摘 要：高中數(shù)學(xué)中的立體幾何是一門邏輯性和實(shí)用性都很強(qiáng)的科目，對于高中生而言，學(xué)習(xí)起來是比較吃力的，因此，高中生要懂得靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)中的各種方法來研究題目并使問題最終得到解決。割補(bǔ)法就是立體幾何中一種非常實(shí)用的解題方法，學(xué)生可以利用割補(bǔ)幾何體的方法來找出已知的幾何體和未知幾何體之間的內(nèi)在聯(lián)系。割補(bǔ)法是解決空間問題最常用的方法之一，掌握好這種幾何方法對于學(xué)生的學(xué)習(xí)來說有著非常重要的幫助。本文分析探究了學(xué)生在高中立體幾何學(xué)習(xí)中割補(bǔ)法的應(yīng)用，希望對高中生立體幾何解題能力的提升提供一定的參考和建議。

關(guān)鍵詞：割補(bǔ)法；高中；立體幾何；解題

割補(bǔ)法就是對某一圖形進(jìn)行分割和補(bǔ)充，使其轉(zhuǎn)化為簡單或者比較特殊的圖形，以方便研究和解題的方法。目前在高中立體幾何推證棱錐體積公式以及證明棱柱的側(cè)面積公式等模塊中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。學(xué)生如果可以運(yùn)用好這種方法，就可以將立體幾何中一些較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為比較簡單直觀的問題，從而使論證以及運(yùn)算的過程變得更為簡單。以下通過一些具體的問題進(jìn)行闡述。

一、 補(bǔ)形法

補(bǔ)形法就是把已知的幾何體補(bǔ)充成為一個(gè)新的幾何體，再對新的幾何體進(jìn)行分析研究，從而使問題得到解決。

（一） 構(gòu)造正方體

正方體比較規(guī)整，也方便計(jì)算和證明，高中生在解立體幾何的過程中，可以將復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)換為正方體，這樣就會使解題的過程更加簡單了。

例1 如圖1所示，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作面AC⊥A，設(shè)AP=AB，則面PAB和面PCD所成的二面角大小為多少？

學(xué)生可以這樣分析：這道題目可以將圖形補(bǔ)充成一個(gè)正方體，設(shè)這個(gè)正方體為ABCDPQRS，如圖1所示那么求二面角就是求正方體的側(cè)面ABQP與對面角PQCD所成的角，這個(gè)角為45°，因此，我們所求的二面角大小就是45°。

（二） 補(bǔ)臺體為椎體

臺體是由椎體截得的，因此臺體和椎體的特征和性質(zhì)有著很多的關(guān)聯(lián)，當(dāng)學(xué)生遇到臺體中一些較為復(fù)雜上的問題時(shí)，就可以將臺體補(bǔ)充為椎體，從而使問題簡化。

例2 已知三棱臺ABCA′B′C′的側(cè)面A′C′CA為梯形，梯形的底角互余，且側(cè)面與底面互相垂直，

CA⊥CB，求證：三棱臺的其他兩個(gè)側(cè)面也相互垂直。

學(xué)生會這樣思考：如果三棱臺的側(cè)面B′BCC′垂直于面A′ABB′，如圖2所示那么就需要證明這兩個(gè)面所成的角是直二面角或者直接用面面垂直的判定定理，不過憑借原圖很難證明，因此可以把三棱臺轉(zhuǎn)化為三棱錐PABC

證明：由于三棱臺側(cè)面A′C′CA的底角互余，因此∠APC=90°，也就是AP⊥CP.

∵面A′C′CA與底面ABC垂直，CA⊥CB，

∴CB⊥面APC，PA面PAC，∴CB⊥AP.

∴AP⊥面BCP，PA面PAB，

∴面PAB⊥面PBC，因此面B′BCC′垂直于面A′ABB′.

二、 分割法

分割法就是把幾何體分成若干部分，通過整體和部分的聯(lián)系解決問題。

例3 已知正四面體的棱長為a，求它內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各個(gè)面的距離之和。

如圖3所示，連接AP、BP、CP、DP，將正四面體分割成四個(gè)三棱錐：三棱錐PABC、PBCD、PABD、PACD，設(shè)P到各個(gè)面的距離為h1、h2、h3、h4，每個(gè)面的面積為S1、S2、S3、S4，S1=S2=S3=S4，那么這幾個(gè)棱錐的體積分別表示為：13Sh1、13Sh2、13Sh3、13Sh4，正四面體的體積表示

為69aS，

∴13Sh1+13Sh2+13Sh3+13Sh14=

69aS，

∴h1+h2+h3+h4=63a

例4 已知三棱錐PABC中，AP=4，BP=CP=2，∠BPA=∠CPA=∠CPB=60°，則三棱錐P-ABC的體積是多少？

對于這道題目，學(xué)生繪制圖4的圖像，分析這幾種情況：

（1）取BC的中點(diǎn)為D，連接DA和DP，過P作HP⊥DA，易證△ABC的垂足為H，則三棱錐PABC的高為HP，由棱錐體積公式V=13S△ABC·HP可算出三棱錐PABC的體積。

（2）利用直接面解題，面PAD為直接面，則三棱錐PABC的體積表示為PABC=13S△PAD·BC，那么只需求出BC和直接面PAD就可以解出這道題目。

三、 割補(bǔ)法

割補(bǔ)法就是將幾何體先補(bǔ)充成一個(gè)比較特殊的幾何體，再將這個(gè)特殊的幾何體分割為若干部分。

（一） 從“形上割補(bǔ)”

例5 設(shè)m、l為兩條直線，α為一個(gè)平面，那么以下命題正確的選項(xiàng)為（ ）

A. 若l⊥m，ma，則l⊥α

B. 若l⊥α，l∥m，則m⊥α

C. 若l∥α，ma，則1∥m

D. 若l∥α，m∥a，則l∥m

學(xué)生拿到題目后，可以繪制一個(gè)正方體，并在圖中標(biāo)出條件，如圖5，再分析：這道題目以符號語言出題，在判斷正誤的時(shí)候，僅憑對線線以及線面之間的位置關(guān)系是很難解決問題的，需要將符號語言轉(zhuǎn)換成圖形，再對圖像進(jìn)行分析研究，學(xué)生要通過畫圖，將選項(xiàng)中所有的條件放在正方體模型中，從而判斷出選項(xiàng)的正誤。如上圖所示。

（二） 從“量”上割補(bǔ)

例6 如圖6，已知面BCD⊥AB，BC⊥CD，那么有哪些線和面垂直、面和面垂直？

圖6

這道題目是高三學(xué)生第一輪復(fù)習(xí)中線線垂直、線面垂直以及面面垂直的典型例題，但很多學(xué)生在解題的時(shí)候答案并不完整，其實(shí)是由于學(xué)生沒有從本質(zhì)上了解圖像的特點(diǎn)。

在具體的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生要根據(jù)圖中的垂直關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想，比如構(gòu)建正方體，如圖7，再進(jìn)行解題，學(xué)生通過對正方體中六個(gè)面與十二條棱的觀察，可以得出以下結(jié)論：

棱AA1、BB1、CC1、DD1和上下底面相互垂直，棱AD、BC、B1C、A1D1和左右兩個(gè)面垂直，棱AB、CD、C1D1、A1B1與前后兩個(gè)面垂直。

四、 結(jié)束語

通過上述的例題可以看出，在幾何的學(xué)習(xí)和解題中運(yùn)用割補(bǔ)法，學(xué)生可以將一些較為復(fù)雜難以下手的幾何體轉(zhuǎn)換成簡單的幾何體，從而簡化了解題的思路和過程。高中生如果能夠掌握好割補(bǔ)法，在解題的過程中對題目進(jìn)行充分的分析，就能找到一些十分巧妙的解題方法，使解題變得更加簡單。對于高中生而言，掌握割補(bǔ)法有利于將自身的學(xué)習(xí)興趣充分激發(fā)出來，促進(jìn)自身思維能力以及創(chuàng)新能力的提升，可以幫助學(xué)生全面健康的發(fā)展。因此，高中生在立體幾何的學(xué)習(xí)中，要靈活地運(yùn)用割補(bǔ)法，不斷提升自身的邏輯思維能力以及空間想象能力，從整體上提升數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

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[3]趙保鐸.割補(bǔ)法在立體幾何解題中的應(yīng)用[J].甘肅教育，1994（9）.

作者簡介：高博揚(yáng)，山西省太原市，太原市旱西關(guān)南二條太原十二中。