吳江濤 胡定玉 方 宇 朱文發(fā)

(上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院 上海 201620)

0 引言

波束形成[1]是一種應(yīng)用于信號波達(dá)方向(Direction of arrival,DOA)估計(jì)、聲源定位的空間濾波處理方法，在汽車、航天、軍事等領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用，并在多聲源定位領(lǐng)域得到發(fā)展[2]。目前已發(fā)展出多種波束形成算法，其中多重信號分類(Multiple signal classification, MUSIC)算法利用噪聲子空間來最大化聲源信號，較傳統(tǒng)波束形成算法、Capon算法在抑制噪聲能力、定位效果準(zhǔn)確性上有明顯優(yōu)勢。

MUSIC 算法最早由Schmidt[3]提出，并迅速在語音識別、三維聲源定位等方向得到研究并應(yīng)用[4?5]。以MUSIC 算法作為基礎(chǔ)，加權(quán)MUSIC 算法[6]及改進(jìn)MUSIC 算法[7?8]進(jìn)一步提高了MUSIC 算法的準(zhǔn)確性及適用性。為提高M(jìn)USIC 算法抗干擾能力，Gardner[9]將信號的循環(huán)平穩(wěn)特性用于DOA估計(jì)，黃知濤等[10]利用信號的循環(huán)平穩(wěn)特性提出了循環(huán)互相關(guān)MUSIC 算法，王超等[11]改進(jìn)了預(yù)濾波MUSIC 算法，提高了目標(biāo)聲源分辨率。一系列的研究進(jìn)一步提高了該算法的抗干擾能力及運(yùn)算速度，但現(xiàn)有算法存在中低頻段定位效果不準(zhǔn)確及聚焦效果較差的問題。

針對MUSIC 算法在中低頻段分辨率低及聚焦性能差這一缺點(diǎn)，本文提出基于Group Lasso[12]改進(jìn)的MUSIC 算法，通過Group Lasso 算法增強(qiáng)MUSIC 算法聲源定位聚焦效果。優(yōu)化算法中，將MUSIC 算法計(jì)算結(jié)果作為Group Lasso 算法初始值，將導(dǎo)向矩陣與測量值作為Group Lasso 算法輸入變量，通過組間L1 范數(shù)正則化，對掃描聲源面信息進(jìn)行稀疏篩選，且使用L2范數(shù)并加入閾值截?cái)噙M(jìn)行組內(nèi)計(jì)算。通過仿真分析，證明基于Group Lasso的MUSIC 算法具有增強(qiáng)中低頻段聲源定位分辨率及聚焦性能的優(yōu)勢。

1 基于Group Lasso的MUSIC算法聲源定位

1.1 MUSIC算法聲源定位原理

MUSIC算法在波束形成算法基礎(chǔ)上，將由測量信號得到的協(xié)方差矩陣分為信號子空間和噪聲子空間，利用噪聲子空間來最大化空間掃描聲源面聲源點(diǎn)輸出值，獲取高分辨率結(jié)果和優(yōu)良聚焦性能[3]。MUSIC算法傳聲器陣列測量值Z表達(dá)式為

式(1)中，s為K ×1 維聲源信號，K為聲源數(shù)；n為M ×1 維噪聲信號，Z是M ×1 維向量。A=[a1,a2,··· ,aK]為M ×K維導(dǎo)向矩陣[13]，其中a為導(dǎo)向向量，對于近場聲源定位問題，采用球面波假設(shè)，其表達(dá)式為

式(2)中，rk,m為第k個(gè)聲源到第m個(gè)傳聲器的距離，τk,m為第k個(gè)聲源到第m個(gè)傳聲器的聲輻射傳播時(shí)間，f為聲源頻率。MUSIC 算法原理是根據(jù)噪聲子空間特征向量與導(dǎo)向矩陣列向量正交的關(guān)系來獲取掃描點(diǎn)輸出值，為得到噪聲與信號子空間，首先得到協(xié)方差矩陣

式(3)中，I為總的采樣數(shù)，協(xié)方差矩陣RZ可分解為信號子空間RS和噪聲子空間Rn，即RZ=RS+Rn。其中，RS=USΣSUHS，US表示信號子空間特征向量，ΣS表示信號子空間特征值；Rn=UnΣnUHn，Un表示噪聲子空間特征向量，Σn表示噪聲子空間特征值。對RZ進(jìn)行特征值分解可得到

式(4)中，UZ為協(xié)方差矩陣特征向量，ΣZ=diag[λ1,··· ,λM]為對應(yīng)于特征向量的特征值且特征值λ1> λ2>,··· ,> λM，特征向量正定(UZUHZ=UHZ UZ=IM)，IM為M維單位矩陣。

信號子空間的協(xié)方差矩陣為實(shí)對稱陣，因特征值和特征向量的秩都為K(聲源個(gè)數(shù))，則信號子空間特征向量US和噪聲子空間特征向量Un可表示為

因?yàn)镽ZUn=ARSAHUn+σ2Un，σ2為噪聲方差，且RZUn=σ2Un，可得到

式(7)中，RS滿秩，非奇異，存在逆矩陣，因此當(dāng)且僅當(dāng)AHUn= 0 時(shí)，式(7)滿足導(dǎo)向矩陣A中各列向量與噪聲子空間正交的要求，UHn ak=0。當(dāng)a為掃描聲源面非聲源點(diǎn)到傳聲器陣列的導(dǎo)向向量時(shí)，通過噪聲子空間法得到MUSIC 算法在第k個(gè)掃描聲源點(diǎn)處的聲功率相對值

式(8)中，akei2πfrk/c為掃描聲源到測量陣元面的導(dǎo)向向量，rk為掃描聲源點(diǎn)k到傳聲器陣列的距離向量。當(dāng)UHn ak= 0 時(shí)，MUSIC 算法在該掃描點(diǎn)輸出值較大，反之輸出值較小，MUSIC 算法最大化了聲源點(diǎn)處的輸出值，因此有較高的空間分辨率[13]。

1.2 基于Group Lasso的MUSIC算法

MUSIC 算法在高頻聲源定位分辨率及聚焦性較好，能夠清晰地反映聲源位置，但在中低頻時(shí)出現(xiàn)分辨率低，聚焦性能差的缺點(diǎn)，無法滿足應(yīng)用要求。本文對其使用Group Lasso 算法進(jìn)行優(yōu)化，需要輸入信息有待求量初始值y、測量值Z、導(dǎo)向矩陣A。Group Lasso 算法第一步需對y和A進(jìn)行分組，即y= [yH1,yH2,··· ,yHN]H和A= [A1,A2,··· ,AN]。Group Lasso代價(jià)函數(shù)為

式(9)中，β為懲罰項(xiàng)的正則化系數(shù)，通過β來控制y的稀疏程度。

在Group Lasso 算法組間應(yīng)用L1 范數(shù)正則化，導(dǎo)致在組水平上擁有稀疏性，此為提高M(jìn)USIC 算法中低頻分辨率及聚焦程度的關(guān)鍵因素。在組內(nèi)應(yīng)用L2 范數(shù)正則化，使得組內(nèi)數(shù)據(jù)平滑[14]。MUSIC算法聲源定位在聲源點(diǎn)位置掃描結(jié)果往往會有較突出的信號值，因此為了提高結(jié)果的分辨率及聚焦度，需要在組內(nèi)循環(huán)中加入閾值，以截?cái)郙USIC 算法中低頻環(huán)境產(chǎn)生的虛影，該閾值通過動態(tài)范圍給出，可保證信號位置信息不被破壞，且提高算法的分辨率及聚焦性能。

優(yōu)化算法過程如下：

(1)定義組間迭代次數(shù)i，以式(8)中yk為初始優(yōu)化目標(biāo)。

(2)確定分組數(shù)，本文以掃描點(diǎn)數(shù)量為分組依據(jù)，設(shè)定組長度，n=1,2,··· ,N，n為分組數(shù)。

(3)在第n組計(jì)算時(shí)，首先確定本組殘差值

式(10)中，r(i)n為第n組殘差值，Ak、yk分別為第n組的導(dǎo)向向量和MUSIC 算法輸出值。并通過交叉驗(yàn)證確定β值，作為判斷該組進(jìn)行組內(nèi)循環(huán)的依據(jù)。

式(11)中，α為梯度值，當(dāng)前后兩次迭代誤差小于10?3時(shí)停止第j次迭代，并使用動態(tài)范圍計(jì)算閾值來截?cái)噍敵鲋祔k。動態(tài)范圍pmax為初始輸入值的最大值，本文pmin為初始輸入值的最小值。選擇0.1 倍的動態(tài)范圍作為截?cái)嚅撝礟c，即

當(dāng)輸出值小于Pc時(shí)輸出為零，否則該輸出值保持不變。

(5)組內(nèi)循環(huán)結(jié)束，輸出該組y(i)n值。

(6)重復(fù)步驟(3)～(5)，當(dāng)前后兩次迭代誤差小于10?3時(shí)停止第i次迭代，得到輸出值y。

2 基于Group Lasso的MUSIC仿真

2.1 仿真設(shè)計(jì)

Group Lasso MUSIC 優(yōu)化算法的目的是提高中低頻環(huán)境下聲源定位分辨率及聚焦性能，針對此目的設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)。第一，在低信噪比且信噪比恒定、掃描面位置與仿真聲源面位置重合情況下，分別在單源和多源時(shí)分析Group Lasso MUSIC 算法在中低頻對聲源定位聚焦性能和分辨率的優(yōu)化效果；第二，在低信噪比且信噪比恒定、聲源為中低頻環(huán)境下，改變掃描面到聲源面的距離d，驗(yàn)證Group Lasso MUSIC 算法對聲源定位聚焦性能的優(yōu)化效果。

圖1 隨機(jī)傳聲器陣列陣元分布圖Fig.1 Random microphone position map

仿真采用如圖1所示的30 陣元隨機(jī)傳聲器陣列，陣列半徑為0.15 m。圖2為仿真示意圖，包括聲源所在平面、掃描面、陣列面，其中，聲源面到掃描面距離為d，聲源面到陣列面距離為D=1 m不變。距離d是由于聲源位置測量不準(zhǔn)確導(dǎo)致的誤差，在實(shí)際應(yīng)用中，可能由于環(huán)境原因無法準(zhǔn)確獲取真實(shí)的距離D。

2.2 仿真分析

2.2.1 仿真1

設(shè)置聲源為點(diǎn)聲源，位于原點(diǎn)位置，信噪比為5 dB，聲源面到掃描面距離d= 0，聲源面到陣列面距離D= 1 m，分析在中低頻聲源情況下，Group Lasso MUSIC 算法的優(yōu)化效果。單聲源優(yōu)化結(jié)果如圖3所示，圖3(a)、圖3(c)、圖3(e)分別為200 Hz、600 Hz、1000 Hz 時(shí)MUSIC 算法計(jì)算結(jié)果，從這三幅圖中可看出，隨著聲源頻率提高，聲源位置的分辨程度逐漸提高，聲源主瓣寬度逐漸縮小，聚焦性能呈增強(qiáng)趨勢，但聚焦程度仍然低。

圖2 仿真示意圖Fig.2 Schematic diagram of simulation

圖3(b)、圖3(d)、圖3(f)為基于Group Lasso 的MUSIC 算法優(yōu)化結(jié)果，從這三幅圖中可以看出，優(yōu)化后的MUSIC算法聲源定位效果受頻率影響極小。Group Lasso MUSIC 算法經(jīng)過對聲源點(diǎn)稀疏篩選，聚焦性能較MUSIC算法有極大提高。

在單聲源仿真基礎(chǔ)上，將聲源增加為雙聲源驗(yàn)證算法對多聲源聲場環(huán)境適應(yīng)性及穩(wěn)定性。圖4(a)、圖4(c)、圖4(e)分別為雙聲源MUSIC 算法200 Hz、600 Hz、1000 Hz的計(jì)算結(jié)果，相較于單聲源，雙聲源MUSIC算法結(jié)果分辨率要差。經(jīng)Group Lasso算法優(yōu)化后，如圖4(b)、圖4(d)、圖4(f)，對于200 Hz仿真結(jié)果，稀疏程度并沒有其他兩者高，但主瓣寬度明顯下降，分辨率顯著提高。600 Hz 與1000 Hz 優(yōu)化效果較好，分辨率提升明顯，本文算法對中低頻多聲源環(huán)境有較好的適應(yīng)性，效果穩(wěn)定。

圖3 仿真1 MUSIC 算法與本文算法效果對比圖Fig.3 Comparison of MUSIC algorithm in simulation 1 and algorithm in this paper

圖4 仿真1 雙聲源MUSIC 算法與本文算法效果對比圖Fig.4 Dual source comparison of MUSIC algorithm in simulation 1 and algorithm in this paper

2.2.2 仿真2

在仿真1 單聲源參數(shù)保持不變情況下，分析1000 Hz 固定頻率下、掃描面與聲源面不重合(即)時(shí)Group Lasso MUSIC算法優(yōu)化效果。在多數(shù)實(shí)際測量中，無法準(zhǔn)確獲取陣列面到聲源面距離，因此會存在誤差，本文中誤差量為d。仿真2旨在說明隨著誤差d的變化，本文算法的穩(wěn)定性。

圖5 仿真2 MUSIC 算法與本文算法效果對比圖Fig.5 Comparison of MUSIC algorithm in simulation 2 and algorithm in this paper

如圖5所示，圖5(a)、圖5(c)為MUSIC 算法聲源定位效果圖，圖5(a)中，聚焦面邊緣出現(xiàn)輕微虛影，說明在情況下，MUSIC 算法效果變差。圖5(c)中，當(dāng)d= 0.7 m 時(shí)虛影值已超過聲源值，對聲源位置的判斷造成了嚴(yán)重干擾，分辨率及聚焦性能極差。經(jīng)Group Lasso MUSIC 算法優(yōu)化后，如圖5(b)、圖5(d)所示，算法有效地抑制了虛影產(chǎn)生，并提高了聚焦性能及分辨率。

3 結(jié)論

Group Lasso MUSIC算法將傳統(tǒng)MUSIC算法計(jì)算結(jié)果作為初始值，通過Group Lasso 算法，經(jīng)組間稀疏、組內(nèi)截?cái)嗟忍幚?，改進(jìn)了MUSIC 算法在中低頻時(shí)，聲源定位分辨率低、聚焦性能差的缺點(diǎn)。本文算法對于中低頻環(huán)境單源和多源都有較好效果，對掃描面與聲源面不重合時(shí)MUSIC 算法出現(xiàn)的計(jì)算失真情況得到了有效控制。在低信噪比環(huán)境下，本文算法能夠?qū)β曉礈?zhǔn)確定位，穩(wěn)定性與適應(yīng)性較高。