關(guān)雪梅，郝秀紅

(1.燕山大學(xué) 車(chē)輛與能源學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)是有源、無(wú)接觸的廣義復(fù)合運(yùn)動(dòng)，該傳動(dòng)利用磁鐵的特性，結(jié)合電機(jī)學(xué)、電磁學(xué)和機(jī)械學(xué)而發(fā)展起來(lái)的一種新型非接觸傳動(dòng)形式，它集蝸桿傳動(dòng)和電動(dòng)機(jī)功能于一體，進(jìn)一步增強(qiáng)了蝸輪蝸桿傳動(dòng)的功能，該傳動(dòng)與傳統(tǒng)齒輪傳動(dòng)相比具有效率高、系統(tǒng)無(wú)需潤(rùn)滑、噪聲小、結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)[1]。

該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)是集機(jī)、電、磁于一體的機(jī)電耦合廣義復(fù)合傳動(dòng)系統(tǒng)，包括電系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)及其耦合部分，機(jī)構(gòu)各個(gè)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)之間參數(shù)變化是相互影響的，機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)靈敏度分析就是找出機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性對(duì)哪些參數(shù)的變化較為靈敏，進(jìn)而對(duì)這些參數(shù)做出相應(yīng)修正的過(guò)程[2-4]。使用靈敏度分析可以簡(jiǎn)化優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程，提高設(shè)計(jì)效率。

現(xiàn)有的電磁場(chǎng)的耦合場(chǎng)分析方法多為機(jī)電耦合系統(tǒng)的平面單自由度動(dòng)力學(xué)建模及仿真[5-6]，該方法在研究磁場(chǎng)與轉(zhuǎn)矩隨設(shè)計(jì)參數(shù)變化規(guī)律時(shí)沒(méi)有解析法靈活[7-8]，不能給出系統(tǒng)剛度的解析公式，不便于系統(tǒng)靈敏度的分析。

對(duì)廣義復(fù)合傳動(dòng)系統(tǒng)靈敏度分析的方法主要有直接計(jì)算法、高階函數(shù)法和一階函數(shù)法[9-12]。直接計(jì)算法計(jì)算量大且可行性較差；高階靈敏度函數(shù)法難于求解且沒(méi)有實(shí)用性，目前靈敏度分析大多選用的是一階靈敏度函數(shù)法，本文采用一階靈敏度函數(shù)法推導(dǎo)出系統(tǒng)靈敏度矩陣，在初選結(jié)構(gòu)參數(shù)的基礎(chǔ)上，研究機(jī)械系統(tǒng)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)電磁嚙合的影響規(guī)律，為機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)的加工制造提供依據(jù)。

1 電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示[13]。為了方便起見(jiàn)，用相應(yīng)的嚙合位移代替旋轉(zhuǎn)位移

ui=riθi，

(1)

其中，i=p，w，θp、θw為蝸輪、蝸桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，rp、rw是蝸輪、蝸桿的基圓半徑。

蝸桿蝸輪系統(tǒng)矩陣形式可表示為蝸輪位移向量X及與之相應(yīng)的質(zhì)量矩陣M的運(yùn)動(dòng)微分方程，

傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力方程如下

(2)

式中，pwp為蝸桿和蝸輪之間的相對(duì)位移(mm)；kwp為蝸桿與蝸輪之間的扭轉(zhuǎn)電磁嚙合剛度(N/m)。

此系統(tǒng)模型中蝸輪與蝸桿線圈間的電磁耦合力及電磁耦合剛度與安裝有扭矩輸出部件是相同的，由系統(tǒng)的能量函數(shù)求導(dǎo)，并考慮螺旋升角的影響可得蝸輪與蝸桿線圈之間的電磁嚙合剛度為

IiIjcosγ=Ccos(z1θ′+φv/3np)|θ=θ0，

式中，kxw、kyw、kzw為蝸桿在x、y、z方向的支撐剛度(N/m)；kxp、kyp、kzp為蝸輪在x、y、z方向的支撐剛度(N/m)；δ為電磁力與蝸輪圓周的夾角(°)；γ為蝸輪與蝸桿接觸點(diǎn)處的導(dǎo)程角(°)。

圖1 電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型
Fig.1 Dynamic model of the electromagnetic worm drive system

由圖1可知，蝸桿和蝸輪之間的相對(duì)位移pwp計(jì)算如下

pwp=(uww-zp)cosδcosγ+(up-zw)cosδsinγ+
(xp+yw)sinδ，

(3)

將式(3)代入式(2)可得蝸桿蝸輪系統(tǒng)矩陣形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

其中，

(5)

2 機(jī)械系統(tǒng)靈敏度分析

電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程如式(4)所示，與其相對(duì)應(yīng)的特征值方程為[13]

(6)

(7)

(8)

(9)

將式(6)和式(9)代入式(8)簡(jiǎn)化得

(10)

由式(10)可得

(11)

(12)

(13)

2.1 固有頻率對(duì)電磁力與蝸輪圓周夾角δ的靈敏度

由式(12)可得固有頻率對(duì)電磁力與蝸輪圓周夾角δ的靈敏度計(jì)算公式為

(14)

2.2 固有頻率對(duì)比值a/r的靈敏度

比值a/r就是傳動(dòng)系統(tǒng)中的裝配中心距a與環(huán)面蝸桿喉部計(jì)算圓半徑r的比值，由式(12)可得固有頻率對(duì)比值a/r的靈敏度計(jì)算公式為

(15)

由于蝸輪與蝸桿嚙合點(diǎn)的導(dǎo)程角γ為比值a/r與傳動(dòng)比i的函數(shù)，即

可得蝸輪與蝸桿嚙合點(diǎn)處的導(dǎo)程角對(duì)比值a/r的導(dǎo)數(shù)為

(16)

2.3 固有頻率對(duì)傳動(dòng)比iwp的靈敏度

由式(10)可得固有頻率對(duì)傳動(dòng)比iwp的靈敏度計(jì)算公式為

(17)

由于蝸輪與蝸桿嚙合點(diǎn)的導(dǎo)程角γ為比值iwp的函數(shù)，可得蝸輪與蝸桿嚙合點(diǎn)處的導(dǎo)程角對(duì)比值iwp的導(dǎo)數(shù)為

(18)

3 機(jī)械系統(tǒng)靈敏度分析

表1是整體傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)，將參數(shù)代入相對(duì)應(yīng)的公式，可得到固有頻率對(duì)這些參數(shù)的靈敏度變化曲線如圖2～4所示。

表1 算例系統(tǒng)參數(shù)
Tab.1 The system parameters of calculation example

變量取值Mw/kg4.5mw/kg9.0Mp/kg1.5mp/kg3.0kwp/(N/m)1.5×106kxw/kyw/kzw/(N/m) 2.0×106kxp/kyp/kzp/(N/m)1.5×106δ/(°)0/10i8a/R2

圖2 固有頻率對(duì)δ的靈敏度
Fig.2 The sensitivity of natural frequency forδ

圖3 固有頻率對(duì)比值a/r的靈敏度
Fig.3 The sensitivity of natural frequency fora/r

圖4 固有頻率對(duì)比值iwp的靈敏度
Fig.4 The sensitivity of natural frequency foriwp

由靈敏度曲線可得出如下規(guī)律:

1) 單個(gè)不重復(fù)且不等于零的3個(gè)固有頻率，隨著電磁力與蝸輪圓周的夾角δ的增加而減小，此三頻率相應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)為旋轉(zhuǎn)模態(tài)。隨著電磁力與蝸輪圓周的夾角δ的增加前3個(gè)模態(tài)的靈敏度遞增，數(shù)值較大，且都為負(fù)值，蝸輪及蝸桿模態(tài)靈敏度始終等于零。其中，第一、第三模態(tài)的靈敏度較高，第二模態(tài)靈敏度較低。由靈敏度的定義可知，隨著電磁力與蝸輪圓周的夾角δ的增加，前三模態(tài)的固有頻率遞減，且第一、第三模態(tài)固有頻率遞減較快，第二模態(tài)固有頻率遞減較慢，蝸輪及蝸桿模態(tài)固有頻率不變。

2) 隨著比值a/r的增加前三模態(tài)的靈敏度遞減，數(shù)值很小，且都為負(fù)值，蝸輪及蝸桿模態(tài)靈敏度始終等于零。其中，第一、第三模態(tài)的靈敏度較高，第二模態(tài)靈敏度較低。由靈敏度的定義可知，隨著比值a/r的增加，前三模態(tài)的固有頻率遞減，且第一、第三模態(tài)固有頻率遞增較快，第二模態(tài)固有頻率遞增較慢，蝸輪及蝸桿模態(tài)固有頻率不變。

3) 隨著傳動(dòng)比iwp的增加前三模態(tài)的靈敏度遞減，數(shù)值較小，且都為負(fù)值，蝸輪及蝸桿模態(tài)靈敏度始終等于零。其中，第一、第三模態(tài)的靈敏度較高，第二模態(tài)靈敏度較低。由靈敏度的定義可知，隨著傳動(dòng)比iwp的增加，前三模態(tài)的固有頻率遞減，且第一、第三模態(tài)固有頻率遞增較快，第二模態(tài)固有頻率遞增較慢，蝸輪及蝸桿模態(tài)固有頻率不變。

4 結(jié)論

本文在前期研究基礎(chǔ)上，利用解析法研究機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，建立機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)行了機(jī)械系統(tǒng)靈敏度分析，結(jié)果表明電磁蝸桿傳動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)自由振動(dòng)的模態(tài)分蝸桿模態(tài)和蝸輪模態(tài)；機(jī)械系統(tǒng)的固有頻率較低；對(duì)于每個(gè)磁極都有3個(gè)不同的固有頻率相對(duì)應(yīng)。

通過(guò)靈敏度分析，可以解決運(yùn)行過(guò)程中機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率對(duì)傳動(dòng)隨機(jī)參數(shù)的響應(yīng)問(wèn)題。在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)其運(yùn)行工況確定外部激勵(lì)源的頻率，選擇適當(dāng)?shù)姆绞礁淖兿到y(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)從而改變系統(tǒng)固有頻率避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，進(jìn)而設(shè)計(jì)出合理的蝸輪蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)，為機(jī)電集成電磁蝸桿傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和加工制造提供依據(jù)。