■河南省淮陽中學(xué) 賀 勇

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，它貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程的始終。對函數(shù)的考查側(cè)重于理解與應(yīng)用，試題有一定的綜合性，并與數(shù)學(xué)思想方法緊密結(jié)合，對函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等都進行深入的考查。對于指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的兩個基本類型：y=f(ax)與y=af(x)，以及對數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)的兩個基本類型：y=f(logax)與y=logaf(x)，可以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，“同增異減”的原則進行處理。如表1：

表1

對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”。

例1已 知f(x)=logsinθx，θ ∈，設(shè) a=，則a，b，c 的大小 關(guān)系是( )。

A.a≤c≤b B.b≤c≤a

C.c≤b≤a D.a≤b≤c

考點定位：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式的應(yīng)用，比較兩個數(shù)大小的方法，屬于中檔題。

分析：先判斷f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，再 比 較的大小關(guān)系，從而得到a，b，c 的大小關(guān)系。

解：因為f(x)=，所以sinθ∈(0，1)，故f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù)。

綜上，a≤b≤c。

例2函數(shù)f(x)=ln(-x2-x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )。

考點定位：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題。

分析：令t=-x2-x+2＞0，求得函數(shù)的定義域，且f(x)=ln t，故本題即求t=-x2-x+2在定義域內(nèi)的減區(qū)間，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論。

解：令t=-x2-x+2＞0，求得-2＜x＜1，故函數(shù)的定義域為(-2，1)，且f(x)=lnt，本題轉(zhuǎn)化為求t=-x2-x+2在定義域內(nèi)的減區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得t=-x2-x+2=-在定義域內(nèi)的減區(qū)間為

例3函數(shù)y=2-x2+x-1的單調(diào)遞增區(qū)間是( )。

考點定位：本題主要考查由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的原則。

分析：要求y=2-x2+x-1的單調(diào)遞增區(qū)間，由于y=2t在R 上單調(diào)遞增，故只需求g(x)=-x2+x-1 的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求。

解：因為y=2t在R 上單調(diào)遞增，要求y=2-x2+x-1的單調(diào)遞增區(qū)間，只需求g(x)=-x2+x-1的單調(diào)遞增區(qū)間。

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)=-x2+x-1的單調(diào)遞增區(qū)間為

例4函數(shù)f(x)=在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a 的取值范圍是( )。

A.a≤-4 B.a≤-2

C.a≥-2 D.a＞-4

分析：先求出二次函數(shù)的對稱軸方程，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)列出不等式求解。

解：記u(x)=x2+ax=其圖像為拋物線，對稱軸為，且開口向上。

例5若函數(shù)f(x)=log0.3(5+4xx2)在區(qū)間(a-1，a+1)上單調(diào)遞減，且b=1g0.3，c=20.3，則( )。

A.c＜b＜a B.b＜c＜a

C.a＜b＜c D.b＜a＜c

考點定位：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法。對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復(fù)合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”，屬于中檔題。

分析：求出原函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)函數(shù)的增區(qū)間，由題意列關(guān)于a 的不等式組，求得a 的范圍，結(jié)合b=lg0.3＜0，c=20.3＞1，得出答案。

解：由令t=5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函數(shù)t=5+4x-x2的增區(qū)間為(-1，2)。

要使f(x)=log0.3(5+4x-x2)在區(qū)間(a-1，a+1)上單調(diào)遞減，則即0≤a≤1。

而b=lg0.3＜0，c=20.3＞1，所以b＜a＜c。

例6已知函數(shù)f(x)=loga(-x2-2x+3)，若f(0)＜0，則此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )。

A.(-∞，-1] B.[-1，+∞)

C.[-1，1) D.(-3，-1]

考點定位：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，以及對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題。

分析：令t=-x2+2x-3＞0，求得函數(shù)的定義域，根據(jù)f(0)=loga3＜0，可得0＜a＜1，f(x)=g(t)=logat ，本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論。

解：令t=-x2-2x+3＞0，可得-3＜x＜1，故函數(shù)的定義域為{x|-3＜x＜1}。

根據(jù)f(0)=loga3＜0，可得0＜a＜1。

由f(x)=g(t)=logat，知本題即為求函數(shù)t在定義域內(nèi)的減區(qū)間。

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)t 在定義域內(nèi)的減區(qū)間為[-1，1)。