李均浩 劉文紅

(1 上海電機學院電氣學院 上海 201306)

(2 上海電機學院電子信息學院 上海 201306)

0 引言

機電設備故障診斷有許多種方法，故障聲故障定位能夠不接觸設備，通過采集設備的聲場信息和陣列處理技術，確定聲源的位置，直觀地找到故障源，進而查明故障的原因，例如變速箱噪聲控制[1]、空調壓縮機異常聲定位[2]和風機氣動噪聲源定位[3]。聲源定位系統(tǒng)是微型、獨立且可移植的，對于大型設備檢測系統(tǒng)復雜的情況，可以從某些故障具有發(fā)聲的特征運用聲源定位技術補充設備故障診斷系統(tǒng)[4]?；跁r延估計的聲源定位中，時延估計算法性能對定位的效果有直接的影響。文獻[5]對空調外機故障聲和背景噪聲進行分析建模，故障聲信號的低信噪比和脈沖噪聲的影響要求時延估計算法能夠處理這些狀況。

相關法時延估計是運用最廣泛的算法。文獻[6]對二次相關法進行改進，銳化峰值位置，時延估計效果好于二次相關法和相關法。文獻[7]進行二次相關算法后，對相關峰值由希爾伯特差分法進一步改善。文獻[8]通過實驗對比相關、共變、分數低階協(xié)方差算法，證明分數低階算法更具有魯棒性。文獻[9]提出共變相關算法，能夠抑制脈沖噪聲，低信噪比下估計精度高于共變法和相關法。相關法只能對時延估計值整數位進行估計，對一些低頻故障聲源[10]進行定位，若采樣頻率只滿足采樣定理，分數位的誤差對定位影響很大；提高信號的采樣率能夠提高時延估計的分辨率，但相關峰值就不尖銳，不易找到峰值的位置；同時提高采樣率在硬件實現上亦增加了難度。

提高時延估計分辨率有兩種方法，一種方法是插值，另一種方法是直接估計出非整數時延。文獻[11]首先用相關法求時延估計值，然后用sinc 函數對一個序列進行時延處理，時延值為采樣周期的一定百分比，再進行相關運算，與之前的峰值進行比較，得到更精確的時延估計值；若要提高分辨率，則要在此前基礎上重復這一過程，分辨率仍然受影響。文獻[12]用時延估計方法對電站鍋爐進行高溫測量，基于背景噪聲非常接近高斯過程時，為了克服在低時變信噪比下估計電站鍋爐內精確時間延遲的困難，研究了基于四階累積量的顯式時延增益估計算法。文獻[13]提出一種基于最小平均p范數的非整數自適應時間延遲估計方法，稱為LMPFTDE算法，在高斯噪聲和脈沖噪聲環(huán)境都具有良好的魯棒性，算法的代價函數為多峰函數，但時延值在D ?0.5 與D+0.5 之間(D為時延真值)，代價函數是單峰的，需要其他算法對時延估計值先進行整數位的準確估計，作為迭代初始值來估計非整數的時延真值。

在滿足采樣定理的采樣率下，考慮故障信號的低信噪比和噪聲含有脈沖信號的特點，本文通過兩步對時延估計值進行更準確的估計。首先將觀測序列進行自共變和互共變運算，將共變序列進行相關法時延估計，得到時延估計值的整數位，作為非整數自適應時延估計算法的初始值；然后將共變序列作為LMPFTDE算法的輸入信號，實現在低采樣率下對時延估計值更加準確的估計。

1 α穩(wěn)定分布和共變

1.1 α穩(wěn)定分布

α穩(wěn)定分布是一種廣義的高斯模型[14]，根據廣義中心極限定理，它是唯一的一類構成獨立同分布隨機變量之和的極限分布，高斯分布是其子類。高斯分布和α穩(wěn)定分布的區(qū)別在于：高斯分布具有指數拖尾，α穩(wěn)定分布具有代數拖尾。所以α穩(wěn)定分布能夠更好地描述噪聲中的脈沖過程。

除少數幾種情況外，α穩(wěn)定分布的概率密度函數沒有解析的表達式。特征函數和概率密度函數是互相唯一確定的關系，特征函數本質上是概率密度函數的傅里葉逆變換，它們都可以完全描述一個隨機分布的統(tǒng)計特性，下面是α穩(wěn)態(tài)分布的特征函數介紹。

則隨機變量X服從α穩(wěn)定分布。

式(1)中參數α為特征指數，它決定α穩(wěn)定分布的脈沖性程度。α值越小，所對應分布的拖尾越厚，樣本的脈沖性越顯著；反之，α值變大，所對應分布的拖尾變薄，樣本的脈沖性減弱。當α= 2 時，α分布對應高斯分布，α穩(wěn)態(tài)分布是廣義的高斯分布。參數β確定分布的斜度，γ是分散系數，它是樣本相對于均值分散程度的度量，a為位置參數，對應α穩(wěn)定分布的中值或均值。

1.2 共變

共變[15]是一種分數低階統(tǒng)計量(Fractional lower order statistics, FLOS)，它在SαS分布(對稱α穩(wěn)定分布)隨機變量中的作用類似于協(xié)方差在高斯分布隨機變量中的作用。兩個滿足的聯(lián)合SαS分布隨機變量x和y，其共變定義為

式(4)中，S表示單位圓；μ(?)表示SαS分布隨機向量(x,y)的譜測度；由于譜測度μ(?)不易得到，因此，實際中常常通過分數低階距(Fractional lower order moment,FLOM)來獲得共變。兩個滿足的聯(lián)合SαS分布隨機變量x和y，其共變與FLOM具有如下的關系：

式(5)中，γy為隨機變量y的分散系數。

共變具有的一些性質[15]在α穩(wěn)定信號處理和分析中起著重要的作用。

性質1 共變[X,Y]α對第一變元x是線性的，即如果x1、x2和y服從聯(lián)合SαS，

式(6)中，A和B為任意實數。

性質2 如果y1和y2是獨立的，且x、y1和y2服從聯(lián)合SαS，則

式(7)中，A和B為任意實數。

性質3 如果x和y是獨立的且服從聯(lián)合SαS，則[X,Y]α= 0。反之，通常是不成立的。當α= 2時，即x和y服從零均值的聯(lián)合高斯分布時，x和y的共變就退化為x和y的協(xié)方差，

2 算法分析

2.1 信號噪聲模型

假定兩個接收信號x1(n)和x2(n)滿足下面的離散信號模型：

其中，λs(n ?D)為相對于s(n)的延遲源信號，λ為衰減因子(為了簡便通常取λ= 1)，v1(n)、v2(n)分別為兩個接收端接收到的背景噪聲，服從α穩(wěn)定分布。假定信號與噪聲、噪聲與噪聲是統(tǒng)計獨立的。

2.2 共變相關算法

互共變[x1(n),x2(n)]p?1和自共變[x1(n),x1(n)]p?1可以寫為

由于假定了信號s(n)和噪聲v1(n)、v2(n)是統(tǒng)計獨立的，依據共變的性質，

式(10)和式(11)可以化簡為

因此，x1(n)和x2(n)的互共變Rc12(m)，x1(n)的自共變Rc11(m)分別為

原始序列經過自共變和互共變后，自共變序列可以看作是互共變序列經過移位并加入一個干擾Ccδ(m)而得到的，共變序列保留了原始序列的相位信息，削弱了不相干噪聲干擾，提高信噪比，但在處理數據有限的情況下，干擾噪聲不會為零。經共變處理的原始數據進行互相關時延估計的估計效果在相同信噪比和脈沖環(huán)境要好于直接進行互相關法和共變法[9]。

2.3 LMPFTDE算法

LMPFTDE 算法[13]用一個系數為sinc 采樣函數的濾波器來擬合時間延遲，可以直接對時間延遲真值為非整數采樣間隔的情況進行估計。在實際應用中，信號和噪聲的統(tǒng)計特性以及信噪比等都有可能隨時間變化，自適應濾波器的權系數是輸入信噪比與時間延遲真值的二元函數?？紤]時間延遲和信噪比兩個因素來進行濾波器權系數的修正，將濾波器分為兩級級聯(lián)，一級用于適應信噪比的變化，另一級用于跟蹤時間延遲，則可以將時間延遲和信噪比的自適應過程解耦，從而改善時間延遲估計的性能。輸出誤差e(n)在n時刻為

這是一個二維的非線性優(yōu)化問題，運用松弛法，將其解耦轉化為兩個一維的優(yōu)化問題，分別對增益和時間延時進行迭代，以求得最優(yōu)解，在一定的時間延遲范圍內，代價函數J為單峰函數，有唯一的最小值，故采用最速下降法，利用梯度技術，并以誤差信號的瞬時值代替統(tǒng)計平均。自適應迭代公式為

雖然代價函數E{|e(n)|p}中包含sinc 函數，它是多峰的，但是可以通過限制初始值的取值范圍D ?1

2.4 改進的非整數自適應時延估計算法

本文首先對兩個接收信號x1(n)、x2(n)求互共變序列Rc21，接收信號x2(n)的自共變序列Rc11，削弱不相關噪聲，保留原始接收信號x1(n)、x2(n)之間的時延信息，提高信噪比，抑制脈沖噪聲，信號長度增加一倍，可以進行更多次迭代，更多的迭代值參考可以使時延估計值更接近真實值。接著將Rc21、Rc11當作等效的時間序列作為LMPFTDE 算法的輸入信號，LMPFTDE算法的代價函數為多峰函數，直接進行迭代算法可能不收斂，迭代值在D?0.5與D+0.5之間(D為時延真值)，代價函數是單峰的，所以用相關法時延估計對Rc11、Rc21先進行時延估計值整數位估計，將得到的估計值，作為LMPFTDE算法時延值迭代的初值。最后進行自適應時延估計，求出更高分辨率的時延估計值。改進的非整數自適應時延估計算法的原理框圖如圖1所示。

圖1 改進的非整數自適應時延估計算法Fig.1 Improved fractional adaptive time delay estimation algorithm

3 計算機仿真實驗

下面通過計算機仿真實驗，將本文改進的非整數自適應時延估計算法與LMPFTDE 算法的估計性能進行比較。根據信號和噪聲模型構造兩路接收信號，其中帶限平坦譜的源S(n) 由高斯白噪聲通過帶寬為0.2 的6 階巴特沃茲低通濾波器產生，脈沖性噪聲由服從α穩(wěn)定分布的信號來模擬，混合信噪比MSNR= 10 lg(σ2S/γv)[13]設定，其中σ2S表示源信號的方差；γv表示噪聲的分散系數，取信號的長度n=10000，延遲信號s(n ?D)由的61階FIR濾波器產生，設時延真值D=3.2TS，迭代初值為3TS。共變序列的長度為20000 點，以下結果均為50 次獨立實驗的平均。

實驗1 在相同α值和MSNR 條件下，p= 1.1，α=1.5，MSNR=0 dB，LMPFTDE算法和改進算法迭代步長μg、μD均為0.09。觀察LMPFTDE 算法和改進算法收斂曲線，如圖2、圖3所示。

LMPFTDE 算法和改進后的時延估計算法，輸入信號的長度表示算法能夠進行迭代的次數。LMPFTDE 算法的輸入信號長度為10000，能進行的最多迭代次數為10000；改進算法輸入信號為20000，能進行的最多迭代次數為20000。

從圖2、圖3和表1可得出，兩種算法在收斂到10000 點時，LMPFTDE 算法能夠收斂到接近真值，改進算法能夠收斂到真值附近，且此后在真值附近波動。用收斂過程迭代時延值的中位數作為時延估計值，改進算法迭代值的中位數更接近時延真值，改進算法的均方根誤差小于LMPFTDE算法。

圖2 LMPFTDE 算法收斂曲線Fig.2 Convergence curve of LMPFTDE algorithm

圖3 改進算法收斂曲線Fig.3 Convergence curve of the improved algorithm

表1 LMPFTDE 算法和改進算法的估計性能比較Table1 Performance comparison on LMPFTDE algorithm and the improved algorithm

實驗2 相同α值、不同MSNR 條件下，比較LMPFTDE 算法和改進算法的估計精度。取α= 1.5，MSNR 以5 dB 的間隔從?15 dB 變化到15 dB，兩種算法估計值的均方根誤差如圖4、圖5所示。

實驗條件：p= 1.1，時延收斂因子與信噪比迭代步長為相等的參數，其參數以0.02 的間隔從0.01變化到0.35 的18組參數，每組參數得到的結果用一條折線表示。

圖4與圖5分別是以18 組參數的LMPFTDE算法和改進算法仿真的均方根誤差結果，粗實線表示某一參數下算法估計較好的結果。單條折線中，改進算法在?5 dB 到8 dB 的最低均方誤差均低于LMPFTDE 算法的最低均方誤差，改進算法的時延收斂因子與信噪比迭代步長為0.19。在不同信噪比下，改進算法的最低均方根誤差均要低于LMPFTDE 算法，但其不在一條折線上。表明參數的選擇對算法性能有很大影響，在不同環(huán)境下選用合適的參數，能夠獲得更好的估計效果。

實驗3 相同MSNR、不同α值條件下，比較LMPFTDE 算法和改進算法的估計精度。取MSNR=0 dB，α以0.2的間隔從1.2變化到2，兩種算法估計值的均方根誤差如圖6、圖7所示。

實驗條件：p= 1.1，時延收斂因子與信噪比迭代步長為相等的參數，其參數以0.02 的間隔從0.01變化到0.35的18組參數。

圖6與圖7分別是以18 組參數的LMPFTDE算法和改進算法仿真的均方根誤差結果，粗實線表示某一參數下算法估計的較好的結果。α在1.6 到2區(qū)間，LMPFTDE算法估計的最低均方根誤差小于改進算法的最低均方根誤差，且LMPFTDE算法最低均方誤差在一條折線上，其時延收斂因子與信噪比迭代步長為0.19。在整個區(qū)間上，改進算法的較低均方根誤差在同一條折線上，曲線平穩(wěn)，其時延收斂因子與信噪比迭代步長為0.29；在α= 1.2 到1.6中，LMPFTDE 算法估計誤差較改進算法較大。表明可以選取對應參數，使其在不同脈沖強度下均有較好的估計性能。

圖4 LMPFTDE 算法的估計精度(α=1.5)Fig.4 Estimation accuracy of LMPFTDE algorithm(α=1.5)

圖5 改進算法的估計精度(α=1.5)Fig.5 Estimation accuracy of the improved algorithm (α=1.5)

圖6 LMPFTDE 算法的估計精度(MSNR=0 dB)Fig.6 Estimation accuracy of LMPFTDE algorithm(MSNR=0 dB)

圖7 改進算法的估計精度(MSNR=0 dB)Fig.7 Estimation accuracy of the improved algorithm (MSNR=0 dB)

4 結論

共變相關算法適用于處理低信噪比信號，對含脈沖噪聲有好的抑制作用，能夠對時延值的整數位進行準確的估計；用共變對原始信號進行處理并作為LMPFTDE算法的輸入信號，輸入信號長度增加一倍，可以進行更多次迭代，使時延估計值更接近真實值，消除不相關噪聲，提高信噪比，保留原始序列的相位信息；將共變相關算法得到的時延估計值作為LMPFTDE算法迭代初值，最后求得非整數時延估計值。非整數自適應時延估計算法原理上也是一種互相關算法，對寬帶信號的處理性能要好于窄帶。

實驗1 對比了兩種算法的收斂過程及估計結果，分析改進算法的優(yōu)勢。實驗2 模擬不同信噪比，對兩種算法進行仿真實驗，結果表明改進算法估計精度好于LMPFTDE算法，并給出改進算法的參數。實驗3模擬不同脈沖環(huán)境噪聲，對比LMPFTDE算法與改進算法估計的均方根誤差，得到改進算法在整個區(qū)間都有好的估計效果的一組參數。

LMPFTDE 算法將迭代的初始值限定在一定范圍，在這一個范圍內，時延估計值是單峰函數，可以通過變步長方法使自適應收斂過程的穩(wěn)態(tài)波動更小和具有較快的收斂速度，并且不需要考慮收斂到局部最優(yōu)解。