任 越，楊 軍

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072)

0 引言

現(xiàn)代作戰(zhàn)飛機(jī)的自衛(wèi)攔截手段可分為被動(dòng)防御和主動(dòng)防御兩類。被動(dòng)防御手段包括隱身技術(shù)、誘餌技術(shù)及誘騙技術(shù)等，完全是一種消極被動(dòng)的逃避方式。隨著導(dǎo)彈技術(shù)的不斷完善，這種消極被動(dòng)的逃避方式幾乎不能確保飛機(jī)的有效生存，科索沃戰(zhàn)爭(zhēng)中，造價(jià)數(shù)億美元的F-117隱身戰(zhàn)斗機(jī)，被廉價(jià)的SA-3導(dǎo)彈所擊毀，就是最好的例證。主動(dòng)防御技術(shù)則采用機(jī)載反導(dǎo)攔截武器主動(dòng)摧毀來(lái)襲導(dǎo)彈，能夠更好地提高飛機(jī)生存能力。機(jī)載反導(dǎo)攔截武器主要包括機(jī)載定向能武器(主要是激光)和機(jī)載反導(dǎo)攔截彈兩類[1]。本文研究的對(duì)象即為機(jī)載反導(dǎo)攔截彈。

考慮不同載機(jī)平臺(tái)面臨的主要威脅，反導(dǎo)攔截彈應(yīng)具備攔截中遠(yuǎn)距空空彈的能力。同時(shí)，反導(dǎo)攔截彈應(yīng)能夠幫助載機(jī)瓦解來(lái)襲導(dǎo)彈尾追、側(cè)擊和迎擊這三種典型攻擊態(tài)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)全向攻擊。其中攔截尾追目標(biāo)需要采用越肩發(fā)射來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)尾后目標(biāo)的攻擊，也是攔截技術(shù)的難點(diǎn)。

越肩發(fā)射導(dǎo)彈的制導(dǎo)過(guò)程一般由發(fā)射后的轉(zhuǎn)彎段和末制導(dǎo)攻擊段組成。轉(zhuǎn)彎段的目的是使導(dǎo)彈快速轉(zhuǎn)向目標(biāo)，當(dāng)滿足中末制導(dǎo)交班條件時(shí)進(jìn)入末制導(dǎo)。從查閱情況來(lái)看，轉(zhuǎn)彎段導(dǎo)引律一般以快速性或者速度為指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[2]使平行于初始視線方向上的速度分量最大，并以終端速度最大為指標(biāo)，根據(jù)極小值原理設(shè)計(jì)了轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律。反導(dǎo)攔截需要實(shí)現(xiàn)對(duì)來(lái)襲彈的直接碰撞，對(duì)脫靶量要求極高，同時(shí)來(lái)襲彈為具備高速、高機(jī)動(dòng)能力的戰(zhàn)術(shù)空空彈，因此對(duì)末制導(dǎo)律要求較高。針對(duì)高速、高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的末制導(dǎo)律，一般以各種形式的最優(yōu)制導(dǎo)律和變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律為主，文獻(xiàn)[3]考慮了能量管理和優(yōu)化問(wèn)題，以零控脫靶量和交會(huì)角為指標(biāo)設(shè)計(jì)了最優(yōu)制導(dǎo)律。

借鑒相關(guān)文獻(xiàn)的研究成果，本文以攻角作為控制量，采用偽譜法設(shè)計(jì)了反導(dǎo)攔截彈的轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律，并采用變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)了末制導(dǎo)律。同時(shí)建立了載機(jī)攜帶攔截彈對(duì)來(lái)襲空空彈的反導(dǎo)對(duì)抗模型，利用設(shè)計(jì)的攔截彈復(fù)合制導(dǎo)規(guī)律對(duì)尾追目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了攔截仿真。

1 轉(zhuǎn)彎段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

采用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程對(duì)轉(zhuǎn)彎段軌跡進(jìn)行優(yōu)化，并給出最優(yōu)攻角指令，為了簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，提出以下假設(shè)：

1)不計(jì)操縱力、旋轉(zhuǎn)力和非定常氣動(dòng)力；

2)攔截彈采用側(cè)滑控制技術(shù)(Side to Turn，STT)轉(zhuǎn)彎，滾轉(zhuǎn)通道穩(wěn)定，滾轉(zhuǎn)角恒定。

設(shè)狀態(tài)變量x=[V,θ,ψV,h]T,控制變量u=[α,β]T，彈道坐標(biāo)系下的導(dǎo)彈三自由度方程為

(1)

式中，m為質(zhì)量，V為速度，θ為彈道傾角，ψV為彈道偏角，h為高度，α為攻角，β為側(cè)滑角；Q為動(dòng)壓，S為參考面積，CD為阻力系數(shù)，CY為升力系數(shù)，CZ為側(cè)力系數(shù)；P為主發(fā)動(dòng)機(jī)推力；g為重力加速度。

本文用Radau偽譜法求解最優(yōu)轉(zhuǎn)彎規(guī)律。Radau偽譜法的配點(diǎn)為L(zhǎng)egendre-Gauss-Radau(LGR)點(diǎn)，該方法以較少的節(jié)點(diǎn)獲得很高的求解精度，精度僅次于Gauss偽譜法，但收斂速度更快[5]。GPOPS-II軟件是一個(gè)較為成熟的用Radau偽譜法求解最優(yōu)控制的軟件，求解時(shí)需要輸入微分方程、邊界條件、邊界約束、狀態(tài)約束、性能指標(biāo)以及容許控制等。

考慮攔截彈轉(zhuǎn)彎段邊界條件，轉(zhuǎn)彎段速度不能太大，以減小需用過(guò)載，初速則和載機(jī)相同。轉(zhuǎn)彎結(jié)束后攔截彈的速度矢量應(yīng)大致指向來(lái)襲彈。優(yōu)化的邊界條件為

(2)

邊界約束為

(3)

采用大攻角轉(zhuǎn)彎可以減小轉(zhuǎn)彎時(shí)間，但是攻角過(guò)大，氣動(dòng)特性會(huì)異常復(fù)雜，所以攔截彈的轉(zhuǎn)彎應(yīng)在合適的攻角范圍內(nèi)進(jìn)行。本文將攔截彈的攻角限制在40°，狀態(tài)約束設(shè)為

(4)

攔截彈應(yīng)在盡量短的時(shí)間內(nèi)完成轉(zhuǎn)彎，所以將轉(zhuǎn)彎時(shí)間最短作為性能指標(biāo)

(5)

利用Radau偽譜法完成對(duì)連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題的離散化后,采用snopt求解器對(duì)離散最優(yōu)控制進(jìn)行求解，得到優(yōu)化的狀態(tài)信息和控制信息。對(duì)優(yōu)化后的攻角曲線進(jìn)行擬合以給出攻角指令。

擬合后的攻角指令以下面形式給出

αc=a6t6+a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+a1t+a0

(6)

邊界條件中不同的θf(wàn)會(huì)優(yōu)化出不同的攻角指令，以θf(wàn)為自變量對(duì)αc中的系數(shù)a0～a6進(jìn)行線性擬合，表達(dá)式如下

a6=b61θf(wàn)+b60,a5=b51θf(wàn)+b50a4=b41θf(wàn)+b40,a3=b31θf(wàn)+b30a2=b21θf(wàn)+b20,a3=b11θf(wàn)+b10a0=b01θf(wàn)+b00

各項(xiàng)系數(shù)具體數(shù)值如下

b61=0.0049,b60=-0.7876b51=-0.0386,b50=6.2092b41=0.1110,b40=-18.0444b31=-0.1443,b30=23.7847b21=0.0885,b20=-14.7768b11=-0.0244,b10=4.0897b01=0.0025,b00=0.2939

法向過(guò)載的計(jì)算公式為

nyc=[Psinαc+QSCY(αc)]/mg

(7)

將攻角指令代入式(7)，得到轉(zhuǎn)彎段過(guò)載指令

nyc=[Psin(a6t6+a5t5+a4t4+a3t3+a2t2+

a1t+a0)+QSCY(a6t6+a5t5+a4t4+

a3t3+a2t2+a1t+a0)]/mg

(8)

2 末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 數(shù)學(xué)模型的建立

攔截彈為STT轉(zhuǎn)彎，假設(shè)保持滾轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定，則導(dǎo)彈的控制可以解耦在2個(gè)相互正交的通道內(nèi)。本文對(duì)末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)在縱向平面內(nèi)開(kāi)展，并假設(shè)攔截彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可在初始目標(biāo)視線附近線性化。攔截彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 縱向平面內(nèi)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系幾何Fig.1 Relative kinematics relationship betweenmissile and target in longitudinal plane

圖1中，下標(biāo)M和T分別代表攔截彈和目標(biāo)的相應(yīng)變量。V、a、θv分別代表速度、側(cè)向加速度和彈道傾角。qα代表視線高低角，r表示彈目相對(duì)距離。z表示某一時(shí)刻彈目視線與初始視線在法線方向的相對(duì)位移。

根據(jù)圖1可以得到

(9)

彈目在視線切線方向上的相對(duì)速度為

Vq=-VMsin(θM-qα)+VTsin(θT+qα)

(10)

彈目在視線法線方向上的相對(duì)速度為

Vq=-VMsin(θM-qα)+VTsin(θT+qα)

(11)

Vq同時(shí)可以表示為

(12)

假設(shè)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)為一階動(dòng)力學(xué)，則

(13)

式中，τT為目標(biāo)的一階時(shí)間常數(shù)。

假設(shè)攔截彈的機(jī)動(dòng)為一階動(dòng)力學(xué)，則有

(14)

式中，τM為導(dǎo)彈的一階時(shí)間常數(shù)。

(15)

2.2 零控脫靶量

變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的滑膜面常選用視線角速度，但是制導(dǎo)末端彈目關(guān)系變化劇烈，導(dǎo)致視線角速度驟變、控制信號(hào)惡劣。針對(duì)具有高速、大機(jī)動(dòng)能力的來(lái)襲目標(biāo)，本文選取零控脫靶量(Zero Effort Miss，ZEM)作為滑膜面。零控脫靶量的含義是從當(dāng)前時(shí)刻開(kāi)始，目標(biāo)保持當(dāng)前機(jī)動(dòng)不變，導(dǎo)彈控制量為0的最終脫靶量。

由零控脫靶量的定義可以將式(15)轉(zhuǎn)化為齊次方程

(16)

x=[x1x2x3x4]T

(17)

對(duì)齊次方程進(jìn)行Laplace變換，可以得到：

x4(s)=x40/(s+1/τM)

(18)

x3(s)=x30/(s+1/τT)

(19)

(20)

(21)

對(duì)x1(s)進(jìn)行Laplace逆變換得

(22)

任意時(shí)刻的ZEM可以表示為

(23)

其中：ψ(tgo/τ)=e-tgo/τ-1+tgo/τ。

根據(jù)幾何關(guān)系可以得到

z=-Vrtgoqα

(24)

(25)

ZEM可以寫為

(26)

2.3 變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

考慮簡(jiǎn)化的導(dǎo)彈、目標(biāo)動(dòng)力學(xué)一階環(huán)節(jié)與實(shí)際動(dòng)力學(xué)之間的有界誤差分別為ΔaMN、ΔaTN，同時(shí)目標(biāo)加速度為有界未知變量

(27)

(28)

利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

(29)

(30)

對(duì)s進(jìn)行微分運(yùn)算：

(31)

結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程和式(31)可以得到

(32)

(33)

根據(jù)Lyapunov第二法選取Lyapunov函數(shù)為

L=s2/2

(34)

(35)

將控制量代入V中，得到

(36)

(37)

因?yàn)棣谴笥谙到y(tǒng)總擾動(dòng)的界Δ，所以V<0，系統(tǒng)穩(wěn)定。

為了削弱滑膜控制的抖振，采用連續(xù)高增益法，用連續(xù)函數(shù)w(s)取代sgn(s)

(38)

式中，δ是很小的正常數(shù)。

因此，末制導(dǎo)段縱向平面法向過(guò)載指令為

(39)

側(cè)向平面采用次最優(yōu)導(dǎo)引律為

(40)

式中，導(dǎo)航比N=4。

3 交接班導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

考慮初末制導(dǎo)的彈道交接班。在彈道交接點(diǎn)，核心思想是使加速度矢量連續(xù)。這可以理解為使得交接班加速度

(41)

為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。其中：ajj(t)為導(dǎo)彈的加速度矢量，v(t)為導(dǎo)彈的速度矢量。若能夠使得ajj(t)交接班開(kāi)始時(shí)刻等于初制導(dǎo)結(jié)束時(shí)刻的加速度指令,在交接班完成時(shí)等于末制導(dǎo)所需的加速度指令,則完成導(dǎo)彈中末制導(dǎo)的交接班。

基于以上思想，將交接班看作是從第i條彈道到第j條彈道的過(guò)渡。定義交接班導(dǎo)引律為[9]

ajj(t)=aj(tb)+(T+t0-t)[ai(t0)-aj(tb)]/T

(42)

式中，ai(t0)、aj(tb)分別為第i條彈道和第j條彈道的指令加速度。t0為交接開(kāi)始時(shí)間，T為交接班時(shí)間。

4 載機(jī)發(fā)射模塊數(shù)學(xué)模型

在這里，建立簡(jiǎn)化的發(fā)射控制模塊數(shù)學(xué)模型，僅簡(jiǎn)要描述其對(duì)發(fā)射的控制，數(shù)學(xué)公式如下

(43)

式中，SF為發(fā)射狀態(tài)字，0表示不發(fā)射攔截彈，1表示發(fā)射攔截彈；Rm為載機(jī)與目標(biāo)的相對(duì)距離測(cè)量值；Rb為攔截彈允許發(fā)射最遠(yuǎn)距離。

5 仿真分析

假設(shè)在傳感器理想的情況下，來(lái)襲導(dǎo)彈狀態(tài)信息及攔截導(dǎo)彈飛行參數(shù)都可以準(zhǔn)確獲得。反導(dǎo)攔截彈各項(xiàng)參數(shù)由Missle Datcom軟件計(jì)算得到，來(lái)襲導(dǎo)彈為某型雷達(dá)制導(dǎo)空空導(dǎo)彈，在Matlab/Simulink中對(duì)載機(jī)反導(dǎo)場(chǎng)景進(jìn)行仿真。

來(lái)襲導(dǎo)彈攻擊態(tài)勢(shì)：來(lái)襲彈與載機(jī)初始高差為2km，初始斜距為6.4km，來(lái)襲彈尾追攻擊載機(jī)。

攔截態(tài)勢(shì)：載機(jī)在距來(lái)襲彈6km處發(fā)射反導(dǎo)攔截彈對(duì)來(lái)襲導(dǎo)彈實(shí)施攔截。

仿真條件設(shè)置：載機(jī)水平勻速飛行，初始位置(0，10000，0)m，初始速度為0.8Ma；來(lái)襲導(dǎo)彈初始位置(-6000，12000，1000)m，初始速度為0.8Ma。載機(jī)初始彈道偏角為0°，來(lái)襲彈初始彈道偏角0°、初始彈道傾角為0°。用于末制導(dǎo)律計(jì)算的攔截彈與來(lái)襲彈的動(dòng)力學(xué)一階時(shí)間常數(shù)均取為0.1s。仿真曲線如圖2～圖7所示。

圖2 側(cè)向彈道Fig.2 Lateral trajectory

圖3 縱向彈道Fig.3 Longitudinal trajectory

圖4 側(cè)向過(guò)載Fig.4 Lateral acceleration

圖5 縱向過(guò)載Fig.5 Longitudinal acceleration

圖6 攔截彈速度Fig.6 Velocity of the interceptor

圖7 零控脫靶量Fig.7 Zero-effort misses distance

從圖6中可以看出，初制導(dǎo)轉(zhuǎn)彎段速度減小，原因是導(dǎo)彈推力和空氣動(dòng)力的合力與速度方向相反。轉(zhuǎn)彎段速度較小可以減小導(dǎo)彈需用過(guò)載，實(shí)現(xiàn)快速轉(zhuǎn)彎。從圖5中可以看出，攔截彈在進(jìn)入末制導(dǎo)后以較大的縱向過(guò)載使滑膜快速趨近0，到達(dá)滑膜后以較小的過(guò)載使得ZEM維持在0附近。制導(dǎo)末端tgo趨近于0導(dǎo)致過(guò)載指令變化很大。采用本文給出的復(fù)合制導(dǎo)律，攔截彈最終的脫靶量為0.2m，能夠?qū)?lái)襲彈實(shí)施直接碰撞，同時(shí)攔截成功時(shí)碰撞點(diǎn)距載機(jī)超過(guò)1km，能夠保證載機(jī)的安全。

6 結(jié)論

本文主要研究了反導(dǎo)攔截彈越肩發(fā)射的復(fù)合制導(dǎo)規(guī)律，給出了轉(zhuǎn)彎段導(dǎo)引律和變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律，數(shù)字仿真結(jié)果說(shuō)明，這種復(fù)合制導(dǎo)規(guī)律能夠?qū)崿F(xiàn)載機(jī)對(duì)來(lái)襲導(dǎo)彈的自衛(wèi)攔截。

基于零控脫靶量的末制導(dǎo)律需要攔截彈的剩余飛行時(shí)間、來(lái)襲彈機(jī)動(dòng)加速度等信息，這就給小型化攔截彈與載機(jī)的探測(cè)裝置及估計(jì)算法提出了較高的要求，工程上若要實(shí)現(xiàn)還需要進(jìn)一步研究。同時(shí)，未來(lái)需要進(jìn)一步考慮在無(wú)法準(zhǔn)確獲得敵方導(dǎo)彈狀態(tài)信息時(shí)如何進(jìn)行估計(jì)，本文忽略了許多非線性因素，在更加貼近實(shí)際的作戰(zhàn)場(chǎng)景中仍需要深入研究。