李天元，夏加寬，龍宇航，史世友，王婧妍

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng) 110870)

0 引 言

與傳統(tǒng)電勵(lì)磁電機(jī)相比，永磁電機(jī)無(wú)需勵(lì)磁繞組和勵(lì)磁電源，采取永磁體勵(lì)磁，有利于減小電機(jī)的體積與質(zhì)量，提高電機(jī)的功率密度，結(jié)構(gòu)更緊湊。由于這些優(yōu)點(diǎn)，永磁電機(jī)現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活等各個(gè)領(lǐng)域[1-2]。但是，永磁電機(jī)仍面臨由齒槽轉(zhuǎn)矩帶來(lái)的調(diào)速精度差、位置控制精度差和起動(dòng)困難等問(wèn)題，這些問(wèn)題在電機(jī)低轉(zhuǎn)速時(shí)尤其嚴(yán)重。

齒槽轉(zhuǎn)矩是由電機(jī)本體的物理結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生。永磁電機(jī)中，永磁體與對(duì)應(yīng)的齒槽結(jié)構(gòu)存在相互作用力，該作用力所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩試圖令永磁磁極與齒槽保持對(duì)齊。該轉(zhuǎn)矩即使在繞組不通電的情況下也會(huì)存在，這個(gè)轉(zhuǎn)矩就是齒槽轉(zhuǎn)矩[3]。文獻(xiàn)[4]用能量法和傅里葉分解對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行解析分析，該分析具有重要意義?；诖朔椒ǎ綎|大學(xué)王秀和教授團(tuán)隊(duì)提出了一種快速而精確的方法，推導(dǎo)了新的齒槽轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式，對(duì)計(jì)算所需的傅里葉系數(shù)采取了有限元法求解[5]。解析法的優(yōu)點(diǎn)是具有明確的表達(dá)式，各變量物理意義明確，對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的分析有據(jù)可循，能提供指導(dǎo)性意見(jiàn)。但是解析法在分析時(shí)采用了大量的假設(shè)與近似，導(dǎo)致解析法難以用于精確計(jì)算。目前，對(duì)永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的精確計(jì)算主要采用有限元法，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算結(jié)果精確。

有關(guān)齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制方法，目前已有許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此做出了深入研究，從電機(jī)本體結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò)改變電機(jī)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)來(lái)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，例如優(yōu)化極槽配合、改變永磁體形狀、定子斜槽、轉(zhuǎn)子斜極、定子開(kāi)輔助槽等。本文著重研究轉(zhuǎn)子輔助槽對(duì)永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的削減效果。國(guó)內(nèi)方面，重慶大學(xué)提出一種在表貼式永磁電機(jī)的永磁體上開(kāi)槽，從而削減齒槽轉(zhuǎn)矩的方法，發(fā)現(xiàn)磁極開(kāi)槽可有效削減齒槽轉(zhuǎn)矩，其開(kāi)槽寬度、深度之比以1∶1為宜[6]。文獻(xiàn)[7]以一臺(tái)12槽8極的永磁同步電機(jī)為研究對(duì)象，提出在轉(zhuǎn)子上設(shè)置輔助孔來(lái)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的新方法，結(jié)論表明，轉(zhuǎn)子上輔助孔的中心位置應(yīng)位于轉(zhuǎn)子永磁體d軸上，輔助孔位置、深度和尺寸均會(huì)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩幅值產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[8]提出一種削減內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的新方法，比較了轉(zhuǎn)子d軸附近不同開(kāi)槽位置，對(duì)氣隙磁密分布波形和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。浙江大學(xué)研究了轉(zhuǎn)子矩形槽和半圓形槽對(duì)表貼式永磁電機(jī)帶載運(yùn)行時(shí)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)的影響，研究表明電機(jī)的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)隨矩形槽深度的增加呈減小趨勢(shì)，隨槽寬度的增加呈先減小后增加的趨勢(shì)。當(dāng)轉(zhuǎn)子開(kāi)半圓形槽時(shí)，轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)隨槽邊緣與永磁體邊緣的距離增大而呈先減小后增大的趨勢(shì)[9]，但是其研究結(jié)果不適用于內(nèi)置式永磁電機(jī)。國(guó)外方面，韓國(guó)學(xué)者Gyu-Hong Kang等人通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)合，提出在對(duì)稱于轉(zhuǎn)子直軸位置開(kāi)設(shè)兩個(gè)輔助小槽，大小槽相結(jié)合，以優(yōu)化永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩和氣隙磁密分布，并應(yīng)用于6極9槽電機(jī)[10]。

1 解析法依據(jù)

1.1 齒槽轉(zhuǎn)矩分析

假設(shè)定、轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率無(wú)窮大，永磁材料的磁導(dǎo)率與空氣近似。因此，計(jì)算永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩時(shí)僅需考慮氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能變化，齒槽轉(zhuǎn)矩可定義為電機(jī)內(nèi)部磁能相對(duì)于定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置角的負(fù)導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式[11-13]：

(1)

式中：Tcog為齒槽轉(zhuǎn)矩；W為電機(jī)磁場(chǎng)儲(chǔ)能；α為定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置角，即定子齒中心線與對(duì)應(yīng)永磁體中心線(θ=0位置)的夾角。對(duì)永磁電機(jī)的磁動(dòng)勢(shì)和氣隙磁導(dǎo)進(jìn)行傅里葉分解，齒槽轉(zhuǎn)矩可看成是場(chǎng)函數(shù)和磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)相互作用的結(jié)果，其表達(dá)式[14]：

(2)

對(duì)于內(nèi)置式永磁同步電機(jī)，一個(gè)定子齒距內(nèi)齒槽轉(zhuǎn)矩的周期數(shù)：

(3)

HCF(z,2p)為定子槽數(shù)和極數(shù)的最大公約數(shù)，齒槽轉(zhuǎn)矩每個(gè)周期的機(jī)械角度[15]：

(4)

引起內(nèi)置式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的諧波次數(shù)由該電機(jī)的極槽數(shù)配合所決定，其表達(dá)式：

(5)

式中：LCM(z,p)為定子槽數(shù)z和極對(duì)數(shù)p的最小公倍數(shù)。不同極槽數(shù)配合時(shí)，永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的諧波含量次數(shù)不同。若想削弱永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，必須削弱其對(duì)應(yīng)諧波次數(shù)的諧波分量。

1.2 弧形輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱

由式(2)可知，削弱場(chǎng)函數(shù)f(φ,θ)中的諧波分量，可有效減小永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，場(chǎng)函數(shù)中引起齒槽轉(zhuǎn)矩的最低頻率：

(6)

轉(zhuǎn)子弧形輔助槽削減永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的原理是利用轉(zhuǎn)子弧形輔助槽所產(chǎn)生的諧波來(lái)抵消場(chǎng)函數(shù)中未開(kāi)槽時(shí)的諧波含量。假設(shè)永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子開(kāi)槽后對(duì)氣隙體積的影響忽略不計(jì)，此時(shí)滿足以下公式：

-cos[fc·2p(φ+θ)]

(7)

式中：A為氣隙體積；β為定子槽寬所占機(jī)械角度的一半；α為輔助槽在轉(zhuǎn)子上的位置；γ為弧形輔助槽所占弧度。此時(shí)滿足式(7)的一個(gè)解：

(8)

弧形輔助槽的尺寸受弦長(zhǎng)與深度的影響，根據(jù)式(8)，則弧形輔助槽的弦長(zhǎng)可由下式表達(dá)：

(9)

根據(jù)解析法式(8)和式(9)，可選擇合適的開(kāi)槽位置和弧形輔助槽弦長(zhǎng)，以有效削減永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。但由于解析法在求解過(guò)程中作出了較多假設(shè)處理，其對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的計(jì)算只能用于定性分析，解析所得的結(jié)果只能用于粗略估算。因此，本文在實(shí)際探究齒槽轉(zhuǎn)矩削弱效果時(shí)，在解析法基礎(chǔ)上，利用有限元法使齒槽轉(zhuǎn)矩的計(jì)算更加快速、精確。

2 有限元仿真分析

2.1 原始電機(jī)結(jié)構(gòu)

選取一臺(tái)額定功率為30kW、額定轉(zhuǎn)速為12 078 r/min的6極36槽內(nèi)置式永磁同步電機(jī)為研究對(duì)象，該電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

不設(shè)任何轉(zhuǎn)子輔助槽的原始電機(jī)模型如圖1所示。由于永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩在電機(jī)低轉(zhuǎn)速時(shí)顯得較為明顯，本文選取的是該電機(jī)轉(zhuǎn)速在2 000 r/min時(shí)的空載工況。

表1 電機(jī)模型的參數(shù)

圖1 電機(jī)原始模型

目前，在電機(jī)轉(zhuǎn)子中最常見(jiàn)的輔助槽是矩形槽和半圓形槽，兩種輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的削減程度有所不同，但均面臨共同的缺點(diǎn)，轉(zhuǎn)子開(kāi)槽后的氣隙磁密波形發(fā)生的畸變較大，諧波含量高，而經(jīng)優(yōu)化計(jì)算過(guò)的弧形轉(zhuǎn)子輔助槽可明顯解決上述問(wèn)題。

2.2 轉(zhuǎn)子矩形輔助槽

不同的輔助槽形、不同的輔助槽尺寸、不同的開(kāi)槽位置對(duì)內(nèi)置式永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩都有著顯著的影響。如圖2所示，在電機(jī)轉(zhuǎn)子永磁體中心線上開(kāi)矩形槽，經(jīng)有限元分析計(jì)算，當(dāng)矩形槽的槽寬為7 mm、槽深為2.4 mm時(shí)，電機(jī)獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩可達(dá)到最小值。

由圖3可見(jiàn)，原始電機(jī)模型的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為4.994 N·m，電機(jī)轉(zhuǎn)子經(jīng)過(guò)開(kāi)矩形槽后，其齒槽轉(zhuǎn)矩幅值減小為1.385 N·m，降低比率約為72%。

圖2 轉(zhuǎn)子矩形槽模型

圖3 轉(zhuǎn)子矩形輔助槽的 齒槽轉(zhuǎn)矩

由式(3)和式(4)可知，該電機(jī)模型在10 ms下機(jī)械角度旋轉(zhuǎn)1/3周期，即齒槽轉(zhuǎn)矩在10 ms內(nèi)應(yīng)有12個(gè)周期。矩形槽對(duì)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的12、24次諧波明顯減小，但矩形槽對(duì)電機(jī)注入了更多的36次諧波，導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩的周期發(fā)生了變化。

2.3 轉(zhuǎn)子半圓形輔助槽

在轉(zhuǎn)子永磁體中心線上開(kāi)半圓形槽時(shí)，電機(jī)模型如圖4所示。經(jīng)有限元分析計(jì)算，當(dāng)半圓形槽的半徑為3.6 mm時(shí)，電機(jī)獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩可達(dá)最小，其幅值為1.327 N·m，下降比率約為73.4%，齒槽轉(zhuǎn)矩波形與原始電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩波形的對(duì)比如圖5所示。與矩形槽相比，轉(zhuǎn)子半圓形輔助槽對(duì)原始電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩削減程度幾乎相同，齒槽轉(zhuǎn)矩的12、24和36次諧波含量基本相同，兩種槽型削弱內(nèi)置式永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的能力也幾乎相同。

圖4 轉(zhuǎn)子半圓形槽模型

圖5 轉(zhuǎn)子半圓形輔助槽的齒槽轉(zhuǎn)矩

2.4 轉(zhuǎn)子弧形輔助槽

為進(jìn)一步削減內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，優(yōu)化電機(jī)氣隙磁密波形，本文將輔助槽形優(yōu)化成弧形槽，其模型如圖6所示。弧形槽的主要尺寸受弦長(zhǎng)和深度兩個(gè)參數(shù)所影響。當(dāng)開(kāi)槽位置固定不變時(shí)，不同弦長(zhǎng)與不同深度的弧形槽對(duì)于齒槽轉(zhuǎn)矩的影響有所不同。

圖6 轉(zhuǎn)子弧形槽模型

利用ANSYS軟件對(duì)新的電機(jī)模型進(jìn)行瞬態(tài)場(chǎng)有限元分析，作空載瞬態(tài)場(chǎng)有限元分析時(shí)應(yīng)注意對(duì)電機(jī)的氣隙部分的精密剖分。求解后可發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子開(kāi)弧形槽后，電機(jī)的氣隙磁密仍發(fā)生一定的畸變，通過(guò)氣隙磁密飽和區(qū)域的寬度和角度的改變，從而削減了原始電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩。4種電機(jī)模型的氣隙磁密波形如圖7所示。由圖7可知，轉(zhuǎn)子矩形輔助槽和半圓形輔助槽的氣隙畸變量大，且畸變程度幾乎相同。與轉(zhuǎn)子矩形輔助槽和半圓形輔助槽相比，弧形輔助槽的氣隙磁密畸變量相對(duì)較小。

圖7 氣隙磁密分布

保持轉(zhuǎn)子弧形輔助槽的開(kāi)槽位置與弦長(zhǎng)不變，利用有限元參數(shù)化的方法，探究輔助槽深度與內(nèi)置式永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩大小的影響，所得結(jié)果如圖8所示，此時(shí)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩隨輔助槽深度的減小會(huì)大幅度減小，當(dāng)減小到一個(gè)臨界值后，開(kāi)始呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)。該電機(jī)模型的轉(zhuǎn)子輔助槽臨界深度為1.1 mm，此時(shí)該內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩可達(dá)到最小值。

圖8 不同輔助槽深度下的齒槽轉(zhuǎn)矩

采用與上述相同的方法，保持開(kāi)槽位置與槽深固定，研究弧形輔助槽不同弦長(zhǎng)對(duì)永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。由圖9可見(jiàn)，永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩先隨著轉(zhuǎn)子輔助槽弦長(zhǎng)的減小而減小，在減小到弦長(zhǎng)臨界值時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩開(kāi)始呈現(xiàn)增加趨勢(shì)。該永磁同步電機(jī)的臨界弦長(zhǎng)為6.8 mm，此時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩幅值約為114 mN·m，與原始電機(jī)模型相比，其齒槽轉(zhuǎn)矩減小了97.6%，轉(zhuǎn)子弧形輔助槽對(duì)原電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的削減效果明顯。

圖9 不同輔助槽弦長(zhǎng)下的齒槽轉(zhuǎn)矩

3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

由上述不同弦長(zhǎng)、不同槽深的弧形輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響的研究可知，樣機(jī)轉(zhuǎn)子輔助槽在弦長(zhǎng)6.8 mm、槽深1.1 mm時(shí)，對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的削減效果達(dá)到最佳。與轉(zhuǎn)子矩形和半圓形輔助槽相比，弧形輔助槽帶來(lái)的削減效果非常明顯，其齒槽轉(zhuǎn)矩削減效果對(duì)比如圖10所示。同時(shí)，分析不同輔助槽模型的各次諧波幅值發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)子開(kāi)弧形槽后電機(jī)的12次諧波分量幅值和24次諧波分量幅值最小，其諧波含量的對(duì)比如圖11所示。對(duì)于極數(shù)為6、槽數(shù)為36的內(nèi)置式永磁同步電機(jī)來(lái)說(shuō)，其齒槽轉(zhuǎn)矩的變化情況主要由12n次諧波分量的變化所決定，因此驗(yàn)證了仿真結(jié)果的正確性。

圖10 齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比

圖11 轉(zhuǎn)矩諧波含量比較

由圖12顯示，經(jīng)優(yōu)化后的電機(jī)，與原電機(jī)模型相比，其空載反電動(dòng)勢(shì)的正弦性也得到了明顯優(yōu)化，諧波含量明顯減小。轉(zhuǎn)子開(kāi)弧形槽對(duì)電機(jī)最主要的影響還是齒槽轉(zhuǎn)矩得到了明顯的削弱，齒槽轉(zhuǎn)矩的減小有助于提高永磁電機(jī)的調(diào)速精度和位置控制精度，減小電機(jī)振動(dòng)和噪聲，并進(jìn)而提高永磁電機(jī)性能。

圖12 空載反電動(dòng)勢(shì)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在解析法分析基礎(chǔ)上，通過(guò)有限元法計(jì)算一個(gè)永磁電機(jī)實(shí)例，研究了轉(zhuǎn)子齒開(kāi)不同形狀、不同尺寸的輔助槽對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。研究表明，弧形輔助槽與矩形槽和半圓形槽相比，對(duì)永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的削減效果最佳，其諧波分量最小。另外，弧形槽的深度與弦長(zhǎng)均存在臨界值，隨著弦長(zhǎng)增加，齒槽轉(zhuǎn)矩先減小后增加；隨著槽深增加，齒槽轉(zhuǎn)矩先減小后增加。深度與弦長(zhǎng)同取臨界值時(shí)，弧形輔助槽對(duì)永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的削減效果達(dá)到最優(yōu)，同時(shí)空載反電動(dòng)勢(shì)的正弦性也得到了明顯優(yōu)化。對(duì)轉(zhuǎn)子弧形輔助槽的合理設(shè)計(jì)和優(yōu)化可以有效抑制齒槽轉(zhuǎn)矩，進(jìn)而提高電機(jī)的控制精度。