎn)，再由極值點(diǎn)求參數(shù)值。對(duì)于高中生來說這是一個(gè)難點(diǎn)問題。為了幫助學(xué)生解決這一難點(diǎn)，本文將從函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)出發(fā)，淺談函數(shù)極值問題的求解。

一、極值的基本定理

定理1：設(shè)f(x)為一階、二階可導(dǎo)，且f'(x0)=0，那么：

（1）若且f'(x0)＜0，則x0為極大值點(diǎn)；

（2）若f''(x0)＞0，則x0為極小值點(diǎn)。

定理2： 設(shè)f(x)為一階、二階可導(dǎo)，且f'(x0)=0，那么：

（1）若x0為極大值點(diǎn)，則f''(x0)≤0；

（2）若x0為極小值點(diǎn)，則f''(x0)≥0。

同理，當(dāng)x0為極小值點(diǎn)時(shí)，f''(x0)≥0。

二、典例分析

（1）略。（2）若f(x)在x=2 處取得極小值，求a 的取值范圍。

解法1（利用定理2）：（2）易求，f''(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex。

∴f(x)在x=2處取得極小值。若a≤0.5，則當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，x-2＜0，ax-1 ≤0.5x-1＜0，∴f '(x)＞0。∴2 不是f(x)＞0 的極小值點(diǎn)。

（1）略。（2）若x=0 是f(x)的極大值點(diǎn)，求a。

解法1（利用定理2）：（2）若a ≥0，易知當(dāng)x ＞0 時(shí)，

又h(0)=f(0)=0，故x=0 是f(x)的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0 是h(x)的極大值點(diǎn)。

又∵f(x)在x=0 處取得極小值，

在x=0 的領(lǐng)域內(nèi)，當(dāng)x ＞0 時(shí)，h(x)＞0，當(dāng)x ＜0 時(shí)，h(x)＜0。

本文從極值的判定定理出發(fā)，得到了關(guān)于求解極值的不同解法。在課堂上，學(xué)生也能想到利用二階導(dǎo)數(shù)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算量。這也充分體現(xiàn)和培養(yǎng)了學(xué)生分析問題的能力、邏輯思維能力以及抽象能力等核心素養(yǎng)。