■河南省淮陽中學(xué) 宋秀錦

高中數(shù)學(xué)題分客觀題與主觀題兩大類，而客觀題分為選擇題與填空題，選擇題屬于“小靈通”題，其解題過程“不講道理”，所以解答選擇題的基本策略是：充分利用題干和選項兩方面的條件所提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解。而填空題是不要求寫出計算或推理過程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”。解答此類題目的方法一般有直接法、特例法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、排除法等。

一、直接法

方法詮釋直接從題設(shè)條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準確的運算，從而得出正確的結(jié)論適應(yīng)范圍涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法

例1(1)(2018年全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____種；(用數(shù)字填寫答案)

解析：(1)按參加的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參加有種；有2位女生參加有種。故共有=2×6+1×4=16(種)。

因為a＞0，所以a=4。

方法點撥：直接法解決計算型客觀題的關(guān)鍵：①根據(jù)題目的要求準確轉(zhuǎn)化為相關(guān)基本量的運算。②注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計算過程簡化從而得到結(jié)果。

二、特例法

方法詮釋從題干(或選項)出發(fā)，通過選取構(gòu)造特殊情況代入，將問題特殊化，再進行判斷。特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊數(shù)列等適用范圍適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的題目

例2已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)。若矩形ABCD 的四個頂點在E上，AB，CD 的中點為E 的兩個焦 點，且2|AB|=3|BC|，則E 的離心率是____。

解析：不妨設(shè)|AB|=3，則|BC|=2。已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，則AB的中點為F1，故。根據(jù)雙曲線的定義知2a=1，又2c=2，所以該。

方法點撥：特例法解填空題需注意兩點：①取的特例盡可能簡單，有利于計算和推理；②若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解。雙曲線的離心率為

三、圖解法(數(shù)形結(jié)合法)

方法詮釋根據(jù)題設(shè)條件作出所研究問題的曲線或有關(guān)圖形，利用函數(shù)圖像或數(shù)學(xué)表達式的幾何意義，將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、求最值、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來，利用直觀性，再輔以簡單計算，從而求出正確答案適用范圍適用于求解問題中含有幾何意義的題目

例3不等式·sin x＜0，x∈[-π，2π]的解集為_____。

圖1

四、構(gòu)造法

方法詮釋構(gòu)造型客觀題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型(如構(gòu)造函數(shù)、方程或圖形)，從而簡化推理與計算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡捷地解決，它來源于對基礎(chǔ)知識和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感適用范圍適用于需構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、幾何圖像等具體的數(shù)學(xué)模型進行求解的題目

例4已知點P 是正方體ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1內(nèi)任意一點，AP 與棱AA1，AB，AD 的夾角分別為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=____。

解析：如圖2，過點P作平面PQQ'P'與平面PRR'P'，使它們分別與平面 B1C1CB 和 平 面C1D1DC 平行，則構(gòu)成一個長方體 AQ'P'R'-A1QPR，故cos2α+cos2β+cos2γ=1。

圖2

方法點撥：破解此類題的關(guān)鍵：①“取特殊模型”，即構(gòu)造長方體或正方體模型，把不規(guī)則的空間幾何體(空間線、面)放置其中去研究；②“用公式(定理)”，即利用柱體、錐體的表面積與體積公式(空間線、面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理)，即可求其表面積與體積(判斷空間線、面平行與垂直關(guān)系)。

跟蹤訓(xùn)練：

1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n 項和，若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為_____。

解析：設(shè)公差為d，則a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24，S6=6a1+×d=6a1+15d=48。兩式聯(lián)立得方程組

2.在△ABC 中，內(nèi)角A，B，C 所對的邊分 別 為a，b，c。已 知△ABC 的 面 積 為，b-c=2，cos A=，則a 的值為_____。

3.如 圖3 所 示，在?ABCD__中，AP ⊥BD，垂足為點P，且AP=3，則_____。

圖3

解析：把?ABCD 看成正方形，則點P

4.設(shè)數(shù)列{an}的前n 項和為Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1=_____，S5=_____。

解析：因為an+1=2Sn+1，所以Sn+1-Sn=2Sn+1，所以Sn+1=3Sn+1，所以Sn+1+，所以數(shù)列是公比

又S2=4，所以S1=1，所以a1=1。

5.如圖4，已知球O 的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O 的體積等于____。

圖4

圖5

解析：如圖5，以DA，AB，BC 為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球O 的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O 的直徑，所以2R，所以，故球O 的體積