■河南省淮陽中學(xué) 徐 良

例1已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x，則f(x)的最小值是____。

分析：由題意可得T=2π 是f(x)的一個(gè)周期，問題轉(zhuǎn)化為求f(x)在[0，2π)上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算極值，再與端點(diǎn)值比較可得答案。

解法一：由題意可得T=2π 是f(x)=2sin x+sin 2x 的一個(gè)周期，故只需考慮f(x)=2sin x+sin 2x 在[0，2π)上的值域。

對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)可得f'(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1)，令f'(x)=0，解得cos x=或cos x=-1，可得此時(shí)。

所以f(x)=2sin x+sin 2x 的最小值只能在點(diǎn)和邊界點(diǎn)x=0中取到，計(jì)算可得

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換，以及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題。

解法二：(均值不等式)當(dāng)x∈時(shí)，f(x)=2sin x (1+cos x)=2sin x，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號(hào)成立，所以f(x)max=，所以f(x)min=

例2設(shè)當(dāng)x=θ 時(shí)，函數(shù)f(x)=sin x-2cos x 取得最大值，則cosθ=_____。

分析：從f(x)的解析式中提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x=θ 時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，

解法一：f (x)=sin x -2cos x =sin(x -α)

因?yàn)閤=θ 時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，所以sin(θ-α)=1，即sin θ-2cos θ=。又sin2θ+cos2θ=1，聯(lián) 立 得(2cos θ++cos2θ=1，解得cos

點(diǎn)評(píng)：此題考查兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵。

解法二：(導(dǎo)數(shù)法)結(jié)合三角函數(shù)圖像，可以發(fā)現(xiàn)極值即為最值，所以問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)在θ 處取極大值，進(jìn)而構(gòu)造方程組

解法三：(柯西不等式)f2(x)=(sin x-2cos x)2≤(sin2x+cos2x)［12+(-2)2］=5，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。

圖1

“一題多解”就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道習(xí)題的解答。教師在教學(xué)過程中實(shí)施“一題多解”和同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中嘗試“一題多解”有什么作用呢?

“一題多解”有利于調(diào)動(dòng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)積極性，在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，對(duì)一道題同學(xué)們可能提出兩種、三種甚至更多種解法，課堂成為同學(xué)們合作、爭辯、探究、交流的場所，它能極大地提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣。

“一題多解”有利于鍛煉同學(xué)們思維的靈活性，根據(jù)題目給出的已知條件，并結(jié)合自身情況，靈活地選擇解題切入點(diǎn)。

“一題多解”有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力，使其不僅僅滿足得出一道習(xí)題的答案，而去追求更獨(dú)特、更快捷的解題方法。

“一題多解”有利于同學(xué)們積累解題經(jīng)驗(yàn)，豐富解題方法，學(xué)會(huì)如何綜合運(yùn)用已有的知識(shí)不斷提高解題能力?？傊耙活}多解”有利于同學(xué)們思維能力的提高。

跟蹤訓(xùn)練：

1.已知函數(shù)f(x)=2cos x+sin 2x，則f(x)的最小值是____。

分析：利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，即可求解最小值。

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2cosx+sin 2x，所以f'(x)=-2sin x+2cos 2x=-2sin x+2-4sin2x=-2(2sin x-1)(sin x+1)。

當(dāng)sin x=-1時(shí)，可得cos x=0；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)關(guān)系的恒等式變換，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性最值的求法，主要考查同學(xué)們的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題。

2.已知函數(shù)f(x)=2cos x-sin 2x，則f(x)的最大值是_____。

分析：通過求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得當(dāng)sin x=且cos x＞0時(shí)，函數(shù)取最大值，進(jìn)而得到答案。

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2cos x-sin 2x，所以f'(x)=-2sin x-2cos 2x=4sin2x-2sin x-2=2(2sin x+1)(sin x-1)。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題。

3.若當(dāng)x=θ 時(shí)，函數(shù)f(x)=3cos xsin x 取得最小值，則cosθ=____。

分析：利用輔助角公式進(jìn)行積差化積，求出函數(shù)f(x)=3cos x-sin x 取得最小值時(shí)θ 的值，再由誘導(dǎo)公式得出答案。

解：已知f(x)=3cos x-sin x=

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡求值及輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。

4.已知銳角α，β 滿足sin(α+β)cosβ=2cos(α+β)sinβ，當(dāng)α 取得最大值時(shí)，tan 2α=_____。

分析：利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡已知條件，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解最值即可。

解：由題意知sin α=cos(α+β)sinβ，所以sin α=cos αcosβsinβ-sinαsin2β，所以sinα(1+sin2β)=cosαcosβsinβ，所以，所 以tan=

當(dāng)α 取得最大值時(shí)，tanα 取得最大。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡求值及基本不等式的應(yīng)用，考查同學(xué)們的計(jì)算能力。

5.已知 在x=θ 時(shí)，f(x)=3sin x+4cos x 取得最大值，則____。

分析：由題意可得f(θ)=3sinθ+4cosθ=5，可得，由此求得所給式子的值。

解：因?yàn)閒(x)=3sin x+4cos x==5sin(x+α)的最大值為5，其 中，cos，所以f(θ)=3sin θ+4cos θ=5，所 以sin，cos。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)最值的求法及二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。

6.函 數(shù)y=3cos2x-4cos x+1，x ∈的最大值是____。

分析：首先把函數(shù)的關(guān)系式變換成二次函數(shù)的形式，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，最后求出函數(shù)的最大值。

解：由x∈，得cos x∈。

y=3cos2x-4cos x+1=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換、二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，主要考查同學(xué)們的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型。

分析：由題意得f(x)=1-sin2x+sin x，所以由x∈，可得cos x∈[0，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值。

解：由 于 cos2x + sin x =-，所以f(x)=(cos2x+sin x)?=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查同學(xué)們理解新定義的能力，屬于基礎(chǔ)題。

分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域和值域求得t=sin x+cos x 的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最值，最后得出y 的值域。

解：因?yàn)?＜x ≤，所 以x+∈，所以

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦函數(shù)的定義域和值域，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。

分析：直接利用三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)求出結(jié)果。

解：因?yàn)榉匠蘤(x)-a=2(0≤x＜m)等價(jià)于f(x)=a+2(0≤x＜m)，所以對(duì)任意的a∈[1，2)，方程f(x)-a=2(0≤x＜m)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)f(x)=+2(0≤x＜m)的圖像與直線y=a+2有兩個(gè)交點(diǎn)。

由于a∈[1，2)，所以a+2∈[3，4)。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用。

10.已知函數(shù)f(x)=(1-2cos2x)·在上單調(diào)遞增，且≤m，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍為_____。

分析：利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的最大值求得f(x)的最大值小于或等于1，可得實(shí)數(shù)m 的取值范圍。

解：f(x)=(1-2cos2x)sin-2sin xcos xcos=-cos 2x·(-cosθ)-sin 2xsinθ=cos(2x+θ)。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角恒等變換、正弦函數(shù)的最大值，以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題。

11.已知函數(shù)f(x)=sin2x+acos x+上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a 的值____。

分析：運(yùn)用同角的平方關(guān)系化簡f(x)，令t=cos x，x∈，可得t∈[0，1]，y=a，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性可得最大值，解方程即可得到所求值。

解：函數(shù)f(x)=sin2x+acos x+a-=-cos2x+acos x+，令t=cos x，因?yàn)閤∈，所以t∈[0，1]，則y=-t2+at-

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和分類討論思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題。

12.已知f(x)=2cos2x-2asin x+a2-2a+1的最小值為-2，則實(shí)數(shù)a 的值為____。

分析：化簡f(x)=2cos2x-2asin x+a2-2a+1=2(1-sin2x)-2asin x+a2-2a+1=--2a+3，結(jié)合0≤cos x≤1 進(jìn)行分類討論，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得所求值。

解：f(x)=2cos2x-2asin x+a2-2a+1=2(1-sin2x)-2asin x+a2-2a+1=-2a+3。

綜上，a=1，或a=3。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值和分類討論的思想，屬中檔題。