王譯晗，杜秀霞

(北京交通大學(xué)，北京100044)

0 引 言

近年來(lái)，無(wú)速度傳感器感應(yīng)電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)受到了越來(lái)越多的重視，其關(guān)鍵技術(shù)在于采用軟測(cè)量方法代替實(shí)際轉(zhuǎn)速傳感器實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速控制，具有安裝簡(jiǎn)便、成本低廉、魯棒性高等優(yōu)點(diǎn)[1-5]。

無(wú)速度傳感器感應(yīng)電機(jī)矢量控制常用的轉(zhuǎn)速觀測(cè)法有卡爾曼濾波器法[6]，MRAS法[7]及全階觀測(cè)器法[8]等。其中，全階觀測(cè)器法是目前主流的轉(zhuǎn)速觀測(cè)方法。這些方法的基本原理都是基于數(shù)學(xué)模型估計(jì)轉(zhuǎn)速，但由于感應(yīng)電機(jī)具有非線性、多變量、強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，使得估計(jì)轉(zhuǎn)速與感應(yīng)電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速之間始終存在著一定程度的誤差，這種誤差對(duì)調(diào)速系統(tǒng)的矢量控制產(chǎn)生了重要影響。

為了解決無(wú)速度傳感器感應(yīng)電機(jī)在極低速發(fā)電運(yùn)行時(shí)存在不穩(wěn)定的問(wèn)題，提高感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)精度，消除矢量控制系統(tǒng)誤差，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了系列研究和大量嘗試。例如，一些學(xué)者基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，推導(dǎo)了感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)的自適應(yīng)律[9-10]。有的學(xué)者利用自適應(yīng)控制理論，推導(dǎo)出了感應(yīng)電機(jī)低速發(fā)電運(yùn)行不穩(wěn)定區(qū)域的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩邊界條件[11]。還有學(xué)者從雙時(shí)間角度出發(fā)，將全階觀測(cè)器分解為轉(zhuǎn)速辨識(shí)系統(tǒng)與磁鏈觀測(cè)系統(tǒng)，提出了改善全階磁鏈觀測(cè)器平滑切換的反饋矩陣設(shè)計(jì)方法[12]。

受上述研究思路啟發(fā)，本文嘗試?yán)美钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論以及勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，設(shè)計(jì)建立一種能夠提高感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速估計(jì)精度的誤差反饋矩陣。同時(shí)，擬通過(guò)進(jìn)一步的轉(zhuǎn)速觀測(cè)零極點(diǎn)分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，來(lái)證明所提反饋矩陣的正確性和有效性。

1 數(shù)學(xué)模型及低速發(fā)電運(yùn)行不穩(wěn)定分析

1.1 感應(yīng)電機(jī)狀態(tài)方程

(1)

1.2 全階觀測(cè)器模型

根據(jù)數(shù)學(xué)模型式(1)，可設(shè)計(jì)感應(yīng)電機(jī)全階觀測(cè)器：

(2)

將式(1)和式(2)做差處理，得到觀測(cè)器狀態(tài)誤差方程：

(3)

根據(jù)Popov穩(wěn)定性定律，由式(3)可得到感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)自適應(yīng)率：

在中國(guó)人的心中，語(yǔ)文是最神圣的學(xué)科，因?yàn)檫@門(mén)學(xué)科是人們相互交流思想的漢語(yǔ)工具，是人們用來(lái)積累和開(kāi)拓精神財(cái)富的一門(mén)學(xué)問(wèn)。而漢語(yǔ)拼音有幫助識(shí)字、幫助說(shuō)好普通話、幫助閱讀、幫助查字典等功能。因此，拼音教學(xué)是學(xué)好語(yǔ)文、學(xué)好普通話的基礎(chǔ)，在語(yǔ)文教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用，拼音教學(xué)離不開(kāi)一些最基本的教學(xué)要求。

(4)

1.3 低速發(fā)電不穩(wěn)定性推導(dǎo)

不考慮反饋矩陣H，對(duì)式(3)做拉氏變換，可得：

(5)

式中:s是拉普拉斯算子。

求解式(5)，電流誤差可以表示：

(6)

式中，傳遞函數(shù)表示：

Gω(s)=-cTrs[(sI-A22)(sI-A11)-A12A21]-1

(7)

如果傳遞函數(shù)Gω(s)嚴(yán)格正實(shí)，則需要滿足：

(8)

當(dāng)電機(jī)同步頻率ωe=0時(shí)，無(wú)法滿足傳遞函數(shù)正實(shí)的要求，即定子電流零頻時(shí)，轉(zhuǎn)速不可觀測(cè)。當(dāng)滿足同步頻率ωe≠0時(shí)，將式(7)代入式(8)，可以得到最終的同步頻率限制條件：

(9)

2 反饋矩陣設(shè)計(jì)

2.1 轉(zhuǎn)速觀側(cè)不穩(wěn)定性

在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，式(6)可以表示：

(10)

(11)

為保證轉(zhuǎn)速觀測(cè)的穩(wěn)定性，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)式(11)的零點(diǎn)位置應(yīng)位于s平面的左側(cè)。在無(wú)反饋矩陣時(shí)，圖1驗(yàn)證了開(kāi)關(guān)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布。圖1(a)是在轉(zhuǎn)速為30 r/min時(shí)的低速發(fā)電區(qū)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖。所有的極點(diǎn)都在s平面的左側(cè)，而一些零點(diǎn)在s平面的右側(cè)。圖1(b)是在額定負(fù)載下的低速發(fā)電區(qū)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖，有些零點(diǎn)在s平面的右邊。因此在沒(méi)有反饋矩陣時(shí)，無(wú)速度傳感器感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)在低速發(fā)電區(qū)運(yùn)行時(shí)存在不穩(wěn)定。

(a) 30 r/min工況下轉(zhuǎn)矩變化

(b) 額定負(fù)載下轉(zhuǎn)速變化

2.2 反饋矩陣設(shè)計(jì)

為了提高速度估計(jì)方案的穩(wěn)定性，引入了反饋矩陣。針對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，應(yīng)用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性定律，速度估計(jì)器穩(wěn)定性的充要條件可以表示:

(12)

求解式(12)，可得一組反饋矩陣的取值：

(13)

式中：k0。

根據(jù)式(2)，在全階觀測(cè)器中引入反饋矩陣式(13)，圖2(a)是在轉(zhuǎn)速30 r/min時(shí)的低速發(fā)電區(qū)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)圖。圖2(b)是在額定負(fù)載下的低速發(fā)電區(qū)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)圖。與圖1相比，開(kāi)關(guān)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)都位于s平面的左側(cè)，從而保證無(wú)傳感器感應(yīng)電機(jī)速度觀測(cè)器的穩(wěn)定性。

(a) 30 r/min工況下轉(zhuǎn)矩變化

(b) 額定負(fù)載下轉(zhuǎn)速變化

基于全階觀測(cè)器的無(wú)傳感器感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)的低速發(fā)電運(yùn)行不穩(wěn)定區(qū)域，可以由兩條邊界線D1和D2描述。

(14)

由式(14)可知，邊界線D1和D2之間的不穩(wěn)定區(qū)域如圖3所示。隨著式(13)的反饋增益的提出，通過(guò)將邊界線D2旋轉(zhuǎn)到D1，減小不穩(wěn)定區(qū)域，從而理論上保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖3 有反饋矩陣時(shí)不穩(wěn)定區(qū)示意圖

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文的反饋矩陣方法的有效性，在2.2 kW的感應(yīng)電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)參數(shù)

為了驗(yàn)證系統(tǒng)在低速發(fā)電區(qū)的穩(wěn)定性，在感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為60 r/min時(shí)，為了讓感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行在發(fā)電區(qū)，增加與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速同方向的負(fù)載并逐漸增大負(fù)載至80%額定值，此時(shí)，同步頻率從60 r/min逐漸減小。從圖4(a)可以看出，當(dāng)發(fā)電負(fù)載轉(zhuǎn)矩到額定負(fù)載的80%時(shí)，采用傳統(tǒng)方法的無(wú)傳感器感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)器變得不穩(wěn)定，估計(jì)轉(zhuǎn)速不能收斂于實(shí)際值，轉(zhuǎn)矩電流波動(dòng)劇烈。這是因?yàn)橄到y(tǒng)到達(dá)了圖3的不穩(wěn)定區(qū)域邊界D2。對(duì)比圖4(b)，在相同的實(shí)驗(yàn)條件下，采用該方法的感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)器保持穩(wěn)定。對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明，該方法可以提高無(wú)傳感器感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)器在低速發(fā)電區(qū)的精度和穩(wěn)定性。

(b) 改進(jìn)方法

如圖5所示，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在低速運(yùn)行和再生運(yùn)行范圍內(nèi)進(jìn)行轉(zhuǎn)速反轉(zhuǎn)時(shí)的性能。在80%額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速?gòu)?0 r/min變化到-60 r/min。結(jié)果表明，采用該方法的無(wú)速度傳感器感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速觀測(cè)器在電機(jī)低速發(fā)電區(qū)轉(zhuǎn)速反轉(zhuǎn)過(guò)程中具有良好的估計(jì)精度和穩(wěn)定性。

圖5 80%額定負(fù)載工況下轉(zhuǎn)速正反切換實(shí)驗(yàn)

如圖6所示，無(wú)傳感器感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為零時(shí)，對(duì)所提出的反饋矩陣設(shè)計(jì)進(jìn)行了測(cè)試。無(wú)速度傳感器感應(yīng)電機(jī)在80%額定負(fù)載轉(zhuǎn)矩下運(yùn)行，轉(zhuǎn)子速度從60 r/min到0，轉(zhuǎn)速為零保持10 s。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該系統(tǒng)在零轉(zhuǎn)速下運(yùn)行良好。

圖6 80%負(fù)載工況下零速實(shí)驗(yàn)

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種基于穩(wěn)定性的反饋矩陣設(shè)計(jì)方法，通過(guò)確保估計(jì)轉(zhuǎn)速開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的所有零點(diǎn)都有負(fù)實(shí)部，保證了估計(jì)轉(zhuǎn)速在所有轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。由勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定了全階觀測(cè)器誤差反饋矩陣的取值范圍。同時(shí)，本文通過(guò)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分析證明所設(shè)計(jì)的誤差反饋矩陣能提升系統(tǒng)的低速發(fā)電運(yùn)行性能。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)誤差反饋矩陣的正確性和有效性。