王曉磊 金振林 李曉丹 劉 祥

(1.燕山大學機械工程學院， 秦皇島 066004； 2.遼寧工業(yè)大學機械工程與自動化學院， 錦州 121001)

0 引言

由于仿生足式機器人通過對爬行動物運動機理分析進行結構模仿設計[1]，因此，仿生足式機器人在復雜環(huán)境下行走具有良好的地形適應能力，受到世界各研究機構的廣泛關注。美國波士頓動力學公司設計了多種液壓驅動串聯(lián)腿部機構的四足仿生機器人[2-4]，燕山大學設計、開發(fā)多款并聯(lián)、串并混聯(lián)腿部結構的多足仿生機器人[5-8]，山東大學[9-10]、國防科學技術大學[11]、北京理工大學[12]、哈爾濱工業(yè)大學[13]等高校團隊對串聯(lián)腿部機構的四足仿生機器人進行深入研究，上海交通大學高峰團隊采用并聯(lián)結構機械腿研制了多足仿生機器人[14-15]。上述仿生機器人的腿部機構大多是由純并聯(lián)機構或由簡單的桿件串聯(lián)機構組成。純并聯(lián)結構承載能力大，但不適于快速行走；串聯(lián)結構行走速度快，承載能力沒并聯(lián)機構好。

對于仿生機器人來說，動力學分析可為系統(tǒng)動力參數(shù)選取提供依據(jù)，同時還可為機器人承載時軌跡規(guī)劃奠定基礎，因此對仿生機器人的動力學研究非常重要[16]。目前，對仿生機器人腿部機構的動力學分析較少，文獻[17-20]均對腿部機構的動力學進行了研究，但都只是對仿生機器人腿部機構的伺服參數(shù)進行預估，而沒有對整個機器人在行走過程的動力學及移動能耗進行分析。本文研究一種串并混聯(lián)仿生機械腿，針對該四足機器人的腿部機構進行動力學建模，并進行驗證、動力學分析及移動能耗分析，為動力參數(shù)與緩沖結構設計及軌跡規(guī)劃奠定基礎。

1 運動學分析

運動學分析是研究動力學的基礎，包括位置分析、速度分析及加速度分析。本文主要對腿部結構的位置和速度進行分析。

1.1 腿部模型

與上海交通大學聯(lián)合開發(fā)的四足機器人整體樣機及腿部機構簡圖如圖1所示。該四足機器人由4條相同的腿部機構組成，每條腿部機構均具有3個自由度。該腿部機構由平面并聯(lián)五桿機構OABCD驅動雙菱形行程放大機構實現(xiàn)并聯(lián)驅動，兩個直線驅動副的伸縮實現(xiàn)足端抬起和前后擺動。同時串聯(lián)部分有直線副驅動的四桿機構MKNQ，實現(xiàn)五桿機構及雙菱形機構沿MP軸的側擺運動，實現(xiàn)側向解耦。通過這兩種機構的組合實現(xiàn)了腿部機構的前后邁步和側向邁步。由于本文研究的機器人屬于高性能四足仿生機器人，要求具有快速移動、承受高負載性能。因此，系統(tǒng)中直線驅動均采用伺服液壓缸驅動，使系統(tǒng)具有高動態(tài)性、大負載能力[21]。由于腿部機構由并聯(lián)五桿機構與雙菱形行程放大機構組成，因此，直線驅動器只需移動很小的距離，就能獲得很大的工作空間，可實現(xiàn)快速行走；由于該腿部結構采用了串并混聯(lián)機構，較傳統(tǒng)的串聯(lián)機械腿相比，具有更大的承載能力，且轉向靈活。

圖1 四足機器人整體樣機及腿部機構簡圖Fig.1 Whole prototype and leg mechanism schematics of quadruped robot

1.2 位置分析

為了便于分析，建立圖1b所示的固定坐標系OXYZ和動坐標系IUVW。O為固定坐標系原點，X軸沿OC方向，且在OMP平面內，Z軸垂直于OMP平面向上，Y軸由右手螺旋法則確定。平面四桿機構MKNQ平行于YOZ平面。設I為動坐系原點，W軸沿IO方向，U軸垂直W軸，向右，V軸由右手螺旋法則確定。設結構參數(shù)‖OA‖=l1，‖AB‖=l2，‖BC‖=l3，‖CD‖=l4，‖OD‖=l5，‖OC‖=l6，‖MK‖=l7，‖KN‖=l8，‖NQ‖=l9，‖QM‖=l10，雙菱形OFGE和GHIJ邊長均為l，OF與OG夾角為θ。由圖1b可知，該腿部機構具有沿X、Y軸轉動和沿Z向移動的自由度，所以在位置分析時，可先分析平面機構末端位置的變化，再沿X軸旋轉φ得到，同時設平面機構末端繞Y軸旋轉為φ。

結合圖1b，參考點I的位置可以寫成

(1)

根據(jù)式(1)可得

(2)

為了便于分析，將總的腿部結構簡圖分為2個平面圖，如圖2所示。圖2a為平面并聯(lián)機構簡圖，為未繞X軸旋轉時平面機構的姿態(tài)，圖2b為四桿機構MKNQ在YOZ面的投影圖。在圖2a中，AOF為一構件，其中OF桿與X軸的夾角為β，OA與OF夾角為γ′。OE與X軸夾角為α，為了避免干涉，OE桿件不是直線，而是使OD與OE線有一夾角為γ。圖2b中，MK與Y軸夾角為θ6，KN與Y軸夾角為θ7。

圖2中的Ci為各液壓缸缸體、活塞桿、桿件及支架的質心，其中C1、C3、C13為活塞桿質心，C2、C4、C12為液壓缸缸體質心，C9為桿件AOF的質心，C10為桿件ODE的質心，C7、C8為HI和JI質心，并在桿件的中心點，C5、C6為桿件FJ和EH質心,與G點重合，C11為腿部支架質心，C14為足端及導向桿組件的質心，各質心點處的桿件空間角速度為ωi,速度為vCi。

圖2 整體腿部結構拆分圖Fig.2 Breakdown diagrams of overall leg structure

結合圖2a，根據(jù)結構約束條件可得到

(3)

(4)

根據(jù)式(4)得

(5)

將式(3)代入式(5)得

(6)

同理根據(jù)結構約束條件可知，OABC、ODC均為一個矢量環(huán)，可寫成

(7)

(8)

結合圖2b，同理由結構約束條件得到

(9)

(10)

若已知該腿部機構末端I的位置，根據(jù)式(1)、(2)即可求出φ、θ、φ，再根據(jù)式(5)求出θ5、θ1，根據(jù)式(7)、(8)在平面機構中即可求出l2、l4；根據(jù)式(9)求得θ6，根據(jù)式(10)求得l8，即為腿部機構的位置反解。

1.3 運動工作空間

給定結構參數(shù)l=260 mm，l1=l5=50 mm，γ=15°，γ′=135°，l3=155 mm，l6=305 mm，θ3=75°。設約束條件為15°≤θ≤75°，-15°≤φ≤15°，255 mm≤(l2、l4、l8)≤340 mm。根據(jù)位置方程與約束條件，通過Matlab繪制腿部機構的工作空間，如圖3所示。

圖3 腿部機構工作空間Fig.3 Workspace of leg mechanism

從圖3可以看出，桿長變化量在0～85 mm內，沿X軸的長度可達1 000 mm，沿Z軸的工作空間高度最大可達450 mm。由此可知，該機構驅動桿通過雙菱形機構將末端行程放大，且隨位置的不同，放大倍數(shù)不同，越處于下部放大倍數(shù)越大。

1.4 線速度

為了進行腿部結構的動力學分析，需要推導輸入與輸出的線速度映射關系。

分別對式(3)、(4)求導整理得

(11)

對式(7)進行求導得

(12)

(13)

對式(8)求導得

(14)

(15)

對式(9)、(10)求導得

(16)

(17)

(18)

將式(13)、(15)分別代入式(11)可得

(19)

對式(1)求導得

(20)

(21)

(22)

將式(22)乘cosφ加上式(21)乘sinφ，整理得

(23)

將式(23)代入式(18)，可得

(24)

將式(20)乘cosφsinφ加上式(21)乘sinφ得

(25)

由式(20)得

(26)

由式(11)、(25)、(26)得

(27)

(28)

將式(27)、(28)分別代入式(13)、(15)得

(29)

(30)

將式(29)、(30)、(24)寫成矩陣形式

(31)

其中

同時可得

(32)

(33)

(34)

1.5 桿件角速度

根據(jù)式(18)、(34)、(31)得圖2a平面機構的下液壓缸角速度為

(35)

其中

式中GV2：——GV中第2行元素

根據(jù)式(12)、(27)、(31)可得在圖2a平面機構的上液壓缸角速度為

(36)

其中

式中GV1：——GV中第1行元素

同理，平面機構中下液壓缸在空間的角速度可通過角速度疊加原理及式(35)得到

ωi=Giv(i=3,4)

(37)

平面機構中上液壓缸在空間的角速度可通過角速度疊加原理及式(36)得到

ωi=Giv(i=1,2)

(38)

根據(jù)圖2a平面機構圖的幾何約束可知

θ11=-θ12=2θ

(39)

-θ21=θ12=2θ

(40)

對式(39)、(40)求導可得

(41)

(42)

FGJ桿、EGH桿在空間的角速度可通過角速度疊加原理及式(31)、(33)、(13)、(15)、(41)、(42)、(30)得

ω5=G5v

(43)

ω6=G6v

(44)

其中

式中GV3：——GV中第3行元素

對于JI桿、EI桿空間角速度通過角速度疊加原理及式(31)、(33)、(13)、(15)、(30)、(43)、(44)得

ω8=G8v

(45)

ω7=G7v

(46)

其中

對于只存在轉動AOF桿在空間的角速度通過角速度疊加原理與式(13)、(31)得

ω9=G9v

(47)

其中

對于ODE桿空間角速度通過角速度疊加原理及式(15)、(30)得

ω10=G10v

(48)

其中

支架角速度即為繞X軸的角速度，即

(49)

其中

足端的角速度通過角速度疊加原理得

(50)

將式(34)代入式(50)得

ω12=G12v

(51)

其中

根據(jù)式(16)、(17)、(31)可得擺動液壓缸角速度

(52)

其中

側擺液壓缸在空間的角速度為

(53)

其中

即得到了機構中所有桿件的角速度。

1.6 桿件質心的位置及速度

上液壓缸活塞桿及缸體質心在空間矢量可分別表示為

(54)

(55)

式中l(wèi)oc1、loc2——平面機構中的矢量

同時對式(54)、(55)求導得

(56)

(57)

其中

將式(12)、(13)、(30)、(33)代入式(56)、(57)得

vC1=GC1v

(58)

vC2=GC2v

(59)

其中

同理，下液壓缸活塞桿及缸體的質心矢量可表示為

(60)

(61)

對式(60)、(61)求導得

(62)

(63)

其中

將式(14)、(15)、(30)、(33)代入式(62)、(63)得

vC3=GC3v

(64)

vC4=GC4v

(65)

其中

桿EGH與桿FGH均是對稱結構，設其質心均在G點，線速度為末端速度的一半，即

vC5=vC6=GC5v=GC6v=0.5v

(66)

由于桿EGH與桿FGH在機構中間部位，其質心位置在G點，則位置矢量為

PC5=PC6=0.5p

(67)

在空間中桿HI、JI質心的位置可分別通過矢量疊加得

(68)

(69)

對式(68)、(69)求導可得

(70)

(71)

其中

將式(13)、(15)、(30)～(32)代入式(70)、(71)得

vC7=GC7v

(72)

vC8=GC8v

(73)

其中

桿AOF及桿ODE重心的位置矢量可表示為

(74)

(75)

對式(74)、(75)求導得

(76)

(77)

其中

將式(33)、 (13)、 (15)、(30)代入式(76)、(77)得

vC9=GC9v

(78)

vC10=GC10v

(79)

架體為對稱結構，中心的位置矢量為

(80)

由于此件只做純轉動，在計算動能時已計算轉動動能，故可認為vC11=0。

足端位置矢量為

(81)

vC12=GC12v

(82)

式中GC12——單位矩陣

擺動缸活塞桿質心位置及缸筒質心空間位置矢量為

PC13=[0lKC13cosθ7+lMKcosθ6lKC13sinθ7+lMKsinθ6]T

(83)

PC14=[0lOQ-lNC14cosθ7lQN-lNC14sinθ6]T

(84)

對式(83)求導得

(85)

將式(30)代入式(85)得

vC13=GC13v

(86)

其中

GC13=

由于此件只作純轉動，在計算動能時已計算轉動動能，故可認為vC14=0。

2 動力學建模

為了簡化腿部機構動力學建模，需要假設整個機器人都是由金屬材料構成，各構件認為是剛體，彈性變形忽略不計；各轉軸質量較小、且轉動慣量較小，認為是構件一部分，且沒有繞軸線的自轉；活塞及活塞桿認為是一個整體，也無繞活塞桿軸線的自轉，足端導向套、足端和彈簧視為一個整體。

2.1 廣義力與驅動力的映射

(87)

將式(30)代入式(87)得

(88)

2.2 各構件能量

腿部機構能量主要由各構件的動能和勢能組成。對于單個腿部機構的構件主要有3個液壓缸缸體、3個液壓缸缸體活塞桿、腿部支架、桿EGH、桿FGH、桿AOE、桿ODF、桿EJ與桿FH及足端。

對于組成機械腿機構的所有構件相對于固定坐標系的動能為

(89)

式中In——腿部機構各構件繞其質心的慣量矩陣

mn——腿部機構各構件的質量矩陣

vCn——腿部機構各構件質心處的速度矢量

ωn——腿部機構各構件質心處角速度矢量

依據(jù)運動學分析，將ωn、vCn對應于廣義速度v的表達式代入式(89)整理得

(90)

其中

組成機械腿機構的所有構件相對于固定坐標系的勢能為

(91)

2.3 腿部機構動力學方程

建立動力學方程的方法有拉格朗日法[22]、虛功原理法[23]、凱恩法[24]等。由于拉格朗日方法從能量的角度出發(fā)，得到的動力學方程形式相對簡單[22]，所以采用拉格朗日法建立腿部機構的動力學方程，其方程形式為

(92)

其中

L=T-U

式中L——拉格朗日函數(shù)

pi——腿部參考點I的廣義坐標

fi——未考慮外部負載的足端力

將式(89)、(91)代入式(92)可得

(93)

由于勢能不是速度的函數(shù)[25]，所以整理式(93)得

(94)

(95)

其中

對式(95)時間求導

(96)

將式(90)對p1求導

(97)

將式(91)對p1求導可得

(98)

將式(95)～(97)代入式(94)整理得

(99)

其中

同理可求得

(100)

(101)

其中

整理式(99)～(101)寫成矩陣

(102)

其中

式中D——腿部機構的廣義慣性矩陣

H——腿部機構的離心力和哥氏力系數(shù)

Wg——腿部機構的重力項

上述動力學方程建立的過程沒有考慮腿部機構承受的外負載，設腿部機構承受的外負載為Q。因此，當考慮足端外負載時，動力學方程變?yōu)?/p>

F=f+Q

(103)

在仿生機器人行走過程中，腿部機構需要具備擺動相和支撐相。擺動相是指在機器人行走過程中腿部機構向前端或側面邁步，足端離開地面，不受外部的負載, 則Q為零。支撐相是指腿部足端著地，支撐軀體向前或側面行走，此時在足端承受外負載Q為足端與地面的接觸力。

通過式(88)可以得出腿部機構的剛體逆動力學方程為

τ=JF

(104)

式中J——驅動力的雅可比矩陣

當腿部結構確定后，各桿件的質量、轉動慣量均可由三維軟件得到；當腿部機構末端運動軌跡函數(shù)確定后，即可求出末端速度、加速度，根據(jù)式(104)即可得到對應關節(jié)的驅動力。

3 動力學模型驗證與分析

3.1 動力學模型驗證

對于四足機器人的行走一般采用對角步態(tài)，對角兩條腿同時處于擺動相或者支撐相。由于拋物線適應能力強，所以X向或Y向的運動軌跡可以寫成

(105)

式中λ——步長，mm

T0——周期，s

對于Z向，為了減少沖擊與實現(xiàn)跨越障礙，采取正弦曲線，其軌跡為

(106)

式中H——抬腿高度,mm

為了驗證模型的正確性，首先根據(jù)動力模型通過Matlab編程得到的3個液壓缸理論力的變化曲線。然后將所建立的樣機模型導入到ADAMS中，并將同樣的步態(tài)通過運動學反解推導出3個液壓缸的運動變化曲線，分別施加在相應的液壓缸上，同時在末端在1～2 s間施加1 200 N的力，通過ADAMS軟件仿真得到3個液壓缸力的變化曲線。最后將兩條曲線擬合，如圖4a所示；并繪制出圖4b理論力與ADAMS仿真力在各時刻的誤差。從圖4可以看出，二者曲線變化基本一致，誤差在-1.731～1.774 N之間，驗證了理論推導模型的正確性。

圖4 驗證曲線Fig.4 Verified curves

由圖4可知，一條腿上3個液壓缸的最大輸出力均在腿部機構著地瞬間產生，與抬腿高度無關；此時對地面沖擊力較大，所以在足端加了彈簧緩沖裝置，避免沖擊力過大，導致機構損壞；3個液壓缸中最大輸出力為側擺液壓缸，因為此液壓缸與平面并聯(lián)機構串聯(lián)，且為行程放大機構，屬于費力杠桿。

3.2 步長對驅動缸最大輸出力的影響規(guī)律分析

通過以上分析可知，各驅動液壓缸的最大輸出力產生在腿部機構著地的瞬間，所以各驅動缸在相同步態(tài)函數(shù)、相同周期下，只與步長有關。在機器人直線行走時，此時側擺缸輸出力為0。設此種步態(tài)下，機器人最大步長為900 mm、抬腿高度為150 mm時，不同步長的平面機構液壓缸最大輸出力規(guī)律如圖5a所示。機器人側向移動時，側擺步長不能太大，過大會產生拌腿或側翻。此時設抬腿高度為200 mm時，步長最大值設為250 mm時，在不同步長時側擺缸最大輸出力規(guī)律如圖5b所示。

圖5 步長對驅動缸最大輸出力影響規(guī)律Fig.5 Effect of step length on maximum output force of drive cylinder

從圖5a可以看出，在直線行走時，并聯(lián)機構的兩個液壓缸輸出最大力總體呈遞增趨勢，位于并聯(lián)機構上方的液壓缸最大輸出力逐漸增大，達700～900 mm趨于平緩；位于下方的液壓缸相對上缸變化稍有平緩，但也在逐漸增大的。從圖5b可以看出，在側向行走時，側擺缸輸出最大力隨側擺步長的增加接近直線遞增，說明側擺對側擺液壓缸的最大輸出力影響較大。確定系統(tǒng)的最大壓力時，應由側擺缸的最大輸出力決定，側擺缸最大輸出力的確定為系統(tǒng)的動力參數(shù)及腿部機構緩沖結構設計提供依據(jù)。

3.3 基于腿部動力學的能耗分析

3.3.1能耗指標建立

多足步行機器人能耗的影響因素有很多，如機器人結構參數(shù)、步態(tài)參數(shù)等。由于周期不同、步態(tài)參數(shù)不同、承載不同，機器人消耗的能量也不同。為了評價步行機器人在移動過程消耗能量，需要建立機器人能耗性能指標。設定四足機器人的行走周期為1 s，設定機器人的能耗性能評價指標為

(107)

(108)

式中PE——一個周期內機器人在移動過程中所有關節(jié)消耗的總能量

m——機器人自身質量與外負載質量之和

g——重力加速度

L1——1 s內機器人移動的步長

PEij——第i條腿的第j個驅動缸輸出能量

τij——t時刻第i條腿第j個驅動缸輸出力

vij——t時刻第i條腿第j個驅動缸輸出速度

該性能指標是移動單位步長、單位質量機器人能耗的總和，且該值越小越好，代表能量利用率高。

3.3.2能耗指標分析

由于機器人已經(jīng)完成設計，結構參數(shù)不變，步態(tài)函數(shù)采用式(105)、(106)，也不變，故不考慮這兩種因素對能耗的影響，本文重點考慮步態(tài)參數(shù)對能耗的影響。由于前文已設定步態(tài)周期為1 s，所以只考慮步態(tài)參數(shù)的步長、抬腿高度對移動能耗指標的影響。在行走過程中，主要分析包括直線行走和側向行走2種步態(tài)。

圖6 直行步態(tài)參數(shù)與能耗指標關系Fig.6 Relationship between walking gait parameters and energy consumption indicators

(1)當直線行走時，設定步高為100 mm，步長在100～900 mm之間變化，根據(jù)式(107)可計算出直線行走過程中不同步長的能耗性能指標，并繪制出如圖6a所示的變化規(guī)律曲線。當設定步長為600 mm，抬腿高度在50～300 mm之間，根據(jù)式(107)可計算出直線行走過程中不同抬腿高度的能耗性能指標，并繪制出如圖6b所示的變化規(guī)律曲線。

從圖6a可看出，隨著步長的增加，能耗指標單調遞減，到達700～900 mm后能耗指標基本保持穩(wěn)定。表明隨著步長的增加，能量利用率越來越好。從圖6b可以看出，隨著抬腿高度的增加，能耗指標呈單調遞增的趨勢，說明能量利用率越來越低。因此，在直線行走時，若要節(jié)約能源，應該采取大步伐、小步高的軌跡規(guī)劃策略。在滿足要求條件下，步長在700～900 mm為好。

(2)當機器人側向行走時，設定步高為50 mm,步長在50～250 mm變化，繪制的能耗性能指標與步長的變化規(guī)律如圖7a所示。當步長一定，步高在50～250 mm時，繪制的能耗性能指標與抬腿高度的變化規(guī)律曲線如圖7b所示。從圖7a可以看出，機器人側向移動時，能耗指標在步長50～100 mm之間隨著側向步長增加而減小，但超過100 mm時隨著步長增加而單調遞增，說明消耗的能量越大，在步長為100 mm能耗指標最優(yōu)。從圖7b可以看出，隨著側向抬腿高度的增加，能耗指標呈單調遞增的趨勢，說明能耗越來越大。因此，在機器人側向行走時，應采取步長為100 mm左右、小步高的軌跡控制策略。

4 結論

(1)針對串并混聯(lián)四足仿生機器人腿部機構進行了運動學分析，建立了各構件速度與末端線速度的顯式表達式；通過各構件的顯式表達式推導出正動力學方程，并建立了逆動力學方程。

(2)通過實例繪制了理論推導曲線和ADAMS虛擬樣機仿真曲線，驗證了理論推導的正確性。仿真結果表明，驅動缸在腿部足端接觸地的瞬間產生最大輸出力；分析得到了不同步長情況下，各驅動液壓缸最大輸出力的變化規(guī)律；在有側向移動的步態(tài)中，3個驅動缸中的側擺缸輸出力最大。

(3)建立了仿生機器人的能耗性能指標，分析了不同步態(tài)參數(shù)對能耗性能指標的影響規(guī)律，得到了減少能耗的方法。

圖7 側向行走步態(tài)參數(shù)與能耗關系Fig.7 Relationship between lateral walking gait parameters and energy consumption