施長燕

概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)描述，刻畫隨機(jī)現(xiàn)象和事件發(fā)生的可能性大小，也是中考的必考內(nèi)容之一。為了幫助同學(xué)們更好地把握這章的內(nèi)容，現(xiàn)圍繞中考真題對(duì)本章的知識(shí)進(jìn)行解讀。

考點(diǎn)1 確定事件與隨機(jī)事件

在一定條件下，事先能判斷一定不會(huì)發(fā)生的事情稱為不可能事件。在一定條件下，事先能判斷一定會(huì)發(fā)生的事情稱為必然事件。不可能事件和必然事件都是確定事件。在一定條件下，事先無法判斷會(huì)不會(huì)發(fā)生的事情稱為隨機(jī)事件。下面結(jié)合例題，我們一起來體會(huì)：

例1 （2016·廣東茂名）下列事件中，是必然事件的是（）。

A.兩條線段可以組成一個(gè)三角形

B.400人中有兩個(gè)人的生日在同一天

C.早上的太陽從西方升起

D.打開電視機(jī)，它正在播放動(dòng)畫片

【解析】必然事件是在一定條件下一定會(huì)發(fā)生的事件。分析各選項(xiàng)：兩條線段可以組成一個(gè)三角形是不可能事件;400人中有兩個(gè)人的生日在同一天是必然事件;早上的太陽從西方升起是不可能事件;打開電視機(jī)，它正在播放動(dòng)畫片是隨機(jī)事件。故答案為B。

【變式】（2016·湖北武漢）不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個(gè)球，其中有4個(gè)黑球、2個(gè)白球。從袋子中一次摸出3個(gè)球，下列事件是不可能事件的是（）。

A.摸出的是3個(gè)白球

B.摸出的是3個(gè)黑球

C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球

D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球

【解析】因?yàn)榇又杏?個(gè)黑球、2個(gè)白球，所以摸出的黑球個(gè)數(shù)不能大于4，摸出的白球個(gè)數(shù)不能大于2。A選項(xiàng)摸出的白球的個(gè)數(shù)是3個(gè)，超過2個(gè)，是不可能事件。故答案為A。

【點(diǎn)評(píng)】本類題型考查了確定事件與隨機(jī)事件，解決本類題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念。

在生活中，我們要學(xué)會(huì)區(qū)分身邊的必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，要對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有一個(gè)定性的認(rèn)識(shí)。

考點(diǎn)2 隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小

本章對(duì)于概率的學(xué)習(xí)重在“認(rèn)識(shí)”，隨機(jī)事件就是我們事先無法確定會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件，我們要認(rèn)識(shí)到隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大有小的，要能對(duì)一些隨機(jī)事件發(fā)生的可能性做出描述。

例2 （2016·浙江臺(tái)州）質(zhì)地均勻的骰子的六個(gè)面上分別刻有1～6的點(diǎn)數(shù)，擲兩次骰子，得到向上一面的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（）。

A.點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)

B.點(diǎn)數(shù)的和為奇數(shù)

C.點(diǎn)數(shù)的和小于13

D.點(diǎn)數(shù)的和小于2

【解析】擲兩次骰子，得到的兩次向上一面的點(diǎn)數(shù)的組合共有36種等可能的情況，其中：點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)的情況有9種，可能性是0.25;點(diǎn)數(shù)的和為奇數(shù)的情況有18種，可能性是0.5;點(diǎn)數(shù)的和小于13的情況有36種，可能性是1;點(diǎn)數(shù)的和小于2的情況不會(huì)發(fā)生，可能性是0。所以發(fā)生可能性最大的是點(diǎn)數(shù)的和小于13。故答案為C。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性的認(rèn)識(shí)，同學(xué)們要學(xué)著用數(shù)學(xué)的思維去感受和辨析。

【變式】袋中有紅球4個(gè)、白球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別。從袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，如果取到白球的可能性較大，那么袋中白球的個(gè)數(shù)可能是（）。

A.3個(gè)B.不足3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)或5個(gè)以上

【解析】根據(jù)取到白球的可能性較大，可以判斷出白球的數(shù)量大于紅球的數(shù)量，即袋中白球的個(gè)數(shù)可能是5個(gè)或5個(gè)以上。故答案為D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性大小的比較：在總情況數(shù)目相同時(shí)，哪一種情況可能出現(xiàn)的次數(shù)多，哪一種情況發(fā)生的可能性就大，反之也成立。若各種情況可能出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)，那么它們發(fā)生的可能性就相等。

事件發(fā)生的可能性有大有小，必然事件就是一定會(huì)發(fā)生的事件，發(fā)生的可能性為1;不可能事件就是一定不會(huì)發(fā)生的事件，發(fā)生的可能性為0;隨機(jī)事件，即可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，發(fā)生的可能性大于0并且小于1。

考點(diǎn)3 用頻率估計(jì)概率

在生活中，能夠直接通過計(jì)算求得發(fā)生概率的事件是有限的，在很多情況下，我們要進(jìn)行相應(yīng)的試驗(yàn)，通過觀察、記錄、分析，計(jì)算出相應(yīng)的頻率來估計(jì)概率。在多次重復(fù)的隨機(jī)事件中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且趨于穩(wěn)定，這個(gè)常數(shù)就是事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值，所以我們常用經(jīng)過大量試驗(yàn)獲得的頻率來估計(jì)某一隨機(jī)事件發(fā)生的概率，記作P（A）。

例3 （2016·江蘇鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有紅球和白球共30個(gè)，這些球除了顏色外其他都相同。校課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后任意摸出一個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，通過多次重復(fù)試驗(yàn)，算得摸到紅球的頻率是20%，則袋中有 ?個(gè)紅球。

【解析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在該事件發(fā)生的概率附近，因此我們可以從比例關(guān)系入手，列出方程并求解。

設(shè)袋中有x個(gè)紅球，由題意可得：[x/30]=20%，解得：x=6，故答案為6。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，關(guān)鍵要根據(jù)多次重復(fù)試驗(yàn)后摸到紅球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系再求解。

【變式1】（2016·甘肅蘭州）一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中有 6 個(gè)黃球。將口袋中的球搖勻，從中任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回，通過大量重復(fù)上述試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在 30%，由此估計(jì)口袋中共有小球個(gè)數(shù)為____________。

【解析】根據(jù)“通過大量重復(fù)上述試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%”，可以估計(jì)“摸到黃球的概率為30%”，因此，口袋中的小球個(gè)數(shù)為6÷30%=20，故答案為20。

【點(diǎn)評(píng)】本題為概率問題，考查了用事件發(fā)生的頻率來估計(jì)事件發(fā)生的概率，而后再利用概率進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

【變式2】（2016·江西南昌）在一個(gè)不透明的袋子中裝有僅顏色不同的10個(gè)小球，其中紅球4個(gè)、黑球6個(gè)。

（1）先從袋子中取出m （m>1）個(gè)紅球，再從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，將“摸出黑球”記為事件A。請(qǐng)完成下列表格：

（2）先從袋子中取出m個(gè)紅球，再放入m個(gè)一樣的黑球并搖勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球是黑球的概率等于[4/5]，求m的值。

【解析】（1）若事件A為必然事件，則取出紅球后，袋中剩下的球應(yīng)全為黑球，所以m=4;若事件A為隨機(jī)事件，則取出紅球后，袋中還剩有紅球，所以m>1，又因?yàn)榧t球總共有4個(gè)，所以m=2或3。

（2）取出m個(gè)球又放入m個(gè)球，袋中的總球數(shù)是不變的，仍然是10，根據(jù)題意可得：[m+6/10]=[4/5]，解得m=2。

概率的統(tǒng)計(jì)意義是建立在頻率穩(wěn)定性的基礎(chǔ)之上的，在一定條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，某一事件發(fā)生的頻率會(huì)在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，擺動(dòng)的幅度會(huì)減小，這個(gè)常數(shù)就是該事件發(fā)生概率的估計(jì)值。頻率與概率雖然分屬于不同的分支，但它們之間是相互聯(lián)系、相互作用的。

以上以各地部分中考題為例進(jìn)行分析，重點(diǎn)是幫助同學(xué)們理解隨機(jī)事件的意義和概率意義，由此我們也能看出，把握住本章的這兩個(gè)核心概念對(duì)解決中考中的概率問題有很大幫助。

（作者單位：江蘇省常熟市濱江實(shí)驗(yàn)中學(xué)）