李滿堂

《萬(wàn)有引力與航天》是物理必修2的重要章節(jié)，其中衛(wèi)星運(yùn)行及其變軌是該章的重點(diǎn)，也是高考考查的高頻知識(shí)點(diǎn)。大部分學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)掌握不夠系統(tǒng)，理解不夠深刻，部分資料教輔對(duì)衛(wèi)星變軌問(wèn)題涉及的物理量有一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。本文試圖從向心力的供需角度幫助學(xué)生梳理衛(wèi)星的運(yùn)行及變軌問(wèn)題。

一、衛(wèi)星的運(yùn)行及變軌

衛(wèi)星之所以能長(zhǎng)期運(yùn)行在它的軌道上，正是因?yàn)榈厍蚪o它的引力恰好提供了它繞圓周運(yùn)行所需要的向心力，即供等于需（GMmr2=mv2r）。

思考：如果衛(wèi)星速度突然增大了，它會(huì)怎么運(yùn)轉(zhuǎn)呢？

當(dāng)衛(wèi)星速度突然增大時(shí)，它所需要的向心力就突然增大，地球給它的引力就不足以提供它做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力了，那么它就會(huì)做遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)——離心運(yùn)動(dòng)。

如圖：在圓軌道I上以速度v1運(yùn)行的衛(wèi)星，萬(wàn)有引力恰好提供向心力，即供等于需（GMmr21=mv21r1）。如果在A點(diǎn)讓它速度突然增大到v2，它所需的向心力就會(huì)突然增大，萬(wàn)有引力就不足以提供它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即供小于需（GMmr21v23ρ2），ρ2 為橢圓軌道B點(diǎn)處的曲率半徑）。此后，衛(wèi)星將會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)，地球引力會(huì)將它拉回到A點(diǎn)，這個(gè)過(guò)程中地球引力對(duì)它做正功，它的速度又會(huì)逐漸增大，回到A點(diǎn)時(shí)，它的速度又到達(dá)v2。這樣衛(wèi)星就會(huì)在橢圓軌道II上不斷的運(yùn)轉(zhuǎn)，在近地點(diǎn)A時(shí)速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)速度最小。值得注意的是，圓軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星，在A點(diǎn)速度突然增大得越多，它的橢圓軌道半長(zhǎng)軸將越長(zhǎng)，也就是軌道將橢得越厲害。

怎樣才能讓衛(wèi)星變軌到更高的圓軌道呢？

上面講到衛(wèi)星沿橢圓運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)后，它之所以又會(huì)在地球引力作用下回到近地點(diǎn)A點(diǎn)，是因?yàn)樵贐點(diǎn)時(shí)它的速度已經(jīng)很小，導(dǎo)致它所需要的向心力小于地球給它提供的引力了。如果在衛(wèi)星運(yùn)行到B點(diǎn)的時(shí)候，讓它速度突然增大，如果增大到某一值v4而且此時(shí)它所需要的向心力恰好等于地球提供給它的引力，即供等于需（GMmr22=mv24r2），它還會(huì)做向心運(yùn)動(dòng)嗎？當(dāng)然不會(huì)。衛(wèi)星將繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，它此時(shí)的圓軌道經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，如圖所示的圓軌道II，與開(kāi)始經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的圓軌道比，它的圓軌道就變高了。

二、衛(wèi)星運(yùn)行及變軌中速度和加速度比較

上面衛(wèi)星運(yùn)行及變軌中涉及的速度有v1、v2、v3、v4等4個(gè)速度，它們的大小關(guān)系如何？由上可知v2是由v1增大得到的，故有v2>v1，又有v4是由v3增大得的，故有v4>v3，又衛(wèi)星從A運(yùn)動(dòng)到B是減速的，則v2>v3;現(xiàn)在我們來(lái)通過(guò)計(jì)算比較一下v1和v4的大小，在圓軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星萬(wàn)有引力提供向心力有GMmr2=mv2r，可得v=GMr，由此知道半徑越大，衛(wèi)星運(yùn)行速度越小即v4v1>v4>v3。

現(xiàn)在我們來(lái)看一下加速度大小比較：在圓軌道I上運(yùn)行的衛(wèi)星，所受地球引力為F1=GMmr21，由牛頓第二定律知此時(shí)衛(wèi)星加速度為a1=GMr21。衛(wèi)星在橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，由于距離地心距離不斷變化，所受地球引力在不斷變化，由牛頓第二定律知加速度大小也在不斷變化，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)加速度為a1=GMr21最大，與圓軌道I上的加速度大小相同，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中由于地心越來(lái)越遠(yuǎn)，受到地球引力越來(lái)越小，加速度越來(lái)越小，到B點(diǎn)時(shí)加速度為a2=GMr22，是最小的，且與衛(wèi)星在圓軌道II上加速度一樣大。由此可知：經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的衛(wèi)星，不管是它運(yùn)行的軌道是怎樣的，加速度都一樣。

上面說(shuō)的是加速度，現(xiàn)在我們看看向心加速度。在圓軌道I上以速度v1運(yùn)行的衛(wèi)星，萬(wàn)有引力恰好提供向心力，由牛頓第二定律及向心加速度公式得此時(shí)衛(wèi)星向心加速度a1向=v21r1=GMr21。同理在圓軌道II上以速度v4運(yùn)行的衛(wèi)星向心加速度a2向=v24r2=GMr22。衛(wèi)星在橢圓軌道上運(yùn)行經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的向心加速度為aA向=v22ρ1>GMr21）（ρ1為橢圓在A點(diǎn)處的曲率半徑），在橢圓軌道上運(yùn)行經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的向心加速度為aB向=v23ρ2a1向>a2向>aB向。

由此可知衛(wèi)星在運(yùn)行及變軌過(guò)程中，衛(wèi)星的加速度和向心加速度是有區(qū)別的。在圓軌道上運(yùn)行時(shí)，衛(wèi)星的向心加速度就是它的加速度。如果是橢圓軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星加速度與向心加速度是完全不同的。