廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 程生根

統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過(guò)收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)來(lái)認(rèn)識(shí)未知現(xiàn)象的一門科學(xué)[1].數(shù)據(jù)分析能力是統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心內(nèi)容也是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一.學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)要達(dá)成的關(guān)鍵能力是經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過(guò)程,在此過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法,理解數(shù)據(jù)分析的思路.解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題首先要具備統(tǒng)計(jì)流程意識(shí)(成竹),其次才是掌握統(tǒng)計(jì)技術(shù)(枝節(jié)).所以在教學(xué)中既要教會(huì)學(xué)生必要的統(tǒng)計(jì)技術(shù),更重要的是要學(xué)生掌握解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一般思路,植入統(tǒng)計(jì)思想.統(tǒng)計(jì)過(guò)程的流程化是達(dá)成目標(biāo)的有效的做法.

一、統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的整體流程意識(shí)

統(tǒng)計(jì)學(xué)來(lái)源于生活,作為一門應(yīng)用性的數(shù)學(xué)分支,總體上是一個(gè)解決實(shí)際問(wèn)題的流程(閉環(huán)結(jié)構(gòu)),統(tǒng)計(jì)活動(dòng)大體上都要遵循下面的處理流程:

二、統(tǒng)計(jì)環(huán)節(jié)中的局部流程意識(shí)

(一)統(tǒng)計(jì)環(huán)節(jié)(收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、統(tǒng)計(jì)推斷)流程圖

依據(jù)數(shù)字特征作統(tǒng)計(jì)決策,要從根本上把握各統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,應(yīng)思考下面幾個(gè)問(wèn)題:1、常用的數(shù)字特征有哪些?2、各數(shù)字特征產(chǎn)生的背景(即產(chǎn)生在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中的哪個(gè)環(huán)節(jié)?);3、利用哪一個(gè)(或幾個(gè))數(shù)字特征作決策?4、如何根據(jù)數(shù)值大小合理決策?應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的主線中去思考這些問(wèn)題.讓學(xué)生理解用均值、中位數(shù)、眾數(shù)代言平均水平,用極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等代言穩(wěn)定程度的合理性.體會(huì)同為平均水平(或穩(wěn)定程度)的不同數(shù)字特征之間的差異,及產(chǎn)生差異的原因.從而更深刻地體會(huì)各數(shù)字特征在統(tǒng)計(jì)過(guò)程中的地位及統(tǒng)計(jì)學(xué)意義,為科學(xué)決策服務(wù).

(二)統(tǒng)計(jì)技術(shù)中的流程

統(tǒng)計(jì)活動(dòng)不僅是要有主線意識(shí),支線中的技術(shù)環(huán)節(jié)也各有一定的操作流程.

1、混合抽樣方法的操作流程:

2、莖葉圖的制作規(guī)則與流程:

3、頻率分布直方圖的制作流程:

三、統(tǒng)計(jì)模型中的流程意識(shí)

(一)回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)的流程分析

(二)借助流程理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的決策過(guò)程

在學(xué)生做獨(dú)立性檢驗(yàn)分析時(shí),建立了分類變量X與Y的2×2列聯(lián)表,計(jì)算出K2觀測(cè)值后,有些同學(xué)并不能理解為什么要查表及表中數(shù)據(jù)的含義,只是例行公事,生搬硬套,所以容易遺忘與出錯(cuò).要準(zhǔn)確理解K2觀測(cè)值的大小與犯錯(cuò)率大小的因果關(guān)系,才能記得牢、用得準(zhǔn).可將教材中的分析過(guò)程簡(jiǎn)化為如下的決策思路:

結(jié)論:K越大,P(K2＞k)越小,“X與Y有關(guān)系”犯錯(cuò)率越小.更有把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”.先把思路理清,再通過(guò)查表量化犯錯(cuò)率.

四、高考統(tǒng)計(jì)試題中的流程意識(shí)

由于高考試卷的篇幅有限,命題者總會(huì)想辦法在有限的篇幅里“容入”盡量多的考點(diǎn)、覆蓋統(tǒng)計(jì)活動(dòng)過(guò)程中盡量多的環(huán)節(jié).因此統(tǒng)計(jì)試題突出的特點(diǎn)是閱讀量大,信息量大.難點(diǎn)在于審題,只要考生順利過(guò)了審題關(guān),后面的相關(guān)計(jì)算反而簡(jiǎn)單了.審題時(shí)要抓住統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的“主線”,分析合理性,排除干擾因素,計(jì)算相關(guān)的樣本數(shù)字特征,用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征,做出合理決策.

下面以2018年全國(guó)卷的三個(gè)統(tǒng)計(jì)題為例,分析試題的主線與考點(diǎn)設(shè)置:

統(tǒng)計(jì)流程分析 全國(guó)I卷文19題 全國(guó)II卷文理18題 全國(guó)III卷文理18題應(yīng)用背景 節(jié)能,家庭節(jié)約用水 環(huán)保,環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資技術(shù)創(chuàng)新,不同生產(chǎn)方式的效率數(shù)據(jù)收集同一家庭使用節(jié)水龍頭前后(50天)的用水量2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額不同生產(chǎn)方式下兩組(各20人)完成生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間數(shù)據(jù)整理(呈現(xiàn))頻數(shù)分布表 折線圖(散點(diǎn)圖)莖葉圖數(shù)據(jù)分析樣本頻率估計(jì)總體分布,樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均水平2000到2016的回歸直線,2010年到2016年的回歸直線2×2列聯(lián)表的建立及K2觀測(cè)值k的計(jì)算統(tǒng)計(jì)模型 頻率分布直方圖 線性回歸分析 獨(dú)立性檢驗(yàn)預(yù)測(cè)與結(jié)論通過(guò)科學(xué)的數(shù)據(jù)處理,為節(jié)水龍頭確實(shí)節(jié)水提供了必要數(shù)據(jù)支持評(píng)估兩個(gè)回歸方程的預(yù)測(cè)效果,選擇更好的回歸模型分析兩種生產(chǎn)方式與效率關(guān)聯(lián)程度決策依據(jù) 平均數(shù) 近期發(fā)展趨勢(shì),回歸效果平均值、中位數(shù)、分布特征等,K2觀測(cè)值k直接考點(diǎn)1、互斥事件的概率和;2、頻率分布直方圖的制作與平均數(shù)的計(jì)算1、根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè);2、比較分析兩個(gè)回歸方程的預(yù)測(cè)效果(開放性)1、由莖葉圖比較工作效率差異 (開放性),中位數(shù);2、獨(dú)立性檢驗(yàn)

試題特點(diǎn)與教學(xué)啟示:

(一)背景貼近生活,社會(huì)熱點(diǎn)的節(jié)能、環(huán)保、技術(shù)創(chuàng)新等方面;

(二)試題材料體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)過(guò)程,數(shù)據(jù)直接呈現(xiàn),減少繁雜運(yùn)算,考查重心是數(shù)據(jù)的分析和理解,突出考查對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解與運(yùn)用能力;

(三)增加了試題和答案的開放性,鼓勵(lì)考生從多角度作答,引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)從培養(yǎng)學(xué)生“解題”到“解決問(wèn)題”,引導(dǎo)學(xué)生從“做題”到“做人做事”素養(yǎng)的提升.

五、教學(xué)素材開發(fā)示例

要讓學(xué)生養(yǎng)成用流程的眼光去思考統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的習(xí)慣,形成自覺(jué)的數(shù)據(jù)處理意識(shí),就一定要在教學(xué)中精選或精編例題與習(xí)題,提供相應(yīng)的教學(xué)素材,學(xué)生通過(guò)對(duì)素材的學(xué)習(xí)與理解達(dá)成預(yù)設(shè)的目標(biāo).下面是本人原創(chuàng)的三個(gè)例題及例題分析,權(quán)當(dāng)拋磚引玉.

例題1某地區(qū)“騰籠換鳥”的政策促進(jìn)了區(qū)域內(nèi)環(huán)境改善和產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型.現(xiàn)從當(dāng)?shù)靥鞖饩W(wǎng)站上收集該地區(qū)近兩年11月份(30天)的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)(單位:μg/m3)資料如下:

(I)請(qǐng)完成2014年11月份AQI數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(II)根據(jù)以上的數(shù)據(jù)或圖表,該地區(qū)空氣質(zhì)量比去年同期是否有所改觀,說(shuō)明理由?

分析本題以現(xiàn)實(shí)社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐中的中的環(huán)境保護(hù)問(wèn)題為背景,數(shù)據(jù)來(lái)源為氣象部門的真實(shí)數(shù)據(jù),貼近生活,第一問(wèn)給出上一年同期的頻率分布直方圖,這樣的設(shè)計(jì)是為了避免陷入繁瑣重復(fù)的工作,也為制作頻率分布直方圖提供參照,便于直觀上的對(duì)比分析.覆蓋的知識(shí)點(diǎn)有數(shù)據(jù)整理、頻率分布直方圖的識(shí)別與理解,體驗(yàn)頻率分布直方圖的制作過(guò)程等.第二問(wèn)為開放問(wèn)題,根據(jù)前后數(shù)據(jù)對(duì)比,用數(shù)據(jù)說(shuō)話,可以通過(guò)定量計(jì)算比較優(yōu)良率、均值、方差等作決策,也可以對(duì)比兩個(gè)頻率分布直方圖的形狀直觀分析作決策.本題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了從數(shù)據(jù)收集整理、頻率分布直方圖的識(shí)別理解與制作、數(shù)據(jù)處理與分析應(yīng)用能力的全過(guò)程,有助于學(xué)生建立統(tǒng)計(jì)知識(shí)的流程意識(shí).

例2某同學(xué)用收集到的6組數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如圖所示的散點(diǎn)圖(點(diǎn)旁的數(shù)據(jù)為該點(diǎn)坐標(biāo)),設(shè)由這6組數(shù)對(duì)計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)為γ,回歸直線l的方程為:?y=?bx+?a.分析下面三個(gè)結(jié)論:1○γ＞0;②直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D;③?b＞1.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

分析本題覆蓋了散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)、樣本點(diǎn)中心、最小二乘法等線性回歸分析的諸多重要知識(shí)點(diǎn).解答時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從定性描述與定量分析兩方面的結(jié)合.比如②需要通過(guò)定量運(yùn)算才能確定,①③都可通過(guò)定性的分析便可分辨正誤,其中處理③時(shí),注意到DE兩點(diǎn)連線斜率已是1,此時(shí)直線DE“不夠”貼近樣本點(diǎn),回歸直線應(yīng)該更“緩”.本題引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)線性回歸分析的全過(guò)程,從感性理解到理性分析,既有助于基本知識(shí)的掌握,也能發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力.

例3有甲乙兩家公司都愿意聘用某求職者,這兩家公司的具體聘用信息如下:

(I)根據(jù)以上信息,如果你是該求職者,你會(huì)選擇哪一家公司?說(shuō)明理由;

(II)某課外實(shí)習(xí)作業(yè)小組調(diào)查1000名職場(chǎng)人士,就選擇這兩家公司的意愿作了統(tǒng)計(jì),得到如數(shù)據(jù)分布:

小組對(duì)選擇意愿與年齡這兩個(gè)變量作獨(dú)立性檢驗(yàn)分析,計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為k=5.5513.請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析:選擇意愿與年齡變量和性別變量中哪一個(gè)關(guān)聯(lián)性更大?

分析本題以求職意愿差異,及產(chǎn)生差異的原因?yàn)楸尘?試題設(shè)計(jì)自然流暢,情節(jié)相對(duì)完整,體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過(guò)程性.第一問(wèn)通過(guò)計(jì)算對(duì)比兩家公司的薪酬平均水平與穩(wěn)定水平做出求職選擇,本問(wèn)是開放的問(wèn)題,不同的人可能做出不同的選擇,只要能夠說(shuō)出理由即可,鼓勵(lì)考生從多角度作答,引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)從培養(yǎng)學(xué)生“解題”到“解決問(wèn)題”.第二問(wèn)是分類變量獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題,分析導(dǎo)致選擇差異的可能因素,并通過(guò)比較選擇意愿與年齡變量和性別變量的關(guān)聯(lián)性大小,要計(jì)算K2觀測(cè)值,作為獨(dú)立性檢驗(yàn)流程中的一環(huán),建立2×2列聯(lián)表是隱含的任務(wù),為了避免學(xué)生陷入繁瑣重復(fù)的數(shù)值運(yùn)算,題目給出其中一個(gè)的K2觀測(cè)值,把考查重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)模型的比較與判斷,體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)方式的應(yīng)用價(jià)值,培養(yǎng)學(xué)生能夠根據(jù)任務(wù)要求選擇合適的數(shù)據(jù)的能力[4].

高中生從小學(xué)便開始接觸統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí),總體是一個(gè)螺旋上升的過(guò)程.小學(xué)初中的統(tǒng)計(jì)知識(shí)以感性認(rèn)知與計(jì)算為主,高中階段的統(tǒng)計(jì)知識(shí)以理性分析為主,逐步培養(yǎng)主動(dòng)的數(shù)據(jù)處理意識(shí).所以高中統(tǒng)計(jì)教學(xué)中不能過(guò)于關(guān)注統(tǒng)計(jì)技術(shù)手段,計(jì)算技巧等.要防止把統(tǒng)計(jì)教成算術(shù).更重要的是要根植統(tǒng)計(jì)思想.分析處理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題之前,統(tǒng)計(jì)活動(dòng)整體流程要了然于胸.當(dāng)下工作處于統(tǒng)計(jì)活動(dòng)哪個(gè)環(huán)節(jié)?每個(gè)數(shù)據(jù)有什么統(tǒng)計(jì)學(xué)意義?先明白為什么要算?再考慮怎樣算?引導(dǎo)學(xué)生形成自覺(jué)的數(shù)據(jù)分析意識(shí),提高高中學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)素養(yǎng)水平.