■河南省淮陽中學 王大中

分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，結合兩點間的距離公式及點到直線的距離公式進行求解即可。

解：作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖1所示。設z=x2+y2，則z 的幾何意義是區(qū)域內的點到原點距離的平方，由圖像知A 到原點的距離最大，點O 到直線BC：2x+y-2=0的距離最小。

圖1

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，涉及距離的計算容易出錯，利用數形結合思想是解決本題的關鍵。

例2已知數列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為____。

分析：由累加法求出an=33+n2-n，所以+n-1，設f(n)=+n-1，由此能導出n=5或6時f(n)有最小值。借此能得到的最小值。

解：因an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…+(n-1)]+33=33+n2-n，則

點評：本題主要考查遞推數列的通項公式的求解，構造函數利用導數判斷函數的單調性時容易出錯，同時也考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力。

例3已知某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金(單位：元)；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上的數字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金(單位：元)。若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則E(ξ1)-E(ξ2)=____(元)。

分析：分別求出賭金的分布列和獎金的分布列，計算出對應的均值，即可得到結論。

解：賭金的分布列為表1：

表1

所以E(ξ1)=(1+2+3+4+5)=3。

獎金的情況有以下幾種：若兩張卡片上的數字之差的絕對值為1，則有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，共4種；若兩張卡片上的數字之差的絕對值為2，則有(1，3)，(2，4)，(3，5)，共3種；若兩張卡片上的數字之差的絕對值為3，則有(1，4)，(2，5)，共2種；若兩張卡片上的數字之差的絕對值為4，則有(1，5)，共1種。

則P(ξ2=1.4)=，P(ξ2=2.8)=

所以獎金的分布列為表2：

表2

所以E(ξ2)=1.4××2+=2.8。

則E(ξ1)-E(ξ2)=3-2.8=0.2(元)。

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的計算，根據概率的公式分別進行計算是解決本題的易錯點。

例4已知函數f(x)的定義域為實數集R，f(x)=對于任意的x∈R 都有f(x+2)=f(x-2)。若在區(qū)間[-5，3]上函數g(x)=f(x)-mx+m恰有3個不同的零點，則實數m 的取值范圍是_____。

分析：求出f(x)的周期，問題轉化為f(x)和y=m(x-1)在[-5，3]上有3個不同的交點，畫出f(x)的圖像，結合圖像求出m 的范圍即可。

解：因為f(x+2)=f(x-2)，所以f(x)=f(x+4)，所以f(x)是以4 為周期的函數。

若在區(qū)間[-5，3]上函數g(x)=f(x)-mx+m 恰有3個不同的零點，則f(x)和y=m(x-1)在[-5，3]上有3 個不同的交點，畫出函數f(x)在[-5，3]上的圖像，如圖2所示。

圖2

點評：本題主要考查函數的零點問題，考查數形結合思想及轉化思想，屬于中檔題。同學們在畫圖時，往往會過于草率，這樣會影響自己的判斷。

分析：先把原函數轉化為函數f(x)=再作出其圖像，然后結合圖像進行求解。

解：函 數f(x)=畫出函數f(x)的圖像，如圖3所示。

圖3

又函數g(x)=f(x)-m 有3個零點，知f(x)=m 有3 個零點，則實數m 的取值范圍是(0，1)。

點評：本題主要考查函數的零點及其應用，解題時要注意數形結合思想的合理運用。

例6若函數f(x)滿足=2x，f(0)=1，則當x＞0時，的取值范圍是_____。

分析：構造函數，結合條件求出函數f(x)的解析式，結合分式函數的性質，利用基本不等式進行求解即可。

解：設h(x)=，則h'(x)==2x，即h(x)=x2+c。

所以f(x)=ex(x2+1)，f'(x)=ex·(x2+1)+ex(2x)=ex(x2+2x+1)。

點評：本題主要考查函數值域的求解，根據條件利用構造法求出函數的解析式，結合分式函數的性質是解決本題的關鍵。構造函數時容易出錯。

例7已知函數f(x)=|lgx|，a＞b＞0，f(a)=f(b)，則的最小值為_____。

分析：根據對數函數的性質，求出ab=1，然后利用基本不等式求的最小值。

解：作出函數f(x)的圖像，如圖4所示，若f(a)=f(b)，a＞b＞0，則0＜b＜1，a＞1，則f(a)=|lga|=lga ，f(b)=|lgb |=-lgb。

圖4

因為f(a)=f(b)，所以lga=-lgb，即lga+lgb=lgab=0，解得ab=1。

點評：本題主要考查基本不等式的應用，利用對數函數的圖像和性質求出ab=1是解決本題的關鍵，注意基本不等式成立的條件。

例8設P 是曲線2x2-y2=1上的一個動點，O 為坐標原點，M 為線段OP 的中點，則點M 的軌跡方程為_____。

分析：設P(x，y)，M(x0，y0)，根據中點坐標公式，利用代入法進行化簡即可。

解：設P(x，y)，M(x0，y0)，因為M 是線段OP 的中點，所以有所以2×(2x0)2-(y0)2=1，即=1。

所以點M 的軌跡方程為8x2-4y2=1。

點評：本題主要考查點的軌跡方程的求解，設出點的坐標，根據中點坐標關系，利用代入法是解決本題的關鍵。

例9已知P 是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB 是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B 是切點，C 是圓心，那么四邊形PACB 面積的最小值為____。

分析：由圓的方程求得圓心為C(1，1)，半徑r 為1，由“若四邊形面積最小，則圓心與點P 的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB 最小”，則可以將四邊形的面積轉化為兩個直角三角形面積求解。

解：因為圓的方程為x2+y2-2x-2y+1=0，即(x-1)2+(y-1)2=1，所以圓心為C(1，1)，半徑r 為1。

根據題意，若四邊形的面積最小，則圓心與點P 的距離最小，即為圓心到直線3x+4y+8=0的距離。因為圓心到直線的距離為d=3，所以|PA|=|PB|=

所以S四邊形PACB=

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系，主要涉及了構造四邊形及其面積的求法，同時，還考查了轉化思想。

例10 三棱錐S-ABC 的底面是以AB為斜邊的直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=，則三棱錐S-ABC 的外接球的表面積是_____。

分析：根據題意畫出圖形，結合圖形找出三棱錐外接球的球心與半徑，計算它的表面積即可。

圖5

解：如圖5 所示，三棱錐S-ABC 的底面是以AB為斜邊的直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=，在 △SAB 中，SA2+SB2=AB2，所 以△SAB是等腰直角三角形。

所以點S 在底面ABC 內的投影是Rt△ABC 的斜邊AB 的中點D。

所以DA=DB=DC=DS=1，所以D是三棱錐S-ABC 的外接球的球心，半徑為1，所以外接球的表面積是4π·12=4π。

點評：本題主要考查幾何體外接球的表面積計算問題，關鍵是找出外接球的球心與半徑，屬于中檔題。

例11 已 知m，l 是 直 線，α，β 是 平 面，給出下列命題：①若l 垂直于α 內兩條相交直線，則l⊥α；②若l 平行于α，則l 平行于α內所有的直線；③若m?α，l?β 且l⊥m，則α⊥β；④若l?β，且l⊥α，則α⊥β；⑤若m?α，l?β，且α∥β，則l∥m。其中正確命題的序號是_____。

分析：對于①，考慮線與面垂直的判定定理；對于②，考慮線與面平行的性質定理，以及直線與平面的位置關系；對于③，考慮α⊥β 的判定方法；對于④，考慮面面垂直的判定定理；對于⑤，考慮線線平行的判定定理。

解：若l垂直于α 內的兩條相交直線，則l⊥α，故①正確；若l∥α，則l平行于α 內的大部分直線，還與一部分直線是異面關系，故②錯誤；若m ?α，l?β，且l⊥m，則α 與β 垂直，或平行，或斜交，故③錯誤；若l?β，且l⊥α，則α⊥β，這是面面垂直的判定定理，故④正確；若m?α，l?β，且α∥β，則m 與l 平行，或異面，故⑤錯誤。

綜上，正確命題的序號是①④。

點評：本題主要考查立體幾何中線線關系中的平行、線面關系中的垂直、面面關系中的垂直的判定方法，要注意對比判定定理的條件和結論，同時要注意性質定理，以及空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系的應用。

圖6

例12 如圖6，在△ABC 中，D 是AB 的中點，AB=2，∠ACD=90°，∠DCB =45°，△ABC 的面積為S，則5S=_____。

分析：由S△ACD=S△BCD求得，利用余弦定理求得a，b 的值，再計算△ABC 的面積即可。

解：在△ABC 中，D 是AB 的中點，c=AB=2，∠ACD=90°，∠DCB=45°，a=BC，b=AC，設CD =x，則S△ACD=S△BCD，即所以

在△ABC 中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos∠ACB，即4=-2a··cos 135°，解得

點評：本題主要考查三角形中的幾何計算問題，屬于中檔題。

例13 先將函數f(x)=sin x 的圖像上的各點向左平移個單位，再將各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?其中ω∈N*)，得到函數g(x)的圖像，若g(x)在區(qū)間上單調遞增，則ω 的最大值為____。

分析：根據三角函數圖像的平移法則得出函數g(x)的解析式，再根據g(x)的單調性，列出不等式組求出正整數ω 的最大值。

解：函數f(x)=sin x 的圖像上的各點向左平移個單位，得的圖像；再將函數圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?其中ω∈N*)，得y=的圖像，所以函數g(x)=

點評：本題主要考查三角函數圖像的平移和三角函數的單調區(qū)間問題，屬于中檔題。

例14 某學校開展一次“五·四”知識競賽活動，共有三個問題，其中第1、2題滿分都是15分，第3題滿分是20分。每個問題或者得滿分，或者得0分?；顒咏Y果顯示，每個參賽選手至少答對一道題，有6名選手只答對其中一道題，有12名選手只答對其中兩道題。答對第1題的人數與答對第2題的人數之和為26，答對第1題的人數與答對第3題的人數之和為24，答對第2題的人數與答對第3題的人數之和為22。則參賽選手中三道題全答對的人數是_____；所有參賽選手的平均分是____。

分析：列方程組求出答對第1 題，第2題，第3 題的人數，再求出全班人數，即可求得三道題全答對的人數與平均分。

解：設x1，x2，x3分別表示答對第1 題，第2題，第3題的人數，則解得x1=14，x2=12，x3=10。

又只答對一道題的人數為6，答對兩道題的人數為12，設答對三道題的人數為x，則全班人數為6+12+x，所以6×1+12×2+3x=36，解得x=2，所以三道題全答對的人數是2。

點評：本題主要考查求平均數及應用問題，同時考查方程思想，是一道綜合題。

例15 設等比數列{an}的前n 項和為Sn。若S3+S6=2S9，則數列{an}的公比q=_____。

分析：由S3+S6=2S9建立關于公比q的方程，解方程即可得出答案。

解：設數列的首項為a1，公比為q。

若q=1，則S3+S6=9a1，2S9=18a1，等式S3+S6=2S9不成立，所以q≠1。

點評：本題主要考查等比數列的定義及前n 項和公式的應用，注意就公比是否等于1進行分類討論，屬于中檔題。