許天來，蔡金法

?

美國數(shù)學(xué)課程中的“問題提出”——期望與挑戰(zhàn)

許天來1，蔡金法2，3

（1．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006； 2．西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715；3．美國特拉華大學(xué) 數(shù)學(xué)系，紐瓦克 19716）

從計劃課程、期望課程、實施課程和獲得課程4個角度，對美國數(shù)學(xué)課程中關(guān)于“問題提出”的期望與挑戰(zhàn)進行評述．發(fā)現(xiàn)，盡管美國數(shù)學(xué)教育界已廣泛認(rèn)可“問題提出”在學(xué)校數(shù)學(xué)中的重要性，而且“問題提出”在近30年的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中不斷明確地被提及，然而，與之形成對比的是，在數(shù)學(xué)教材和一線課堂教學(xué)實踐中，問題提出活動仍較為缺乏．因此，數(shù)學(xué)教材應(yīng)增加數(shù)學(xué)問題提出活動的比例與類型，教師通過改編現(xiàn)有課程材料為學(xué)生創(chuàng)造提出問題的機會，增加課標(biāo)中問題提出的范例，將有助于教師進行“問題提出”教學(xué)．

數(shù)學(xué)問題提出；課程；教材；教學(xué)；美國

1 引言

數(shù)學(xué)問題提出（Mathematical Problem Posing）有助于提高學(xué)生的概念性理解、問題解決技能、數(shù)學(xué)思維、態(tài)度、數(shù)學(xué)自信心和創(chuàng)造力等[1]，對于促進數(shù)學(xué)教與學(xué)有著廣闊的前景．在文[2]中，為明辨美國數(shù)學(xué)問題提出“研究”層面狀況，于文華通過對已有相關(guān)研究的述評，發(fā)現(xiàn)問題提出已成為美國數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域名副其實的“主流研究”與“熱門方向”．這些研究表明，美國已在理論層面認(rèn)可數(shù)學(xué)問題提出的重要性．那么，數(shù)學(xué)問題提出在美國數(shù)學(xué)教育中的“實踐”層面的表現(xiàn)如何呢？對美國數(shù)學(xué)課程中問題提出的期望和挑戰(zhàn)進行分析，以期幫助讀者更好理解《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中所要求的“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”[3]．

2 研究框架

“課程”（Curriculum）一詞很難有統(tǒng)一的定義，為了更好地對美國數(shù)學(xué)課程中的問題提出進行分析，借鑒首屆國際數(shù)學(xué)研究（First International Mathematics Study，F(xiàn)IMS）所使用的課程構(gòu)架[4]．此構(gòu)架將課程劃分為期望課程（The Intended Curriculum）、實施課程（The Implemented Curriculum）和獲得課程（The Attained Curriculum），分別對應(yīng)社會期望學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)、課堂實際教學(xué)的數(shù)學(xué)以及學(xué)生真正習(xí)得的數(shù)學(xué)．

因為“期望課程”受“計劃課程”所制約，所以在“期望課程”前增加了“計劃課程”，并將采用以下框架對美國數(shù)學(xué)課程中的問題提出進行分析（如圖1）．與傳統(tǒng)課程構(gòu)架相比，圖1將課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）單獨列出，作為“計劃課程”，特指其所包含的對問題提出的相關(guān)表述；教材則被用以分析數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)的“期望課程”；“實施課程”是課堂中真正用于教學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，也就是在教學(xué)實踐中運用問題提出進行教學(xué)的活動．研究主要通過呈現(xiàn)美國本土運用問題提出開展教學(xué)的課例和相關(guān)教學(xué)研究來體現(xiàn)動態(tài)的教學(xué)過程；“獲得課程”包括學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力，以及采用問題提出教學(xué)如何影響學(xué)生的學(xué)習(xí)和態(tài)度，這部分也主要結(jié)合美國本土的各項實證研究進行分析．

圖1 研究框架

3 美國“計劃課程”中廣泛認(rèn)可數(shù)學(xué)問題提出的重要性

近30年來，不斷變革的美國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)問題提出均做出了明確的要求．如1989年，美國數(shù)學(xué)教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）在其《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》中，有以下關(guān)于問題提出的表述[5]：“學(xué)生應(yīng)從現(xiàn)實活動、已經(jīng)加工過的數(shù)據(jù)、等式等情境中，獲得創(chuàng)設(shè)（Creating）問題的豐富經(jīng)歷．”兩年后，NCTM發(fā)布《數(shù)學(xué)教學(xué)的職業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》[6]，同樣將問題提出活動作為教學(xué)的目標(biāo)：“從問題解決的視角看，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是解決非常規(guī)的，且常常被認(rèn)為是孤立的問題，或典型的教材問題．它還包含對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)的認(rèn)識，如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是經(jīng)歷探究、猜想、檢查、檢驗等問題解決的方方面面．給學(xué)生提供的任務(wù)應(yīng)該是他們可以完成的，能夠拓展他們的知識和問題解決能力．學(xué)生應(yīng)有機會從給定的情境中提出（Formulate）問題，或通過改變給定問題的條件創(chuàng)設(shè)（Create）新問題．”2000年，在《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》中，作為第一個過程性標(biāo)準(zhǔn)的問題解決，其第一段話闡述如下：“問題解決指的是從事一件事，但完成此任務(wù)的方法事先并不清楚．為了找到解答方法，學(xué)生必須運用他們的知識．在此過程中，通常他們會對數(shù)學(xué)有新的理解．問題解決不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個目標(biāo)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種主要方式．學(xué)生應(yīng)當(dāng)有很多機會提出、理解和解決需要努力才能解決的復(fù)雜問題，并應(yīng)該鼓勵他們反思自己解答的思維過程．”[7]而在美國當(dāng)前被廣泛采用的，2010年由全美州長協(xié)會和首席州立學(xué)校官員理事會頒布的《州際共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)的“策略地使用恰當(dāng)工具”標(biāo)準(zhǔn)有以下表述：“不同年級的學(xué)生還能發(fā)現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學(xué)資源，如網(wǎng)絡(luò)上的資源，并利用它們提出問題、解決問題．學(xué)生可以利用技術(shù)工具進行探究，并加深對概念的理解．”[8]

以上4個課程標(biāo)準(zhǔn)是美國數(shù)學(xué)教育改革中較為重要的文件，都將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出作為一個重要的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)手段．從一開始提出讓學(xué)生提出問題的必要性，到將問題提出與問題解決進行比較，強調(diào)問題提出的特殊教育價值，最后到從更具體的角度為學(xué)生提供挖掘問題提出素材的方法等．可以看出，美國數(shù)學(xué)教育界廣泛認(rèn)可數(shù)學(xué)問題提出的重要性，重視讓學(xué)生提出自己的數(shù)學(xué)問題，對問題提出有較高的期望．

4 美國“期望課程”中的數(shù)學(xué)問題提出活動

4.1 教材中數(shù)學(xué)問題提出活動所占比例極低

教材是教學(xué)的重要參考，要使數(shù)學(xué)問題提出更多地出現(xiàn)在課堂中，教材首先需包含豐富的問題提出活動以供教師參考．然而，Cai和Jiang對兩套美國改革型小學(xué)數(shù)學(xué)教材進行分析后發(fā)現(xiàn)，問題提出活動所占的比例非常低（表1）[9]．

表1 美國小學(xué)數(shù)學(xué)教材中問題提出題目所占比例

注：1. 探索數(shù)學(xué)教材系列不含有六年級；2. 日常數(shù)學(xué)教材系列中1~2年級是合編，故只有二年級數(shù)據(jù)；3.表示教材中所有問題的總數(shù)量．

對美國初中教材《關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)3》（Connected Mathematics Project 3）進行分析后發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)教材中問題提出活動所占比例同樣極低（見表2）．

表2 美國初中數(shù)學(xué)教材中問題提出題目所占比例

4.2 教材中問題提出活動的類型分布不均衡

教材中的數(shù)學(xué)問題提出活動包含多種類型，如Cai和Jiang曾將問題提出活動分為如下的4類[9]：（I）提出一個現(xiàn)實生活中的問題以滿足特定的數(shù)關(guān)系，如算式、方程等（如例1）；（II）針對給定的數(shù)學(xué)關(guān)系或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提出相似的問題（如例2、例3）；（III）根據(jù)已知信息和范例問題提出更多的問題（如例4）；（IV）根據(jù)已知信息提出問題（如例5）．需要說明的是，類型II中的部分問題提出的題目可以認(rèn)為是有范例問題的，其與類型III的問題的主要區(qū)別在于，類型II要求學(xué)生提出滿足特定數(shù)學(xué)關(guān)系或結(jié)構(gòu)的問題，而類型III要求學(xué)生提出任何類型的數(shù)學(xué)問題．

例1[10]：來自美國教材中第I類型問題提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Integers and Rational Numbers）

評析：此題要求學(xué)生根據(jù)方程式提出具有現(xiàn)實意義的數(shù)學(xué)問題．除此之外，還可要求學(xué)生根據(jù)算式、圖形等提出數(shù)學(xué)問題．這也是美國教材中一類較為典型問題提出活動．

例2[11]：來自美國教材中第II類型問題提出的例子（Everyday Mathematics，二年級第一冊）

評析：類型II給出一個范例問題，需學(xué)生模仿范例中的問題來提出相同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題．此題要求提出的問題能用加法算式進行求解．例如：“岸邊有5個人穿黑色衣服，4個人穿白色衣服，問岸邊總共有多少人？”

例3[12]：來自美國教材中第II類型問題提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Understanding Similarity）

評析：在此單元（Understanding Similarity，理解相似）中，四邊形、不規(guī)則圖形相似是一個較為重要的知識點．在練習(xí)題25中，根據(jù)7:5=21:15，學(xué)生可能提出的問題為“已知兩個相似矩形的周長分別為12和36，求小矩形與大矩形的相似比”．若學(xué)生提出“已知兩個矩形的周長分別為12和36，求小矩形與大矩形的相似比”，則教師可對其錯誤認(rèn)知進行針對性的教學(xué)，即正方形一定是相似的，而矩形未必都是相似的．

例4[13]：來自美國教材中第III類型問題提出的例子（Connected Mathematics Project 3，Quadratic Functions）

評析：此題以均分廣告文案的獎金為情境，首先給出2個范例問題，在c問中要求學(xué)生提出3個新的數(shù)學(xué)問題：一個更容易用圖像回答的問題、一個更容易用表格回答的問題、一個更容易用方程回答的問題．這是一個很好的用以教學(xué)函數(shù)不同表征方式的數(shù)學(xué)活動．

例5[11]：來自美國教材中第IV類型問題提出的例子（Everyday Mathematics，三年級第一冊）

評析：此類問題并未給出范例問題．要求學(xué)生根據(jù)題干的數(shù)學(xué)信息進行提問．可以看出，此類問題提出活動可更多地運用在統(tǒng)計教學(xué)中．

統(tǒng)計美國小學(xué)、初中數(shù)學(xué)教材中4種問題提出題目類型的分布情況，見表3．3套教材中問題提出的活動主要集中在類型I，即要求學(xué)生根據(jù)給定的算術(shù)運算式來提出問題．其次是類型II，針對給定的數(shù)學(xué)關(guān)系或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提出相似的問題．3套美國教材中類型III和類型IV的問題所占比例極低，特別是探索數(shù)學(xué)中類型IV的數(shù)量為零．4類問題提出題目的分布很不均衡．

表3 美國數(shù)學(xué)教材中問題提出題目類型的分布（%）

綜上，與“計劃課程”中強調(diào)問題提出的重要性形成強烈對比，美國“期望課程”中的數(shù)學(xué)問題提出活動所占比例極低，不同類型問題的分布也不均衡．總體來說，這3套教材的編寫未能較好地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)對問題提出的高期望．

5 美國“實施課程”中的數(shù)學(xué)問題提出

美國已有一些運用“數(shù)學(xué)問題提出”進行教學(xué)的課例．如Chang描述了這樣一個案例[14]．一個7歲的兒童可以通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)，在解決問題后提出數(shù)學(xué)問題．教師要求學(xué)生求解以下數(shù)學(xué)問題：“農(nóng)民的果園里有4棵蘋果樹，每棵樹上有3個成熟的蘋果．男孩過來吃光了一棵樹中成熟的蘋果，問現(xiàn)在果園中還剩多少成熟的蘋果？”教師首先以真實的蘋果為教具，幫助學(xué)生求解問題，并通過畫畫的方式進行驗證．隨后，提出第二個問題：“農(nóng)民的籃子里有20個蘋果．他給了湯姆2個，又給了薩利7個，在回家的路上，自己又吃了3個．問籃子里還剩多少個蘋果？你是怎么求解這個問題的？”通過以上教學(xué)鋪墊，教師根據(jù)以下對話引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題：“泰勒，你覺得你現(xiàn)在可以提出自己的問題了嗎？”在這個過程中，教師首先提供了具體問題，在解決問題之后又自己提出問題，不僅為學(xué)生提供可解決的數(shù)學(xué)問題，還提供了問題提出的范例，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)如何提出問題．

Deborah老師在二年級的班級中開展了為期5天的課堂教學(xué)，她鼓勵學(xué)生提出自己的數(shù)學(xué)問題[15]．她以小冊子《此房數(shù)學(xué)造》（The House that Math Built）作為學(xué)生進行問題提出的藍本，在第一天的教學(xué)中，她激發(fā)學(xué)生對教室中所隱含數(shù)學(xué)信息的興趣，如“你的教室中還需要什么？”在第二天的教學(xué)中，鼓勵學(xué)生提出問題，如“我不知道凳子的長度是多少”；接下來的一天，引導(dǎo)學(xué)生求解問題；第四天，學(xué)生交流自己的發(fā)現(xiàn)；最后一天，學(xué)生對自己所提問題及解答進行反思總結(jié)．

Barbara等在教學(xué)四年級學(xué)生時[16]，以圖2作為問題情境，首先提出以下問題：“32右邊的數(shù)是多少？”“32上面的數(shù)是多少？”“99下面的數(shù)是多少？”在結(jié)合電子軟件對這一情境的“無限增長”進行教學(xué)后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：“如果從2開始會怎樣？或者，可以從-1開始嗎？”“數(shù)字可以遞減嗎？”最后，教師要求學(xué)生提出自己的數(shù)學(xué)問題．Whitin則結(jié)合問題提出的教學(xué)方式，引導(dǎo)四年級學(xué)生對若干個單位正方形的不同組合方式如何影響周長進行了探究[17]．

圖2 問題情境（一）

Perrin在中學(xué)微積分教學(xué)中融合了問題提出[20]．其教學(xué)主要強調(diào)以下7點：（1）學(xué)生需在一個學(xué)年的課程中完成兩個問題提出的研究課題，第一學(xué)期是微分，第二學(xué)期是積分；（2）學(xué)生需提出真實的數(shù)學(xué)問題作為起點，如學(xué)生不能提出微積分的問題，那么他們可以探究校外感興趣的主題，或練習(xí)冊中較難的題目，在此基礎(chǔ)上提出新的問題；（3）對于相同的問題，最多允許兩個學(xué)生獨立探究；（4）學(xué)生探究的問題應(yīng)事先通過教師的許可，但課題的方向、深度等教師不作干涉；（5）學(xué)生可以向教師尋求幫助；（6）學(xué)生能得到教師的提示，包括課題中應(yīng)當(dāng)包含哪些主要成分，以及大致的評分標(biāo)準(zhǔn)；（7）在完成課題后，學(xué)生要完成一個關(guān)于問題提出的調(diào)查問卷．

也有運用信息技術(shù)輔助提出問題進行教學(xué)的案例，如在課堂中要求學(xué)生運用電子表格提出新的數(shù)學(xué)問題[21]．從目前的結(jié)果來看，關(guān)于問題提出的案例遠遠少于問題解決的案例，這說明問題提出在課堂實施中與“計劃課程”中的高期望不符．

6 美國“獲得課程”中的數(shù)學(xué)問題提出

6.1 美國學(xué)生能提出重要的數(shù)學(xué)問題

美國學(xué)生能在不同的情境中提出數(shù)學(xué)問題．如對于問題情境1[22]，美國小學(xué)生能提出以下問題：“這是什么模式？”“這些圖是怎么越來越大的？”“黑點數(shù)的模式是什么？”“白點的個數(shù)是怎么增加的？”，等等．

問題情境1：王老師根據(jù)某一規(guī)則畫出了圖3：

王老師希望根據(jù)上面的情境提出3個問題（簡單的，中等難度的，較難的各一個），作為學(xué)生的家庭作業(yè)．

問題情境2：已知安妮有34個彈珠，比莉有27個彈珠，克里斯有23個彈珠．運用以上信息，寫出并求解盡可能多的數(shù)學(xué)問題．

而在問題情境2中[23]，美國初中學(xué)生能提出以下問題：“他們總共有多少彈珠？”“比莉比克里斯多多少個彈珠？”“薩米有103個彈珠，要使這3人所擁有彈珠的數(shù)量與薩米相同，他們還需要多少個彈珠?”“安妮能不能給比莉和克里斯一些彈珠，使得3人彈珠的數(shù)量相同？”“如果比莉給克里斯一些彈珠，他需要給多少，才能使得兩人所擁有的彈珠數(shù)量相同？”“如果安妮給克里斯一些彈珠，她需要給多少，才能使得兩人所擁有的彈珠數(shù)量相同？”

Cai等的研究表明，美國學(xué)生在求解線性方程組和函數(shù)圖像的問題后，能提出較好的數(shù)學(xué)問題[24]．此外，還有研究表明，美國學(xué)生在各種不同的情境中都能提出不同難度的數(shù)學(xué)問題[25-28]．

6.2 問題提出活動對美國學(xué)生數(shù)學(xué)成績和學(xué)習(xí)態(tài)度的影響

已有研究表明，問題提出活動有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和學(xué)習(xí)態(tài)度．Perrin在進行了為期一年的問題提出研究課題的教學(xué)后，對學(xué)生進行了調(diào)查，結(jié)果表明，學(xué)生普遍認(rèn)為這個課題的學(xué)習(xí)使他們提高了對數(shù)學(xué)和微積分的興趣，且其特定內(nèi)容的微積分知識得到了提高[20]．English發(fā)現(xiàn)，五年級學(xué)生在經(jīng)歷了問題提出的活動后，能提出更多、更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題[29]．此外，數(shù)學(xué)問題提出還對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力有所幫助，如Silver認(rèn)為，通過合理地結(jié)合問題提出和問題解決進行教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力[30]．

Silver的研究表明，相對于教科書中傳統(tǒng)的問題解決任務(wù)，較為新鮮的問題提出活動似乎更能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[31]．由于問題解決過程涉及不斷提出和求解問題，且提出復(fù)雜問題的能力似乎與較強的問題解決能力相關(guān)[27]．因此，鼓勵學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題不僅有助于他們理解問題情境，還能幫助他們發(fā)展更多的問題解決策略[1]．相似的，在Harpen和Presmeg研究中，大部分美國學(xué)生認(rèn)為問題提出在學(xué)校數(shù)學(xué)中非常重要[28]．如，拉蒙納認(rèn)為表示問題提出的活動能幫助她理解問題的結(jié)構(gòu)；斯嘉麗認(rèn)為問題提出能幫助他們認(rèn)識到自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中哪些內(nèi)容較為重要；還有學(xué)生表示，問題提出能幫助他們求解問題，因為這種活動有助于更好地閱讀問題．另外，Chang在經(jīng)歷了問題解決與問題提出相結(jié)合的教學(xué)后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不僅能自信地求解數(shù)學(xué)問題，還能自己提出數(shù)學(xué)問題，并進行正確的解答[14]．而且，在一些以職前教師和在職教師作為被試的研究中，也得到了類似結(jié)論[1]．

7 啟示

盡管作為“計劃課程”的美國課程標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)學(xué)問題提出”有著較高的期望，而且，已有研究也發(fā)現(xiàn)問題提出活動對美國學(xué)生的學(xué)習(xí)成績和態(tài)度有一定的積極影響，但數(shù)學(xué)問題提出在作為“期望課程”“實施課程”以及“獲得課程”的教材編寫及實際教學(xué)中并未得到同等地位的重視．盡管作為教學(xué)目標(biāo)的問題提出已得到較為廣泛的認(rèn)可，但這種不那么“常規(guī)”的教學(xué)手段要在美國教材和實際教學(xué)中進一步落實，仍面臨著較大的挑戰(zhàn)．

中國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)同樣對問題提出有所期望．如2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中，4個目標(biāo)之一的知識與技能目標(biāo)中，第一項和第三項均涉及問題提出，如在解決問題目標(biāo)中有以下表述：“初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識．”[32]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》也將培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力作為課程目標(biāo)[3，33-34]．然而，對“數(shù)學(xué)問題提出”的要求不能僅停留在課標(biāo)層面，教材的編寫、課堂的實踐同等重要．

7.1 數(shù)學(xué)教材應(yīng)增加數(shù)學(xué)問題提出活動的比例與類型

教材是教師教學(xué)的重要參考，在美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，問題提出活動所占的比例極低，類型也較為單一．中國小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)問題提出同樣如此[9，35]．為解決此問題，一方面，在教材的編寫中，應(yīng)適當(dāng)加強問題提出活動所占的比例，增加問題提出活動的數(shù)量，為學(xué)生提出問題創(chuàng)造更多的機會．另一方面，可增加數(shù)學(xué)問題提出的類型，幫助學(xué)生提出不同的、更高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題．中國人教版小學(xué)教材已做出較好的嘗試，研究發(fā)現(xiàn)，相對于舊版本教材，新版本教材包含了更多的問題提出活動，且類型更為豐富[9]，但仍有較大提升空間．

7.2 如何運用數(shù)學(xué)問題提出進行教學(xué)

相對于問題解決，很多教師并不熟悉運用問題提出進行教學(xué)．如何在盡量保持現(xiàn)有教學(xué)模式的基礎(chǔ)上，結(jié)合問題提出進行教學(xué)？Cai和Hwang給出了以下3點建議．第一，教師通過改編現(xiàn)有課程材料為學(xué)生創(chuàng)造提出問題的機會．可刪去應(yīng)用題中的提問句，如問題情境2若出現(xiàn)在教材中，原來的提問可能是“三人共有多少顆彈珠？”亦可在讓學(xué)生解決問題后提出新的問題，“你還能提出其他類似的問題嗎？”第二，增加課標(biāo)中問題提出的范例，列出學(xué)生可能會提出的數(shù)學(xué)問題，能幫助較少運用問題提出進行教學(xué)的教師更好地進行教學(xué)準(zhǔn)備和教學(xué)處理．第三，讓學(xué)生提出不同難度的數(shù)學(xué)問題（如問題情境1），促進教師理解學(xué)生不同水平的數(shù)學(xué)，從而進行針對性的教學(xué)．

除以上美國課堂中的案例，中國還有文[36-42]等教學(xué)實踐，但這樣的案例還遠遠不夠．在不同課型、不同教學(xué)內(nèi)容、不同學(xué)段中如何更好地運用問題提出進行教學(xué)，還需要進一步的努力．

[1]????CAI J, HWANG S, JIANG C, et al. Problem-posing research in mathematics education: some answered and unanswered questions [M] // SINGER F M, ELLERTON N F, CAI J. Mathematical problem posing. New York: Springer, 2015: 3-34.

[2] 于文華．美國數(shù)學(xué)問題提出：是非與評述[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（2）：24-28．

[3] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2017：8．

[4] CAI J, HOWSON G. Toward an international mathematics curriculum [M] // KILPATRICK J, BISHOP A J, LEUNG F K S, et al. Third international handbook of mathematics education. New York: Springer, 2012: 949-974.

[5] National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and evaluation standards for school mathematics [M]. Reston, VA: Author, 1989: 23.

[6] National Council of Teachers of Mathematics. Professional standards for teaching mathematics [M]. Reston, VA: Author, 1991: 95.

[7] 全美數(shù)學(xué)教師理事會．美國學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)[M]．蔡金法，吳放，譯．北京：人民教育出版社，2004：50．

[8] 全美州長協(xié)會和首席州立學(xué)校官員理事會．美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：歷史、內(nèi)容和實施[M]．蔡金法，孫偉，譯．北京：人民教育出版社，2016：17．

[9] ??CAI J, JIANG C. An analysis of problem-posing tasks in Chinese and US elementary mathematics textbooks [J]. International Journal of Science and Mathematics Education, 2017, 15 (8): 1?521-1?540.

[10] ?LAPPAN G, PHILLIPS E D, FEY J T, et al. Connected mathematics project 3: integers and rational numbers [M]. Boston: Pearson Education, Inc, 2014: 74.

[11] ?University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP). Everyday mathematics: student reference book, grade 2 [M]. Chicago, IL: McGraw-Hill Companies, Inc, 2012: 21.

[12] ?LAPPAN G, PHILLIPS E D, FEY J T, et al. Connected mathematics project 3: understanding similarity [M]. Boston: Pearson Education, Inc, 2014: 95.

[13] ?LAPPAN G, PHILLIPS E D, FEY J T, et al. Connected mathematics project 3: quadratic functions [M]. Boston: Pearson Education, Inc, 2014: 42.

[14] ?CHANG N. Responsibilities of a teacher in a harmonic cycle of problem solving and problem posing [J]. Early Childhood Education Journal, 2007, 34 (4): 265-271.

[15] ?WALLACE A H, ABBOTT D, BLARY R M A. The classroom that math built: encouraging young mathematicians to pose problems [J]. YC Young Children, 2007, 62 (5): 42.

[16] ?MOSES B, BJORK E, GOLDENBERG E P. Beyond problem solving: problem posing [M] // BROWN S I, WALTER M I. Problem posing: reflections and applications. London: Psychology Press, 2014: 178-188.

[17] ?WHITIN P. Promoting problem-posing explorations [J].Teaching Children Mathematics, 2004, 11 (4): 180-187.

[18] ?SILVERMAN F L, WINOGRAD K, STROHAUER D. Student-generated story problems [J]. The Arithmetic Teacher, 1992, 39 (8): 6-12.

[19] 于文華，蔡金法，劉美玲，等．美國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題提出及啟示——以West Park Place Elementary School為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（5）：61-65．

[20] ?PERRIN J R. Problem posing at all levels in the calculus classroom [J]. School Science and Mathematics, 2007, 107 (5): 182-192．

[21] ?ABRAMOVICH S, NABORS W. Spreadsheets as generators of new meanings in middle school algebra [J]. Computers in the Schools, 1997, 13 (1-2): 13-25.

[22] 蔡金法．中美學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的系列實證研究[M]．北京：教育科學(xué)出版社，2007：128．

[23] ?SILVER E A, Cai J. Assessing students’ mathematical problem posing [J]. Teaching Children Mathematics, 2005, 12 (3): 129-135.

[24] ?CAI J, MOYER J C, Wang N, et al. Mathematical problem posing as a measure of curricular effect on students’ learning [J]. Educational Studies in Mathematics, 2013, 83 (1): 57-69.

[25] ?CAI J. An investigation of U.S. and Chinese students’ mathematical problem posing and problem solving [J]. Mathematics Education Research Journal, 1998, 10 (1): 37-50.

[26] ?CAI J, HWANG S. Generalized and generative thinking in US and Chinese students’ mathematical problem solving and problem posing [J]. Journal of Mathematical Behavior, 2002, 21 (4): 401-421.

[27] ?SILVER E A, CAI J. An analysis of arithmetic problem posing by middle school students [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1996, 27 (5): 521-539.

[28] ?HARPEN X V, PRESMEG N. An investigation of high school students’ mathematical problem posing in the United States and China [M] // SINGER F M, ELLERTON N F, CAI J. Mathematical problem posing. New York: Springer, 2015: 293-308.

[29] ENGLISH L D. The development of fifth-grade children’s problem-posing abilities [J]. Educational studies in Mathematics, 1997, 34 (3): 183-217.

[30] ?SILVER E A. Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing [J]. ZDM, 1997, 29 (3): 75-80.

[31] ?SILVER E A. On mathematical problem posing [J]. For the Learning of Mathematics, 1994, 14 (1): 19-28.

[32] 中華人民共和國教育部．全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：6-7．

[33] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M]．北京：人民教育出版社，2003：11．

[34] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：14．

[35] 胡典順，蔡金法，聶必凱．?dāng)?shù)學(xué)問題提出與課程演變：兩個版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材的比較[J]．課程·教材·教法，2015，35（7）：75-79．

[36] 丁玉華，曾令鵬．“乘法分配律”教學(xué)實錄與評析[J]．小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（21）：43-46．

[37] 汪秉彝，呂傳漢．“設(shè)置數(shù)學(xué)情境—提出數(shù)學(xué)問題”教學(xué)探索[J]．貴州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，12（1）：52-54．

[38] 胡玉瓊，畢秀國．初中“數(shù)學(xué)情境與提出問題”教學(xué)的實踐——“二次函數(shù)”單元情境教學(xué)案例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（4）：90-93．

[39] 孔惠玲．初中代數(shù)教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問題——“二元一次方程組的應(yīng)用”教學(xué)案例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（4）：88-90．

[40] 管理河．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問題——“正弦定理（一）”教學(xué)案例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（4）：94-97．

[41] 紅星路小學(xué)“情境—問題”教學(xué)課題組．小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)情境與提出問題——“丟失的面積”教學(xué)案例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（4）：84-87．

[42] 葉麗華．小學(xué)“數(shù)學(xué)情境與提出問題”的教學(xué)實踐——“長方形的周長和面積的比較”教學(xué)案例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（4）：94-96．

“Problem Posing” in Mathematics Curricula in USA——Expectations and Challenges

XU Tian-lai1, CAI Jin-fa2, 3

(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China; 3. Department of Mathematical Sciences, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

From the perspectives of the planned curriculum, the intended curriculum, the implemented curriculum and the attained curriculum, this paper expounded and commented on some expectations and challenges in implementing “Problem Posing” in American mathematics curriculum. Through analysis, we found that the importance of problem posing had been widely recognized in American mathematics education and had been explicitly mentioned in NCTM mathematics curriculum standards for the past 30 years. In contrast to this, the problem-posing activities in American mathematics textbooks and classroom practice were still very scarce. Lastly, we also discussed how to increase the proportion and types of problem-posing activities in mathematics textbooks and how to use problem-posing in mathematics teaching.

mathematical problem posing; curriculum; textbook; teaching

2019–03–22

西南大學(xué)引進人才（教育部“長江學(xué)者”講座教授）計劃項目——數(shù)學(xué)問題提出對教師專業(yè)發(fā)展和學(xué)生創(chuàng)新能力提升的長期跟蹤研究（SWU118118）；廣州大學(xué)全日制研究生“基礎(chǔ)創(chuàng)新”項目——基于問題驅(qū)動的高中代數(shù)教學(xué)研究與教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)（2017GDJC-D03）

許天來（1990—），男，廣東博羅人，廣州大學(xué)博士生，美國特拉華大學(xué)訪問學(xué)者，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

G424

A

1004–9894（2019）02–0018–06

許天來，蔡金法．美國數(shù)學(xué)課程中的“問題提出”——期望與挑戰(zhàn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（2）：18-23．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]