■河南省淮陽中學(xué) 張廣動(dòng)

例1已知集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax=1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a 的值構(gòu)成的集合為( )。

分析：本題雖然簡單，但極易忽略空集的情況。這里很容易解出A=｛ - 1，3｝，而B中最多只有一個(gè)元素。故B 中的元素只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1，。這里千萬小心，還有一個(gè)B 為空集的情況，也就是a=0。故選A。

點(diǎn)撥：(1)在應(yīng)用條件A∪B=B?A∩B=A?A?B 時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該對(duì)集合A 是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論。

(2)在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”，特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是否滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言(數(shù)學(xué)語言)和自然語言之間的轉(zhuǎn)化。

變式：已知集合A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，則實(shí)數(shù)a 組成的集合的子集的個(gè)數(shù)為( )。

A.6 B.8 C.9 D.10

分析：集合A 化簡得A={3，5}，由A∩B=B 知B ?A。①當(dāng)B=?時(shí)，則方程ax-1=0無解，此時(shí)a=0，符合已知條件；②當(dāng)B≠?時(shí)，則方程ax-1=0的解為3或5，代入得a=。綜上，滿足條件的a組成的集合為，所以其子集共有23=8(個(gè))。故選B。

例2設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x+1)＜f(2x)的x 的取值范圍是( )。

A.(-∞，-1) B.(0，+∞)

C.(-1，0) D.(-∞，0)

分析：問題看似簡單，卻深刻地考查了函數(shù)單調(diào)性概念，很多同學(xué)認(rèn)為函數(shù)是單調(diào)遞減的，不等式可轉(zhuǎn)化為x+1＞2x，得出錯(cuò)解，問題出在哪? 單調(diào)性一定是要指明區(qū)間的，這 一 點(diǎn) 被 有 些 同 學(xué) 給 忽 略 了。 由解得x＜0。故選D。

變式：已函數(shù)f(x)=則滿足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x 的范圍是( )。

分析：考查分段函數(shù)的單調(diào)性。。故選B。

例3若函數(shù)y=f(2x-1)為奇函數(shù)，則下列推斷正確的是( )。

A.f(2x-1)+f(-2x-1)=0

B.f(2x-1)+f(-2x+1)=0

C.f(2x-1)-f(-2x-1)=0

D.f(2x-1)-f(-2x+1)=0

分析：面對(duì)抽象復(fù)合函數(shù)，根據(jù)整體代換思想重新賦予其一個(gè)新的抽象函數(shù)。令g(x)=f(2x-1)，由于其是奇函數(shù)，有g(shù)(-x)=-g(x)，而g(-x)=f(-2x-1)，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，即f(2x-1)+f(-2x-1)=0。故選A。

變式：函數(shù)y=f(2x-1)關(guān)于點(diǎn)(1，2)中心對(duì)稱，則下列推斷正確的是( )。

A.f(2x-1)+f(-2x-3)=4

B.f(2x-1)+f(-2x+3)=2

C.f(2x)+f(-2x+3)=4

D.f(2x)+f(-2x+2)=4

分析：令g(x)=f(2x-1)，由于g(x)關(guān)于點(diǎn)(1，2)中心對(duì)稱，則g(x)+g(2-x)=4。因?yàn)間(2-x)=f[2(2-x)-1]=f(-2x+3)，故f(2x-1)+f(-2x+3)=4，即f(2x)+f(-2x+2)=4。故選D。

點(diǎn)撥：函數(shù)圖像變換的實(shí)質(zhì)是“替換”，我們要清楚每一步的確切“替換”，在每一步變換前賦予一個(gè)新的抽象函數(shù)名稱，準(zhǔn)確找到變換過程中的“替換”，依此類推，每一步變換就盡在我們的掌控之中。

例4已知點(diǎn)落在角θ的終邊上，且θ∈[0，2π)，則θ的值為( )。

分析：易錯(cuò)點(diǎn)是學(xué)生不能順利應(yīng)用三角函數(shù)定義先求所在象限，實(shí)質(zhì)上，由＞0，cos＜0 知角θ 在第四象限，由tan θ==-1，θ∈[0，2π)，得。故選C。

變式：要得到函數(shù)y=cos 2x 的圖像，只需將函數(shù)y=sin 2x 的圖像沿x 軸( )。

分析：因?yàn)閥=cos 2x=，所以只需將函數(shù)y=sin 2x 的圖像沿x 軸向左平移個(gè)單位，即可得到y(tǒng)==cos 2x 的圖像。故選B。

例5已知sin x+sin，則siny-cos2x 的最大值為( )。

分析：此題學(xué)生都能通過條件sin x+將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin x 的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想，令t=sin x，將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值的求解，但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解。由sin-sin x 且siny=∈[-1，1]，結(jié)合sin x∈[-1，1]，得-≤sin x≤1，而siny-cos2x=-sin x-cos2x=sin2x-sin x-，令t=sin，則原式=t2-。故當(dāng)時(shí)，原式取得最大值。故選C。

點(diǎn)撥：解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡化。

例6在的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為( )。

A.65 B.45

C.55 D.35

分析：因?yàn)?(1+x)10++…，所以x2項(xiàng)只能在(1+x)10的展開式中，即為，系數(shù)為=45。故選B。

變式：在(x2+x+y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為( )。

A.10 B.20

C.30 D.60

分析：在(x2+x+y)5的5 個(gè) 因 式 中，2個(gè)因式中取x2，剩余的3個(gè)因式中各取1個(gè)x，其余因式取y，則x5y2的系數(shù)為=30。故選C。

例7已知函數(shù)f(x)=|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，則a+2b 的取值范圍是( )。

分析：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域?？忌谧霰拘☆}時(shí)極易忽視a 的取值范圍，而利用均值不等式求得a+2b=a+，從而錯(cuò)選A。事實(shí)上，因?yàn)閒(a)=f(b)，所以|lga |=|lgb|，所以a=b(舍去)，或，所以a+2b=a+。又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b。令f(a)=a+，由“對(duì)勾”函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f(a)在a∈(0，1)上為減函數(shù)，所以f(a)＞f(1)=1+=3，即a+2b 的取值范圍是(3，+∞)。故選C。

變式：若a＞0，b＞0，lga+lgb=lg(a+b)，則a+b 的最小值為( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

分析：由lga+lgb=lg(a+b)，得ab=a+b?=1。因?yàn)閍＞0，b＞0，所以=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)取等號(hào)。故選B。

點(diǎn)撥：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)成立的條件)的條件，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例8在△ABC中，點(diǎn)P滿足，過點(diǎn)P 的直線與AB，AC 所在直線_分別交于點(diǎn)M，N，若(m ＞0，n ＞0)，則m +2n 的最小值為( )。

分析：由題設(shè)，得到=1，故m+2n=(m+2n)=3，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即m=n=1時(shí)成立。故選A。

點(diǎn)撥：本題還可以這樣解：用表示出，根據(jù)M，P，N 三點(diǎn)共線得出m，n 的關(guān)系式，然后用n 表示m，利用基本不等式求解最值。

變式：如圖1，已知△ABC 與△AMN 有一個(gè)公共頂點(diǎn)A，且MN 與BC 的交點(diǎn)O 平分BC，若(m ＞0，n＞0)，則的最小值為( )。

圖1

分析：由題意可得m+n=2，。故選C。

例9某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6 時(shí)再增選1 名代表。那么，各班可推選代表人數(shù)y 與該班人數(shù)x 之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x 的最大整數(shù))可以表示為( )。

分析一：當(dāng)x 除以10 的余數(shù)為0，1，2，3，4，5，6時(shí)，由題設(shè)知，且易驗(yàn)證知此時(shí)

分析二：依題意，若x=16，則y=1，由此檢驗(yàn)知選項(xiàng)C，D 錯(cuò)誤；若x=17，則y=2，由此檢驗(yàn)知選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。由排除法知，本題應(yīng)選B。

例10 函數(shù)y=2x-x2的大致圖像為圖2中的( )。

圖2

分析：研究方程2x=x2的根，其中x=0不是方程的根，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)后，可得xln 2=ln x2，即，問題轉(zhuǎn)化為研究的圖像公共點(diǎn)個(gè)數(shù)。而是奇函數(shù)，只需要研究x＞0時(shí)圖像，結(jié)合對(duì)稱性畫出另一側(cè)圖像。因?yàn)?x＞0)，所以，知其先增后減＞0.345，如圖3(復(fù)雜函數(shù)作趨勢(shì)圖像)，觀察圖像，顯然是三個(gè)交點(diǎn)。故選A。

圖3

例11 用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是( )。

A.12 B.10 C.8 D.6

分析：圖4所示的是為棱長為1 的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖5 所示的方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，由圖5 知正方形的邊長為，其面積為8。故選C。

圖5

圖4

變式：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，P，Q，R 分別是BC，CC1，A1C1的中點(diǎn)，作出過三點(diǎn)P，Q，R 截正三棱柱的截面，則該截面的形狀是( )。

A.三角形 B.四邊形

C.五邊形 D.六邊形

答案：C。

跟蹤練習(xí)：

1.已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)，則( )。

A.函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減

C.函數(shù)f(x)圖像關(guān)于x=1對(duì)稱

D.函數(shù)f(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱

2.設(shè)m 為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m 的值為( )。

A.5 B.6 C.7 D.8

3.某幾何體的三視圖如圖6 所示，則這個(gè)幾何體的體積為( )。

圖6

4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=，其前n 項(xiàng)和為Sn，若存在M ∈Z，滿足對(duì)任意的n∈N*，都有Sn＜M 恒成立，則M 的最小值為( )。

A.4 B.3 C.2 D.1

5.設(shè)x，y，z 為正數(shù)，且2x=3y=5z，則( )。

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

6.用一張圓形的紙把一個(gè)棱長為1的正四面體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則紙的最小面積是( )。

7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別 是AA1，CC1的 中 點(diǎn)，P 是CC1上 的 動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，過E，D，P 作正方體的截面，若截面為四邊形，則P 的軌跡是( )。

A.線段C1F

B.線段CF

C.線段CF 和一點(diǎn)C1

D 線段C1F 和一點(diǎn)C

8.設(shè)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a1+a2+…+an=63，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是( )。

A.15x2B.20x3

C.21x3D.35x3

圖7

9.如圖7，設(shè)拋物線y2=4x 的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B 在拋物線上，點(diǎn)C 在y軸上，則△BCF 與△ACF的面積之比是( )。

跟蹤練習(xí)參考答案：

1.C 解法一：由題意得f(2-x)=ln x+ln(2-x)=f(x)，即f(2-x)=f(x)，即函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f'(x)=，故f(x)在x∈(0，2)上不單調(diào)。

解法二：化簡變形，平移化歸為偶函數(shù)。

f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1]，x∈(0，2)，而g(x)=ln(-x2+1)，x∈(-1，1)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x)=g(x-1)，可知函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱。

3.A 提示：由三視圖可得該幾何體的直觀圖，如圖8 所示。該幾何體是由一個(gè)四棱錐A-CDEF 和一個(gè)三棱錐F-ABC 組成的組合體。四棱錐A-CDEF 的底面面積為4，高為4，故體積為；三棱錐F-ABC 的底面面積為2，高為2，故體積為。故這個(gè)幾何體的體積

圖8

5.D 提示：x，y，z 為 正 數(shù)，令2x=3y=5z=k＞1，lgk＞0，則，可得2x＞3y。由＞1，可得5z＞2x。綜上可得：5z＞2x＞3y。

6.D 提示：正四面體的剪開圖是邊長為2的正三角形，其外接圓的半徑為，所以圓的面積為。

7.C 提示：如圖9，當(dāng)點(diǎn)P 在線段CF上移動(dòng)時(shí)，DE∥面BB1CC1，DE∥平面DEP與平面BB1CC1的交線，由于點(diǎn)P 在線段CF 上，故此時(shí)過P 與DE 平行的直線與直線BB1的交點(diǎn)在線段BB1上，故截面是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P 恰為點(diǎn)F 時(shí)，此時(shí)截面為DEB1F，也是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P 在線段C1F 上時(shí)，如圖10，由平面基本定理知點(diǎn)H，G 既在截面DEP 內(nèi)，也在平面A1B1C1D1內(nèi)，故GH 為兩平面的交線，連接GH 分別交A1B1，B1C1于點(diǎn)K，N(注也有可能交在兩直線的延長線上)，再分別連接EK，PN，即得截面為DEKNP，此時(shí)為五邊形。

圖9

圖10

8.B 提示：因?yàn)?1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，令x=0，得a0=1。令x=1，則(1+1)n=a0+a1+a2+…+an=64，所以n=6。又(1+x)6展開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)最大，所以(1+x)6展開式的系數(shù)最大項(xiàng)為T4=C36x3=20x3。

9.A 提示：拋物線的準(zhǔn)線DE 的方程為x=-1，過A，B 分別作AE⊥DE 于E，交y 軸于N，BD⊥DE 于D，交y 軸于M。

由拋物線的定義知BF=BD，AF=AE，則|BM|=|BD|-1=|BF|-1，|AN|=|AE|-1=|AF|-1，則