王大澳，菅利榮，王 慧，劉思峰

(1.南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，江蘇 南京 211106；2.北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，北京 100044)

1 引言

產(chǎn)業(yè)集群作為當(dāng)前產(chǎn)業(yè)發(fā)展中的一種重要形式，具有技術(shù)創(chuàng)新密集、規(guī)模經(jīng)濟(jì)突出和知識(shí)溢出等特征。產(chǎn)業(yè)集群形成后，集群內(nèi)部的企業(yè)組成協(xié)同創(chuàng)新聯(lián)盟，通過聯(lián)盟合作促進(jìn)集群內(nèi)新興創(chuàng)新企業(yè)的快速繁衍、成長(zhǎng)，使相關(guān)產(chǎn)業(yè)得到延伸，逐漸形成協(xié)同創(chuàng)新網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成完整的產(chǎn)業(yè)鏈條，提升科技與知識(shí)創(chuàng)新的效率，形成持續(xù)創(chuàng)新發(fā)展的機(jī)制，進(jìn)而有力帶動(dòng)整個(gè)新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。然而影響聯(lián)盟企業(yè)合作最為關(guān)鍵的因素是如何合理公平的對(duì)組成聯(lián)盟所獲取的利益進(jìn)行分配，利益分配是否合理直接影響聯(lián)盟創(chuàng)新的可持續(xù)性和穩(wěn)定性。

如何有效解決合作聯(lián)盟內(nèi)的收益分配問題已成為國(guó)內(nèi)外研究的重要課題。Shapley值及其改進(jìn)的方法是研究合作聯(lián)盟企業(yè)利益分配問題的重要方法之一。Shapley值是由Shapley于1953年提出的一種用以解決n人合作中利益分配問題的數(shù)學(xué)方法[1]。傳統(tǒng)的Shapley值方法以合作聯(lián)盟中每位成員具有相同的邊際貢獻(xiàn)為前提假設(shè)，然而在實(shí)際情況中，政治、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等因素可能會(huì)對(duì)聯(lián)盟成員形成一定的約束。Aumann和Maschler最早提出了具有限制的合作博弈模型[2]。隨后學(xué)者們探討了參與成員之間其他形式的合作限制。Myerson通過無向圖來描述成員之間是否具有雙邊交流，將連通圖作為對(duì)可行聯(lián)盟的限制，只有成員之間具有連接關(guān)系，他們才可以形成合作[3]。Gilles假設(shè)一個(gè)成員必須獲得至少一個(gè)他的上級(jí)成員的許可才能和其他成員進(jìn)行合作[4]；Derks假設(shè)上級(jí)和下級(jí)所具有的權(quán)重不同，任何上級(jí)可以否決其下屬的行為，因此成員必須得到所有上級(jí)的許可才可參與合作[5-6]； Béal 等[7]在研究具有限制性可能的合作博弈中，擴(kuò)展了Herings等[8]提出的樹形結(jié)構(gòu)的平均邊際樹解，并獲得了這些解的一些新的特性；孫紅霞和張強(qiáng)[9]基于Faigle和Kern[10]提出的格結(jié)構(gòu)思想，研究了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的限制合作博弈。張瑜等[11]利用網(wǎng)絡(luò)協(xié)同系數(shù)對(duì)Shapley值進(jìn)行優(yōu)化對(duì)產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟中的創(chuàng)新主體在合作過程中的利益協(xié)調(diào)問題進(jìn)行了研究。上述文獻(xiàn)中考慮具有限制的合作博弈問題，前提條件都是參與人之間的依賴關(guān)系必須是完整的，即在一個(gè)聯(lián)盟中一個(gè)成員要么被允許完全合作，否則他們不能參與合作。

然而在實(shí)際的聯(lián)盟合作中，企業(yè)在參與合作時(shí)，由于自生技術(shù)的局限性，產(chǎn)業(yè)集群環(huán)境的不確定性，企業(yè)只能發(fā)揮出一部分能力。企業(yè)之間以一定的參與率參加到聯(lián)盟合作中，他們之間的收益分配問題具有非可加性。為了解釋和刻畫這種問題，就要弱化概率公理化刻畫中可加性的條件。法國(guó)數(shù)學(xué)家Choquet[12]在1954年提出了關(guān)于容度的理論，來解釋非可加的測(cè)度，并提出了有界隨機(jī)變量關(guān)于容度的Choquet積分。Choquet積分是一種不滿足可加性測(cè)度的非線性積分，是解決屬性之間具有關(guān)聯(lián)性的問題有效方法。如趙樹平等[13]運(yùn)用Choquet積分解決屬性之間具有關(guān)聯(lián)性的決策問題?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中已有很多學(xué)者利用Choquet理論對(duì)聯(lián)盟成員以某種程度參與到聯(lián)盟合作中的情況進(jìn)行了研究。Gallardo等[14]考慮到聯(lián)盟中的成員可能具有一定的自由度參與合作的情況，構(gòu)建了聯(lián)盟中參與人可主觀的確定限制的博弈模型。孫紅霞和張強(qiáng)[15]將經(jīng)典合作博弈中的勢(shì)函數(shù)和一致性推廣到具有模糊聯(lián)盟的合作博弈中，研究了具有模糊聯(lián)盟博弈的Shapley值。孫紅霞[16]研究了模糊聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策的分配問題，定義了Chouqet積分形式的模糊聯(lián)盟核心，并證明了Chouqet積分形式模糊Owen值屬于其所對(duì)應(yīng)的模糊聯(lián)盟核心。孟凡永和張強(qiáng)[17]研究了具有Choquet積分形式的模糊合作對(duì)策，并對(duì)其單調(diào)性和連續(xù)性進(jìn)行了研究。單而芳和張廣[18]結(jié)合權(quán)重的思想對(duì)準(zhǔn)許樹結(jié)構(gòu)(即局中人的活動(dòng)需要經(jīng)得其他局中人的準(zhǔn)許才能生效)的博弈進(jìn)行了研究，并對(duì)準(zhǔn)許樹博弈限制核的研究，證明了當(dāng)準(zhǔn)許樹博弈滿足錐模性質(zhì)時(shí)由權(quán)重系統(tǒng)集確定的解集與它的準(zhǔn)許樹限制核是等價(jià)的。楊靛青等[19]針對(duì)模糊環(huán)境下有限制的聯(lián)盟合作情況，利用Choquet積分定義了模糊聯(lián)盟圖合作對(duì)策τ值，證明了其存在性和其他重要性質(zhì)。

上述文獻(xiàn)中考慮了具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作博弈問題，但在實(shí)際的產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作中，由于集群環(huán)境的復(fù)雜性、不確定性和企業(yè)自我認(rèn)識(shí)的局限性，有時(shí)很難完全確定信息的精確值。然而鄧聚龍[20]提出的灰色系統(tǒng)理論對(duì)這類 “部分信息已知，部分信息未知”的小樣本，貧信息的問題可以進(jìn)行很好的刻畫。鑒于此，在前人研究的基礎(chǔ)上，本文將灰數(shù)、Choquet積分和Shapley值模型相結(jié)合，提出了基于灰色授權(quán)機(jī)制的限制合作博弈，進(jìn)而解決產(chǎn)業(yè)集群中企業(yè)的合作能力和聯(lián)盟收益值均為區(qū)間灰數(shù)，且企業(yè)之間具有關(guān)聯(lián)性的聯(lián)盟利益分配問題。

2 理論基礎(chǔ)

2.1 合作博弈

設(shè)有限局中人集合N={1,2,3,…,n}上具有效用可轉(zhuǎn)移的合作對(duì)策，是一個(gè)二元組，(N,v)，其中v:2N→是定義在所有子集上的特征函數(shù)，且滿足v(?)=0；對(duì)任意S1,S2∈2N滿足S1∩S2=?，v(S1∪S2)≥v(S1)+v(S2)。一般情況下，通過特征函數(shù)v來識(shí)別一個(gè)合作博弈(N,v)，給定一個(gè)聯(lián)盟E?N，v(E)為聯(lián)盟E的值，表示在聯(lián)盟E中局中人共同協(xié)作獲得的收益。如果博弈v是單調(diào)的，對(duì)于任意F?E?N，則有v(F)≤v(E)。將N上所有經(jīng)典合作對(duì)策記為G(N)。

定義1 在n人合作博弈(N,v)中，G(N)的Shapley值是n維向量：φ(v)=(φ1(v),φ2(v),…,φn(v))，φi(v)的值為i在G(N)中獲得的收益：

×[v(E)-v(E{i})]

(1)

其中|E|表示聯(lián)盟E中局中人的數(shù)量，且Shapley值滿足以下三條公理：

可加性公理：對(duì)任意ω,v∈G(N)及任意的S∈2Ni∈N，有(ω+v)(S)=ω(S)+v(S)，則φi(ω+v)=φi(ω)+φi(v), ?i∈N。

對(duì)稱性公理：如果對(duì)于N集合中所有不包含i和j的子集E，有v(E∪{i})=v(E∪{j})，則φi(v)=φj(v)。

啞元性公理：令v∈G(N)，對(duì)任意的i∈N，如果v(E)=v(E{i})，E?N，則i為啞元，即φi(v)=v({i})。

2.2 區(qū)間灰數(shù)

定義2 設(shè)?1∈[a,b],a0；?1-?2∈[a-c,b-d]。

定義4[22]設(shè)區(qū)間灰數(shù)?1,?2為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)灰數(shù)，S(?1),S(?2)為對(duì)應(yīng)的相對(duì)核，P(?1),P(?2)為對(duì)應(yīng)的精確度。

(1)若S(?1)

(2)若S(?1)>S(?2)，則標(biāo)準(zhǔn)灰數(shù)?1??2；

(3)若S(?1)=S(?2)，則

①若P(?1)=P(?2)，則標(biāo)準(zhǔn)灰數(shù)?1=?2；

②若P(?1)

③若P(?1)>P(?2)，則標(biāo)準(zhǔn)灰數(shù)?1??2。

2.3 Choquet積分

定義5 設(shè)X={x1,x2,…,xn}為非空集合，P(X)是X的冪集，f:(X,P(X))為定義在X上的非負(fù)函數(shù)，μ為定義在P(X)上的容量，則f關(guān)于容量μ的Choquet積分為：

(2)

其中，0≤f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))，A(i)={x1,x2,…,xi}且A(0)=0。

Choquet積分具有以下性質(zhì)：

3 構(gòu)建產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作的灰色授權(quán)機(jī)制的Shapley值

在實(shí)際的產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作中，企業(yè)由于自生技術(shù)的局限性只能發(fā)揮出一部分能力，當(dāng)和其他企業(yè)形成聯(lián)盟時(shí)在其他企業(yè)技術(shù)的支持下獲得更多的生產(chǎn)能力，即為其他企業(yè)對(duì)該企業(yè)進(jìn)行的授權(quán)?；疑跈?quán)機(jī)制是指企業(yè)在聯(lián)盟中的合作能力為不確定的灰色信息。

定義6 設(shè)τ:2N→[0,1]N為N上的灰色授權(quán)算子，記為gso(N)，且滿足：

(1)τ(E)≤1E,E?N

(2)如果E?F?N，則

τ(E)≤τ(F)。

假設(shè)τ是一個(gè)灰色授權(quán)算子，v是N上的博弈。給定一個(gè)聯(lián)盟E?N和i∈N，則τi(E)為企業(yè)i在聯(lián)盟E中的合作程度。

定義7 設(shè)v∈G(N)和τ∈gso(N)。v在τ上的限制博弈vτ∈G(N)的Choquet積分定義為：

(3)

(4)

其中0=?(0)

定義8 在n個(gè)企業(yè)的灰色授權(quán)機(jī)制的合作博弈為φ:G(N)×gso(N)→，則有φ(v,τ)=φ(vτ);v∈G(N),τ∈gso(N)。

定義9 在n個(gè)企業(yè)的灰色授權(quán)機(jī)制的合作博弈τ∈gso(N)中，設(shè)D?N是一個(gè)聯(lián)盟。如果對(duì)任意聯(lián)盟E?N，都有

(5)

則稱聯(lián)盟D為一個(gè)支柱。

定義10 在n個(gè)企業(yè)的灰色授權(quán)機(jī)制的合作博弈τ∈gso(N)中，的Shapley值是n維向量φ(v)=(φ1(v),φ2(v),…,φn(v))。

滿足以下四條公理：

(2)對(duì)稱性公理：對(duì)于置換π，有φπi(πvτ)=φi(vτ)。

(3)可加性公理：對(duì)于任意v,ω∈G(N),τ∈gso(N)對(duì)任意的i∈N，有φi(v,τ)+φi(ω,τ)=φi(v+ω,τ)。

(4)啞元性公理：對(duì)于任意v∈G(N),τ∈gso(N)，D為支柱，D?N，對(duì)任意的i∈ND，有φi(v,τ)=vτ({i})。

引理1 設(shè)合作博弈G=(N,uT)是一個(gè)簡(jiǎn)單的博弈，其中合作聯(lián)盟T?N實(shí)值函數(shù)uT的取值為：如果T?N，則uT(N)=1；否則，uT(N)=0。

具體證明參考文獻(xiàn)[23]。

定理1具有灰色授權(quán)機(jī)制的限制合作博弈，若滿足有效性、對(duì)稱性、可加性和啞元性，則存在唯一的Shapley 值：

×[vτ(E)-vτ(E{i})]

(6)

證明：對(duì)定理1的證明分為兩部分，第一部分先證明由公理可以推導(dǎo)出唯一的式(6)表示的Shapley值。第二部分證明公式(6)滿足四條公理。

由引理2可得：

由公理3和引理1的推論式，有

將引理2中的cT代入上式，并將聯(lián)盟R換成聯(lián)盟E，有

(7)

對(duì)式(7)分開討論，前一部分有：

(8)

后一項(xiàng)中，因?yàn)閕?E令E′=E∪{i}則E=E′{i}，|E|=|E′|-1，于是，后一項(xiàng)為

(9)

將式(9)代入到式(7)，再將式(8)代入，有

(10)

在i?E的時(shí)候式(10)中vτ(E)-vτ(E{i})=0，則式(10)和式(6)沒有區(qū)別，這樣我們完成了由公理可以推導(dǎo)出唯一的式(6)表示的Shapley值。

證明的第二部分驗(yàn)證唯一的Shapley 值滿足合作博弈的四個(gè)公理。

驗(yàn)證對(duì)稱性：對(duì)任意一個(gè)置換π，都是對(duì)N中n個(gè)元素的一種排序。令π2=π*π也是一種置換，π和π2的逆變換也是如此。因此對(duì)任意的E?N，有|π(E)|=|π-1(E)|=|E|。

令ε=(π*π)-1=(π2)-1

×[πvτ(πE)-πvτ(πE{i})]

×[vτ(E)-vτ(E{i})]=φi(v)

驗(yàn)證有效性：設(shè)v∈G(N),τ∈gso(N)E?N，D為一個(gè)支柱，運(yùn)用Shapley值的有效性和Choquet積分的公理1。

對(duì)式(6)關(guān)于i求和得到：

(11)

考慮一個(gè)固定的聯(lián)盟L?N，則式(11)括號(hào)中的第一項(xiàng)變?yōu)関τ(L)，且總共出現(xiàn)|L|次，則整個(gè)和式中vτ(L)的系數(shù)為：

(12)

上式對(duì)于一切聯(lián)盟L?N都成立。

式(11)括號(hào)中的第二項(xiàng)變?yōu)関τ(L{i})，且總共出現(xiàn)n-|L|次，則整個(gè)和式中vτ(L{i})的系數(shù)為：

其中(|L|+1)是指聯(lián)盟E選取的L∪{i}，上式對(duì)于一切聯(lián)盟L?N都成立。

當(dāng)L=N時(shí)，則式(12)等于1，因此，式(11)可化簡(jiǎn)為：

(13)

設(shè)D是一個(gè)支柱，根據(jù)支柱的定義和式(13)可得到

因此有效性公理得到驗(yàn)證。

驗(yàn)證可加性：設(shè)v,μ,v+μ∈G(N),τ∈gso(N),E?N，根據(jù)Choquet積分的性質(zhì)5，

因此，(v+μ)τ=vτ+μτ

-vτ(E{i}))+(μτ(E)-μτ(E{i}))]

-μτ(E{i}))=φi(v,τ)+φi(μ,τ)

驗(yàn)證啞元性：設(shè)v∈G(N),τ∈gso(N)

D為支柱，D?N，對(duì)任意的i∈ND

表明啞元參加到聯(lián)盟D中，沒有新的貢獻(xiàn)，因此他能得到保留的收益vτ({i})。

若i不屬于支柱D，對(duì)于聯(lián)盟E?N,i∈S有

vτ(E∩D)=vτ((E{i})∩D)

將該式代入式(10)，有

所有具有灰色授權(quán)機(jī)制的限制合作博弈的Shapley值滿足啞元性。

以上證明了灰色授權(quán)Shapley值滿足合作博弈的四個(gè)公理。

4 應(yīng)用算例

假設(shè)在某產(chǎn)業(yè)集群中企業(yè)i=1,2,3協(xié)同研制一種復(fù)雜產(chǎn)品，企業(yè)i生產(chǎn)組件i。由于客觀環(huán)境的復(fù)雜性、不確定性和技術(shù)的局限性，企業(yè)3在獨(dú)自生產(chǎn)時(shí)只能利用其自身0.3的生產(chǎn)能力；而企業(yè)3當(dāng)與企業(yè)1組成聯(lián)盟時(shí)企業(yè)3被授予利用?13∈[0.4,0.5]的生產(chǎn)能力；而企業(yè)3與企業(yè)2組成聯(lián)盟時(shí)企業(yè)3被授予利用?23∈[0.7,0.8]的生產(chǎn)能力；當(dāng)形成一個(gè)大聯(lián)盟時(shí)3個(gè)企業(yè)都被授予利用各自的全部生產(chǎn)能力。這種情況可以建立合作博弈模型({1,2,3},v)，對(duì)于任意的聯(lián)盟E?{1,2,3}，v(E)表示聯(lián)盟E獲得的收益。

v({1})=5,v({2})=6,v({3})=8

v({1,2})=20,v({1,3})=[16,19],

v({2,3})=[28,30],v({1,2,3})=60

對(duì)于任意的聯(lián)盟E?{1,2,3}，和i∈{1,2,3}，τi(E)表明企業(yè)i的生產(chǎn)能力：

表1 企業(yè)在不同聯(lián)盟中的生產(chǎn)能力

計(jì)算限制博弈：

vτ({1})=v({1})=5,，

vτ({2})=v({2})=6，

vτ({3})=v({3})=0.3×8=2.4，

vτ({1,2})=v({1,2})=20，

vτ({1,2,3})=v({1,2,3})=60。

計(jì)算3個(gè)企業(yè)分別獲得的報(bào)酬：

表2 企業(yè)3的Shapley值計(jì)算

φ3(v?)=[17.25,18.68]

同理可得：φ1(v?)=[16.48,18.75]，φ2(v?)=[23.4,25.43]。

根據(jù)算例計(jì)算出的結(jié)果，φ1(v?)+φ2(v?)+φ3(v?)=[57.13,62.89]聯(lián)盟支柱的收益v({1,2,3})=60在區(qū)間[57.13,62.89]范圍內(nèi)，所以滿足有效性，φi(v?)>vτ({i})，說明企業(yè)通過聯(lián)盟合作得到的利益大于企業(yè)自己?jiǎn)为?dú)生產(chǎn)所產(chǎn)生的利益，所以分配結(jié)果滿足企業(yè)形成聯(lián)盟合作的個(gè)體的合理性。

引入?yún)^(qū)間灰數(shù)來表征企業(yè)在聯(lián)盟中的參與度和聯(lián)盟利益，可以更加直觀的描述因企業(yè)自我認(rèn)識(shí)的局限性而造成的對(duì)企業(yè)在聯(lián)盟中的參與度和聯(lián)盟利益信息認(rèn)知的部分明確和部分信息不明確的實(shí)際情況。由于區(qū)間灰數(shù)是一個(gè)區(qū)間內(nèi)的某個(gè)真值，相比于表達(dá)整個(gè)區(qū)間的區(qū)間數(shù)，這就降低了在利益分配過程中采用區(qū)間數(shù)進(jìn)行分配而帶來的不確定性。其次，應(yīng)用Choquet積分對(duì)具有區(qū)間灰數(shù)信息的合作能力進(jìn)行集成，保證了區(qū)間灰數(shù)的本質(zhì)特征得以延續(xù)，因此也保證了聯(lián)盟利益分配的公平性。從計(jì)算步驟和計(jì)算結(jié)果方面分析，本文直接對(duì)區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行計(jì)算，有效的避免了因數(shù)據(jù)處理過程而導(dǎo)致數(shù)據(jù)不確定性放大或縮小的失真情況。

5 結(jié)語

考慮到在實(shí)際的產(chǎn)業(yè)集群協(xié)同研制過程中企業(yè)由于自身技術(shù)的局限性，在沒有和其他企業(yè)形成聯(lián)盟合作時(shí)難以發(fā)揮出全部的生產(chǎn)能力。因此，本文首先對(duì)合作能力信息為灰數(shù)的情況，建立了灰色授權(quán)算子，其次運(yùn)用Choquet積分對(duì)合作企業(yè)之間不完整的依賴關(guān)系進(jìn)行集成，最后將集成信息和Shapley值模型結(jié)合起來，建立了具有灰色授權(quán)機(jī)制的限制合作博弈模型，最后通過應(yīng)用算例，驗(yàn)證了模型在產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟企業(yè)合作中利益分配的公平性和合理性。

本文中，在建立灰色授權(quán)機(jī)制合作博弈模型時(shí)默認(rèn)了企業(yè)之間都是相互促進(jìn)的關(guān)系，然而在實(shí)際的產(chǎn)業(yè)集群聯(lián)盟合作中，企業(yè)之間不可避免的會(huì)存在一些競(jìng)爭(zhēng)與沖突關(guān)系，如何處理在聯(lián)盟合作中企業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)與沖突關(guān)系是今后的研究方向。