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河南省淮陽中學(xué) 王艷玲

分析：先將2提出來，再由左加右減的原則進(jìn)行平移即可。

解：因?yàn)閥=sin

點(diǎn)評(píng)：本試題主要考查三角函數(shù)圖像的平移。平移都是對(duì)單個(gè)的x 來說的。

圖1

例2已知圖1所示的是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的一部分。為了得到這個(gè)函數(shù)的圖像，只要將y=sin x(x∈R)的圖像上所有的點(diǎn)( )。

分析：先根據(jù)函數(shù)的周期和振幅確定w和A 的值，再代入特殊點(diǎn)可確定φ 的一個(gè)值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，再進(jìn)行平移變換即可。

解：由圖像可知函數(shù)的周期為π，振幅為1，所以函數(shù)的表達(dá)式可以是y=sin(2x+φ)，將代入可得φ 的一個(gè)值為，故圖像中函數(shù)的一個(gè)表達(dá)式是y =sin，即y=sin。

所以只需將y=sin x(x∈R)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變。故選A。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖像與圖像變換的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。根據(jù)圖像求函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，一般先求周期、振幅，最后求φ。三角函數(shù)圖像進(jìn)行平移變換時(shí)注意提取x 的系數(shù)，進(jìn)行周期變換時(shí)，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

例3將函數(shù)y=的圖像向右平移個(gè)單位長度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)( )。

分析：直接由函數(shù)的圖像平移得到平移后的圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法求出函數(shù)的增區(qū)間，

解：把函數(shù)y=的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到的圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=3sin，即y=3sin。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖像的平移和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”原則，屬于中檔題。

例4為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x 的圖像，可以將函數(shù)y=3x 的圖像( )。

分析：利用兩角和與差的三角函數(shù)，將已知函數(shù)化簡為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后利用平移原則判斷選項(xiàng)即可。

解法一：函數(shù)y=sin 3x+cos 3x=，故只需將函數(shù)y=3x的圖像向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng) =的圖像。

解法二：函數(shù)y=sin 3x+cos 3x=，故只需將函數(shù)y=3x的圖像向右平移個(gè)單位，得 到 y = sin=的圖像。故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)及三角函數(shù)的平移變換的應(yīng)用。

例5將函數(shù)f(x)=sin 2x 的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖像。若對(duì)滿足|f(x1)-g(x2)|=

2的x1，x2，有，則φ=( )。

分析：利用三角函數(shù)的最值，求出自變量x1，x2的值，然后判斷選項(xiàng)即可。

解法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin 2x 的周期為π，將函數(shù)f (x)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖像。由|f(x1)-g(x2)|=2可知兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，有|x1-x2|min=。不妨設(shè)，即g(x)在x2=處取得最小值，即=-1，此時(shí)φ=，不合題意；設(shè)x1=，x2=，即g(x)在x2=處取得最大值，即=1，此時(shí)，滿足題意。

解法二：f(x)=sin 2x，g(x)=sin(2x-2φ)，設(shè)2x1=2kπ+，k∈Z，2x2-2φ=-+2mπ，m ∈Z，則x1-x2=-φ+(k-m)π。

由|x1-x2|min=，可得，解得。故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖像平移、函數(shù)的最值及函數(shù)的周期，考查考生的分析問題和解決問題的能力。該題是一道好題，題目新穎，有一定難度，可以用回代驗(yàn)證的方法快速解答。

跟蹤練習(xí)：的圖像，只需把函數(shù)y=sin 2x 的圖像上所有的點(diǎn)( )。

1.為了得到函數(shù)y=sin

分析：根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，可得結(jié)論。

解：把函數(shù)y=sin 2x 的圖像向右平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)y=sin2的圖像。故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題。

分析：求得函數(shù)y 的最小正周期，即得所對(duì)的函數(shù)式為y=2sin，化簡整理即可得到所求函數(shù)的解析式。

解：函數(shù)y=2sin的周期為=π，由函數(shù)y=2sin的圖像向右平移個(gè)單位，可得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=2sin，即y=2sin。故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖像平移變換，注意相位變換針對(duì)自變量x 而言，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題。

3.已 知 函 數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A＞0，ω＞0，）的圖像如圖2所示，為了得到函數(shù)g(x)=Acos ωx 的圖像，只需把函數(shù)y=f(x)的圖像上所有的點(diǎn)( )。

圖2

分析：由函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ，從而可得f(x)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論。

解：根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的圖像，可得A=1。因?yàn)?，所以?2。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖像求解析式，由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ，從而得出結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題。

4.已知曲線C1：y=sin 2x，曲線C2：y=cos x，則下列說法正確的是( )。

A.將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得曲線向左平移個(gè)單位，得到C2

B.將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得曲線向左平移個(gè)單位，得到C2

C.將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得曲線向左平移個(gè)單位，得到C2

D.將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得曲線向左平移個(gè)單位，得到C2

分析：利用誘導(dǎo)公式和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律求解。

解：對(duì)于曲線C1：y=sin 2x，曲線C2：y=cos x，將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變，可得y=sin x 的圖像；再將所得曲線向左平移個(gè)單位，得到C2：y==cos x 的圖像。故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題。

5.已知曲線C1：y=cos x，曲線C2：y=，則下面結(jié)論正確的是( )。

A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到C2

B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到C2

C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到C2

D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到C2

分析：利用三角函數(shù)的伸縮變換及平移變換規(guī)律求解即可。

解：把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cos 2x 的圖像，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù) y = cos的圖像，即曲線C2。故選D。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查考生的計(jì)算能力。

6.若將函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x 的圖像向右平移φ 個(gè)單位，所得圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱，則φ 的最小正值是( )。

分析：利用兩角和的正弦函數(shù)對(duì)解析式進(jìn)行化簡，由所得到的圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱軸方程求出φ 的最小值。

解：函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x=的圖像向右平移φ 個(gè)單位，所得圖像是函數(shù)y=由圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱，可得-2φ=kπ+，即φ=。當(dāng)k=-1 時(shí)，φ 的 最小正值是。故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換和正弦函數(shù)圖像的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題。

7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+θ)，其中ω＞0，θ∈，f'(x1)=f'(x2)=0(x1 ≠x2)，|x1-x2|min將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖像，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )。

分析：利用正弦函數(shù)的周期性及圖像的對(duì)稱性求得f(x)的解析式，利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律求得g(x)的解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。

解：因?yàn)閒(x)=sin(ωx+θ)，其中ω＞0，θ∈，f'(x1)=f'(x2)=0，|x2-，所以，所以ω=2，所以f(x)=sin(2x+θ)。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、圖像的對(duì)稱性，以及函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題。

A.2 B.3 C.4 D.6

分析：根據(jù)平移關(guān)系求出g(x)的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可。

解：將函數(shù)f(x)=0)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=g(x)=2sin=2sin ωx的圖像。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式及利用三角函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵。