■河南省淮陽中學 韓 偉

1.定義集合A，B 的一種運算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}。若A={1，2，3}，B={1，2}，則集合A*B 中所有元素的和_____。

分析：由A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，知A*B={2，3，4，5}，由此能求出集合A*B 中所有元素的和。

解：因為A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，所以A*B={2，3，4，5}。

所以集合A*B 中所有元素的和為2+3+4+5=14。

點評：本題考查集合的概念，解題時要認真審題，注意新定義的靈活運用。

2.若命題“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”為假命題，則實數a 的取值范圍是____。

分析：根據所給的特稱命題寫出其否定命題：任意實數x，使ax2+4x+a＞0，根據否定命題是假命題，得到判別式大于0，解不等式即可。

解：已知命題“存在x∈R，使ax2+4x+a≤0”的否定是“任意實數x，使ax2+4x+a＞0”，因為該否定命題是真命題，所以解得a＞2，即a 的取值范圍為(2，+∞)。

點評：本題主要考查命題的否定，解題的關鍵是寫出正確的全稱命題，并且根據這個命題是一個真命題，得到判別式的情況。

分析：利用復數的運算法則、純虛數的定義即可得出。

解：已知a 為實數，若復數=a+3-i是純虛數，則a+3=0，解得a=-3。

點評：本題主要考查復數的運算法則、純虛數的定義，考查同學們的推理能力與計算能力，屬于基礎題。

分析：根據函數的單調性得到關于x 的不等式，解不等式即可。

解：當x＞0時，f(x)在(0，+∞)上單調遞增。

因為f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函數，故f(x)在(-∞，0)上單調遞減。

若f(x-1)＞f(x)，則|x-1|＞|x|，即(x-1)2＞x2，解得，故x 的取值范圍為

點評：本題主要考查函數的單調性問題，考查轉化思想，屬于中檔題。

數a 的取值范圍是_____。

分析：利用函數的單調性，將函數值的大小關系轉化為自變量的關系，得出關于a 的不等式是解決本題的關鍵。

解：f(x)=2-x-1在(-∞，0)上是單調遞減函數，f(x)=-x2-2x 在(0，+∞)上是單調遞減函數。

而函數f(x)在x=0處連續(xù)，所以函數f(x)在R 上是單調遞減函數。

而f(a2-2)＞f(a)，所以a2-2＜a，解得-1＜a＜2。

故a 的取值范圍為(-1，2)。

點評：本題主要考查利用函數的單調性進行函數值與自變量大小關系的轉化問題，考查解不等式求字母取值范圍的思想和方法，屬于中檔題。

6.若函數f(x)對定義域內的任意x1，x2，當f(x1)=f(x2)時，總有x1=x2，則稱函數f(x)為單純函數。例如：函數f(x)=x 是單純函數，但函數f(x)=x2不是單純函數，現有下列命題：

③若函數f(x)為其定義域內的單純函數，x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；

④若函數f(x)是單純函數且在其定義域內可導，則在其定義域內一定存在x0使其導函數f'(x0)=0。

其中正確的命題為_____。(填上所有正確命題的序號)

分析：利用單純函數的定義進行判斷，即可得出結論。

解：由單純函數的定義可知單純函數f(x)的自變量和函數值是一一映射，因此單調函數一定是單純函數，但單純函數不一定是單調函數，故①③正確。

函數f(x)=x 是單純函數，但其定義域內不存在x0使其導函數f'(x0)=0，故④錯誤。

綜上，正確的命題為①③。

點評：本題主要考查新定義，函數的性質及應用，簡易邏輯，屬于中檔題。

分析：作出f(x)的圖像，令t=f(x)-1，即f(x)=1+t，m=f(t)，討論m 的范圍，求得t的范圍，進而得到滿足題意的范圍。

解：作出函數f(x)=的圖像，如圖1所示。

令t=f(x)-1，所以f(x)=1+t，m=f(t)。

若m＜0時，t＞1，f(x)＞2無解。

若m=0時，t=1，f(x)=2無解。

圖1

若m=1時，t=0，t+1=1，f(x)=1有一解，不符合題意。

若m＞1時，f(x)無解。

綜上，可得x1+x2＜-ln 2。

點評：本題主要考查函數方程思想，數形結合思想，分類討論思想，解題時注意不等式的性質，屬于難題。

8.設函數f(x)=sin ωx(0＜ω＜2)，將f(x)的圖像向左平移個單位后所得函數圖像的對稱軸與原函數圖像的對稱軸重合，則ω=____。

分析：先求出變換后所得函數圖像對應的函數解析式為y=sin，再由所得函數圖像的對稱軸與原函數圖像的對稱軸重合，可得ω=kπ，k∈Z，結合ω 的范圍，可得ω 的值。

解：把函數f(x)=sin ωx 的圖像向左平移個單位后，所得函數圖像對應的函數解析式為

點評：本題主要考查函數y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，以及正弦函數的對稱性，屬于中檔題。

9.設函數y=f(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2∈D，當x1+x2=2a 時，恒有f(x1)+f(x2)=2b，則稱點(a，b)為函數y=f(x)圖像的對稱中心。研究函數f(x)=2x+3cos-3的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，則可以得到的值為____。

分析：根據題意知函數f(x)圖像的對稱中心坐標為(1，-1)，即x1+x2=2時，總有f(x1)+f(x2)=-2，再利用倒序相加，即可得到結果。

解：函數f(x)=2x+3cos-3，所以f(1)=2-3=-1。

當x1+x2=2 時，f(x1)+f(x2)=2x1+2x2+3cos-6=2×2+0-6=-2，所以f(x)的對稱中心為(1，-1)。

點評：本題主要考查函數對稱性的應用問題，屬于中檔題。

10.如圖2所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F 分別是棱AA'，CC'的中點，過直線EF 的平面分別與棱BB'，DD'交于M，N，給出以下四個命題：

圖2

①平面MENF 一定為矩形；

②平面MENF⊥平面BDD'B'；

③當M 為BB1的中點時，菱形MENF的面積最??；

④四棱錐A-MENF 的體積為常數。

以上命題中正確命題的序號為_____。

分析：由EF⊥BD，EF⊥BB'，得EF⊥平面BDD'B'，平面MENF⊥平面BDD'B'，判斷②正確；由EF⊥平面BDD'B'，得EF⊥MN，再由MF∥EN，ME∥NF，得MENF為菱形，判斷①錯誤；由菱形MENF 的面積公式，得M 為BB'的中點時，MENF 的面積最小，判斷③正確；計算四棱錐A-MENF 的體 積 為V=V三棱錐M-AEF+V三棱錐N-AEF=DB×S△AEF為常數，判斷④正確。

解：因 為EF ⊥BD，EF ⊥BB'，BD ∩BB'=B，所以EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，故②正確。

因為EF ⊥平面BDD'B'，MN ?平面BDD'B'，所以EF⊥MN。因為MF∥EN，ME∥NF，所以四邊形MENF 為菱形，故①錯誤。

因為四棱錐A-MENF 的體積為V=V三棱錐M-AEF+V三棱錐N-AEF×DB×S△AEF為常數，故④正確。

綜上，正確的命題是②③④。

點評：本題主要考查空間中的平行與垂直關系的應用問題，以及空間幾何體體積的計算問題，是一道綜合題。

11.一個幾何體的三視圖如圖3所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積是_____，表面積是_____。

圖3

分析：由三視圖可知，該幾何體是如圖4所示的三棱錐，其中側面PAC ⊥面ABC，△PAC 是邊長為2 的正三角形，PO=為底面上的高，△ABC 中邊AC=2，邊AC 上的高OB=1，據此可計算出表面積和體積。

解：由三視圖可知，該幾何體是如圖4所示的三棱錐，其中側面PAC ⊥面ABC，△PAC是邊長為2 的正三角形，所以AC=2，PO=，在△ABC 中，邊AC 上的高OB=1。

圖4

幾何體的表面積S=S△PAC+S△ABC+

點評：本題主要考查由三視圖求幾何體的體積和表面積，根據已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關鍵。

12.如圖5，過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F 的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為_____。

圖5

分析：根據過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F 的直線l交拋物線于點A，B，作AM，BN 垂直準線于點M，N，根據|BC|=2|BF|，且|AF|=3，由拋物線的定義，可得∠NCB=30°，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|=x，而，且，可求得p 的值，即可求得拋物線的方程。

解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，如圖6，作AM，BN 垂直準線于點M，N，則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|。又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，所以∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6。設|BF|=a，則2a+a+3=6，得a=1。

圖6

(pk2+2p)=0，即有所以

所以拋物線的方程為y2=3x。

點評：本題主要考查拋物線的定義，以及用待定系數法求拋物線的標準方程。體現了數形結合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計算，屬于中檔題。

分析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓的方程，兩式相減，根據線段AB 的中點坐標為(1，-1)，求出斜率，進而可得a，b 的關系，根據右焦點為F(3，0)，求出a，b 的值，即可得出橢圓的方程。

解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

因為右焦點為F(3，0)，所以a2-b2=9，所以a2=18，b2=9。

點評：本題主要考查橢圓的方程，以及點差法的運用，考查同學們的計算能力，屬于中檔題。

14.P(x，y)是 直 線kx+y+3=0 上 的一個動點，PA，PB 是 圓C：x2+y2-4y=0的兩條切線，A，B 是切點，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k 的值為____。

分析：根據題意畫出圖形，結合圖形知圓心C 到直線l 的距離最小時四邊形面積最小，由此求出k 的值。

解：根據題意畫出圖形，如圖7所示。

圓C：x2+y2-4y=0 化為標準方程是x2+(y-2)2=4。

圖7

由圓的切線的性質知S四邊形PACB=2S△PCB=2××|PB|·|BC|=2|PB|=

所以當|PC|最小時，面積取得最小值。

而|PC|最小即為點C 到直線l：kx+y+3=0的距離為d。

點評：本題主要考查直線與圓的方程應用問題，考查同學們的數形結合能力，屬于中檔題。

分析：拋物線y2=4cx 的準線：x=-c，它正好經過雙曲線=1(a＞0，b＞0)的左焦點，準線被雙曲線C 截得的弦長為be2，得出a 和c 的關系，從而求出離心率的值。

解：因為拋物線y2=4cx 的準線：x=-c，它正好經過雙曲線=1(a＞0，b＞0)的左焦點，所以準線被雙曲線C 截得的弦長為。

所以2c4=9a2(c2-a2)，所以2e4-9e2+9=0，解得。

又過焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左右兩支各有一個交點，所以。

點評：本題主要考查直線方程、直線和雙曲線的位置關系，以及由圓錐曲線的方程求焦點、離心率、雙曲線的三參數的關系：c2=a2+b2，注意雙曲線與橢圓的區(qū)別。

16.某種活性細胞的存活率y(%)與存放溫度x(℃)之間具有線性相關關系，樣本數據如表1所示：

表1

經計算得回歸直線的斜率為-3.2。若存放溫度為6 ℃，則這種細胞存活率的預報值為_____%。

分析：由題意求出代入公式求得a的值，從而得到回歸直線方程；代入x=6即可得答案。

解：由題意，設回歸直線方程為y=-3.2x+a，因為回歸直線方程_過樣本中心，由表中數據可得=50，代入回歸方程可得a=53.2。

所以回歸直線方程為y=-3.2x+53.2。

當x=6時，可得y=-3.2×6+53.2=34。

點評：本題主要考查線性回歸直線方程的求法，考查最小二乘法，屬于基礎題。

17.甲、乙兩個小組各10 名學生的英語口語測試成績的莖葉圖如圖8所示。現從這20名學生中隨機抽取一人，將“抽出的學生為甲小組學生”記為事件A；“抽出的學生英語口語測試成績不低于85分”記為事件B。則P(A|B)的值是____。分析：由莖葉圖，確定P(A)=，P(B)=，P(AB)=，再利用條件概率公式，即可求得結論。

圖8

解：從這20 名學生中隨機抽取一人，基本事件總數為20個。

將“抽出的學生為甲小組學生”記為事件A，則事件A 包含的基本事件有10 個，故

“抽出學生的英語口語測試成績不低于85分”記為事件B，則事件B 包含的基本事件有9個，故

點評：本題主要考查概率的計算，條件概率，考查同學們從莖葉圖中提取信息的能力和計算能力，屬于中檔題。

18.3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有2位女生相鄰，則不同排法的種數是____種。(用數字作答)

分析：先考慮3 位女生中有且只有2 位相鄰的排列，減去在3 位女生中有且僅有2位相鄰且男生甲在兩端的排列。

解：先考慮3 位女生中有且只有2 位相鄰的排列共有C23A22A24A33=432(種)。

在3位女生中有且僅有2位相鄰且男生甲在兩端的排列有2 ×144(種)。

所以不同的排列方法共有432-144=288(種)。

點評：本題主要考查排列組合及簡單的計數原理，解題的關鍵是在計算時要做到不重不漏，把不合題意的去掉。

19.某購物廣場前要建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖9所示，現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法共有____種(用數字作答)。

圖9

分析：本題可以用分步原理與分類原理相結合來求解本題。

解：第一步栽種1，有4種選擇；第二步栽種2，有3 種選擇；第三步栽種3，有2 種選擇；第四步栽種4 時，要分類討論，若4 栽種的花的顏色與2同，則此時5有2種栽種方法，6有1種栽種方法，若4栽種的花的顏色與2不同，則4有1種栽種方法，若5與2栽種的花的顏色相同，則6有2種栽種方法，若5栽種的花的顏色與2不同，則5有1種栽種方法，6也是1種栽種方法。

故不同的栽種方法數共有4×3×2×[1×2×1+1×(1×2+1×1)]=120(種)。

點評：本題主要考查計數原理的應用，解題的關鍵是正確理解題意，用加法原理與乘法原理對栽種方法進行計數。本題比較抽象，易因為分類不清或找不到合適的分類方法導致答案錯誤，故解題時要注意分步與分類是否合理，有沒有重復與遺漏的現象。

20.已知(1+2x)6的展開式中的二項式系數的最大值為a，系數的最大值為b，則= ____。

分析：根據二項式系數的性質求得a，利用展開式的通項公式求得系數的最大值b，再求的值。

解：由題意可得=20。

點評：本題主要考查二項式系數的性質及通項公式的應用問題，屬于中檔題。

21.某校有老師200 人，男學生1 200人，女學生1 000人，現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為N 的樣本，已知從女學生中抽取的人數為80，則N=_____。

分析：先求分層抽樣的比例，然后求得女學生中抽取總人數的比例，從而求出抽取樣本容量。

解：由題意可得200∶1 200∶1 000=1∶6∶5，所以從女學生中抽取總人數的，故N=80÷=192。

點評：本題考查分層抽樣，分層抽樣的優(yōu)點是：使樣本具有較強的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法。因此分層抽樣是一種實用性與操作性強、應用比較廣泛的抽樣方法。

22.某班開展一次智力競賽活動，共a，b，c 三個問題，其中a 題滿分是20分，b，c 題滿分都是25分。每道題或者得滿分，或者得0 分。活動結果顯示，全班同學每人至少答對一道題，有1名同學答對全部三道題，有15名同學答對其中兩道題。答對a 題與b 題的人數之和為29，答對a 題與c 題的人數之和為25，答對b 題與c 題的人數之和為20。則該班同學中只答對一道題的人數是_____；該班的平均成績是_____。

分析：利用方程組求出答對a 題，b 題，c題的人數，再計算答對一題的人數和平均成績即可。

解：設xa，xb，xc分別表示答對a 題，b題，c 題的人 數，則有解得xa=17，xb=12，xc=8。

所以答對一題的人數為37-1×3-2×15=4。

所以全班人數為1+4+15=20。

點評：本題主要考查求平均數與解方程組的應用問題，是一道綜合題。